2.1 从位移、速度、力到向量-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦平面向量的核心概念，从位移、速度、力等实际背景引入，系统梳理向量的概念与表示（有向线段、符号、模）、特殊向量（零向量、单位向量）、相等与共线向量及向量夹角，通过“逐点清”结构搭建概念定义、辨析、练习的学习支架。 该资料采用“逐点理清式”教学设计，“多维理解”抽象向量本质，“微点助解”辨析易错点（如零向量方向、有向线段与向量区别），“微点练明”结合实例（物理量辨析、画图题）。既培养数学眼光（从现实抽象）、数学思维（逻辑推理），又助教师系统授课，学生课后可通过练习查漏补缺。

　平面向量及其应用 §1　从位移、速度、力到向量[教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 　　　 [课时目标] 1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景. 2.理解向量、相等向量、共线向量、零向量、夹角的概念及向量的表示. 逐点清(一)　向量的概念与表示 [多维理解] 1.向量的概念 既有大小又有方向的量统称为向量. 2.向量的表示 (1)有向线段:具有方向和长度的线段称为有向线段(如图).以A为起点,B为终点的有向线段,记作.线段AB的长度称为有向线段的长度,记作. (2)向量的几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向. (3)向量的符号表示:向量可以用黑斜体小写字母如a,b,c,…或,,,…(书写)来表示. (4)向量的模:向量a的大小,记作|a|,又称作向量的模. 3.两个特殊向量 名称 定义 表示方法 零向量 长度为0的向量称为零向量 0或 单位向量 模等于1个单位长度的向量称为单位向量 - |微|点|助|解| (1)书写向量时带箭头. (2)有向线段与向量不是同一个概念,有向线段有起点、长度、方向三个要素.每一个有向线段对应一个向量,每一个向量对应无数个有向线段. (3)注意 0 与 0 的区别及联系, 0 是一个实数, 0是一个向量,且|0|=0.零向量的方向是任意的,在分析向量的位置关系时要特别注意零向量. (4)单位向量有无数多个,它们的大小相等,但方向不一定相同. (5)向量不能比较大小,它的模可以比较大小. [微点练明] 1.给出下列物理量:①密度;②温度;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.下列说法正确的是 (　　) A.①②③是数量,④⑤⑥是向量 B.②④⑥是数量,①③⑤是向量 C.①④是数量,②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量,③⑥是向量 解析:选D　密度、温度、质量、功只有大小,没有方向,是数量;速度、位移既有大小又有方向,是向量. 2.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是 (　　) A.也可以用表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 解析:选D　终点是N而不是M. 3.下列命题正确的是 (　　) A.温度有零上和零下之分,所以温度是向量 B.向量的模是一个非负实数 C.|a|>|b|,则a>b D.向量a是单位向量,向量b也是单位向量,则向量a与向量b是同一向量 解析:选B　温度虽有大小却无方向,故不是向量,A错误;易知B正确;向量的长度可以比较大小,但向量不能比较大小,C错误;单位向量只要求长度等于1个单位长度,但方向未确定,D错误. 4.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量: (1),使||=4,点A在点O北偏东45°; (2),使=4,点B在点A正东; (3),使=6,点C在点B北偏东30°. 解:(1)因为点A在点O北偏东45°方向上,且=4,所以在坐标纸上点A距离O的横向小方格数与纵向小方格数相等,都为4,如图所示. (2)因为点B在点A正东方向,且=4,所以在坐标纸上点B距离A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,如图所示. (3)由于点C在点B北偏东30°方向上,且=6,由勾股定理知,在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,如图所示. 逐点清(二)　相等向量与共线向量 [多维理解] 1.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫作相等向量.向量a与b相等,记作a=b. 2.共线向量 共线 (平行) 向量 若两个非零向量a,b的方向相同或相反,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作a∥b 相反 向量 若两个向量的长度相等、方向相反,则称它们互为相反向量.向量a的相反向量记作-a 规定 零向量与任一向量共线,即对于任意的向量a,都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量 |微|点|助|解| (1)向量共线有三种情形:①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量. (2)共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义. [微点练明] 1.已知向量a与b是两个不平行的向量,若a∥c且b∥c,则c等于 (　　) A.0 B.a C.b D.不存在这样的向量 解析:选A　零向量与任一向量是共线向量,故c=0满足条件.若c≠0,则a∥c且b∥c,得到a∥b,这与条件矛盾,排除.综上所述,c=0,故选A. 2.如图,在四边形ABCD中,若=,则图中相等的向量是 (　　) A.与　　　 B.与 C.与 D.与 解析:选C　由=,可得四边形ABCD为平行四边形.与互为相反向量,A错误;与互为相反向量,B错误;与满足相等向量的定义,C正确;与方向不同不满足相等向量的定义,D错误.故选C. 3.设点O是正三角形ABC的中心,则向量,,是 (　　) A.相同的向量 B.模相等的向量 C.共起点的向量 D.共线向量 解析:选B　如图,因为O是正△ABC的中心,所以||=||=||=R(R为△ABC外接圆的半径).所以向量,,是模相等的向量,但方向不同.故选B. 4.如图,△ABC和△A'B'C'是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形,设△ABC的边长为a,写出图中给出的长度为的所有向量中, (1)与向量相等的向量; (2)与向量共线的向量; (3)与向量平行的向量. 解:(1)与向量相等的向量,即与向量大小相等,方向相同的向量,有,; (2)与向量共线的向量,即与向量方向相同或相反的向量,有,,,,; (3)与向量平行的向量,即与向量方向相同或相反的向量,有,,,,. 逐点清(三)　向量的夹角 [多维理解] (1)向量的夹角的定义:已知两个非零向量a和b,在平面内选一点O,作=a,=b,则θ=∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角. (2)夹角θ的大小与向量共线、垂直的关系: θ= (3)规定:零向量与任一向量垂直,即对于任意的向量a,都有0⊥a. |微|点|助|解| 按照向量夹角的定义,只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示,∠BAC不是向量与向量的夹角,∠BAD才是向量与向量的夹角. [微点练明] 1.在△ABC中,向量与向量的夹角为α,向量与向量的夹角为β,向量与向量的夹角为γ,则α+β+γ= (　　) A.0° B.180° C.270° D.360° 解析:选D　因为α,β,γ为△ABC的外角,所以α+β+γ=360°. 2.在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,D是AC的中点,则与的夹角为__________.  解析:如图,△ABC中,AB2+BC2=AC2,所以∠ABC=90°.而AB=,BC=1,AC=2,所以A=30°,C=60°.D是AC的中点,则AD=DC=BD,∠ADB=120°,所以与的夹角为120°. 答案:120° 3.如图,在正五边形ABCDE中,O为正五边形的中心,指出下列各组向量夹角的大小. (1)与;(2)与;(3)与. 解:由正五边形知识知,正五边形的内角为108°,中心O与各顶点连线构成五个全等的顶角为72°,底角为54°的等腰三角形,所以得∠BOD=144°,故与的夹角为144°. 与所成角为∠BOD的补角,故与的夹角为180°-144°=36°. ∠OBA为与所成角,故与的夹角为54°. 综上可得,(1)与的夹角为36°,(2)与的夹角为144°,(3)与的夹角为54°. 学科网（北京）股份有限公司 $