2.4.1平面向量基本定理学案-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.4.1 平面向量基本定理 【学习目标】 1.理解基的含义，并能判断两个向量是否构成一组基.(逻辑推理) 2.理解平面向量基本定理及其意义.(数学抽象) 3.会用基表示平面向量.(逻辑推理) 【自主预习】 音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此. 阅读教材，回答下列问题. 1.在平面向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢?你发现它是什么? 2.我们知道两个力可以合成一个力，反之一个力可以分解为两个力.向量a是否也可以分解为两个向量呢? 3.0能与另外一个向量a构成一组基吗? 1.在△ABC中，=2，E为AD的中点，以，为一组基，则=(　　). A.- B.- C.- D.2- 2.如图，在正方形ABCD中，设=a，=b，=c，则以a，b为基时，可表示为　　　　，以a，c为基时，可表示为　　　　.  3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值为　　　　.  4.给定一组基{i，j}，且a=4i+j，b=3j，c=12i-3j，如果c=xa+yb，求x，y. 【合作探究】 　平面向量基本定理 如图(1)，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是在这一平面内与e1，e2都不共线的向量.如图(2)，在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a. 问题1：上图中将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现? 问题2：若向量a与e1或e2共线，a还能用a=λ1e1+λ2e2表示吗? 问题3：当a是零向量时，a还能用a=λ1e1+λ2e2表示吗? 问题4：设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，在a=λ1e1+λ2e2中，λ1，λ2是否唯一? 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一个向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2. 2.基：若e1，e2不共线，把e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .平面内任一向量都可以用同一组基唯一表示.  3.若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解. 若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基. 一、对基的理解 如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基的是(　　). A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2 C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与2e1+6e2 【方法总结】对基的理解：两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基；反之，则可作基. 二、用基表示向量 如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且=，BN与CM相交于点E，设=a，=b，试用基{a，b}表示向量. 【方法总结】将两个不共线的向量作为基表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化，直至能用基表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基表示向量的唯一性求解. 三、平面向量基本定理的应用 如图所示，L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且=l，=m，=n，若++=0，求证：l=m=n. 【方法总结】平面向量基本定理是向量法的理论基础，它不仅提供了向量的几何表示方法，而且使向量用坐标来表示成为可能，从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁，这就为几何问题转化为代数论证提供了理论工具. 若向量a，b不共线，则c=2a-b，d=3a-2b，试判断c，d能否作为一组基. 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为BC，DC边上的中点，若=a，=b，试用a，b表示向量，. 【随堂检测】 1.已知平行四边形ABCD，则下列各组向量是该平面内所有向量的基的是(　　). A.， B.， C.， D.， 2.在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，若=λ+μ，则λ+μ的值是(　　). A.1 B. C.- D.- 3.如图，C，D是△AOB的边AB的三等分点，设=e1，=e2，以e1，e2为一组基，则=　　　　，=　　　　.  4.在△ABC中，F是边AB上靠近点B的四等分点，试以=e1，=e2为一组基表示. 参考答案 课时1　平面向量基本定理 自主预习·悟新知 预学忆思 1.能，它是基. 2.因为力是向量，所以向量a也可以分解为两个向量. 3. 不能.基向量是不共线的，而0与任意向量共线. 自学检测 1.A　【解析】=-+=-×=-+=-. 2.a+b　2a+c　【解析】以a，b为基时，=a+b；以a，c为基时，=+=a+c，=+=+=a+a+c=2a+c. 3.3　【解析】∵e1，e2不共线，∴由平面向量基本定理可得故x-y=3. 4.【解析】因为c=xa+yb=x(4i+j)+y(3j)=4xi+(x+3y)j，c=12i-3j， 所以解得 合作探究·提素养 探究　情境设置 问题1：如图，a==+=λ1e1+λ2e2. 问题2：能，当向量a与e1共线时，a=λ1e1+0e2； 当向量a与e2共线时，a=0e1+λ2e2. 问题3：能，a=0e1+0e2. 问题4：假设a=μ1e1+μ2e2，则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，即(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0，所以λ1-μ1=0且λ2-μ2=0，即λ1=μ1且λ2=μ2，所以λ1，λ2唯一. 新知生成 2.基 新知运用 例1　D　【解析】对于A，设e1+e2=λe1，则所以λ无解； 对于B，设e1-2e2=λ(e1+2e2)，则所以λ无解； 对于C，设e1+e2=λ(e1-e2)，则所以λ无解； 对于D，设e1+3e2=λ(2e1+6e2)，则解得λ=，所以这两个向量是共线向量. 故D中向量不能作为平面内所有向量的一组基，故选D. 例2　【解析】易得==b，==a， 由N，E，B三点共线知，存在实数m， 满足=m+(1-m)=mb+(1-m)a. 由C，E，M三点共线知，存在实数n， 满足=n+(1-n)=na+(1-n)b， 所以mb+(1-m)a=na+(1-n)b. 因为{a，b}为基，所以解得 所以=a+b. 例3　【解析】令=a，=b为一组基， 根据已知有=la，=mb. ∵=+=-a-b，∴=n=-na-nb， ∴=+=(l-1)a-b，=+=a+mb，=+=-na+(1-n)b. 又++=0， ∴(l-n)a+(m-n)b=0. 根据平面向量基本定理，有l-n=m-n=0，故l=m=n. 巩固训练1　【解析】设存在实数λ，使得c=λd， 则2a-b=λ(3a-2b)，即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0， 因为向量a，b不共线，所以2-3λ=2λ-1=0，这样的λ是不存在的， 所以c，d不共线，故c，d能作为一组基. 巩固训练2　【解析】=++ =-++ =-++=a-b. =++ =-++=b-a. 随堂检测·精评价 1.D　【解析】因为，不共线，所以是一组基. 2.D　【解析】由D是BC边的中点，E是AD的中点，得=(+)，==(+)，所以=+=-+(+)=-，所以λ=，μ=-，故λ+μ=-. 3.e1+e2　e1+e2　【解析】=+=+=e1+(e2-e1)=e1+e2， =+=+ =e1+e2+(e2-e1)=e1+e2. 4.【解析】∵=-=e1-e2，且F是边AB上靠近点B的四等分点， ∴==(e1-e2)， ∴=+=e2+(e1-e2)=e1+e2. 学科网（北京）股份有限公司 $$