第2章 2 从位移的合成到向量的加减法（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】北师大版

§2　从位移的合成到向量的加减法 学业标准 素养目标 1．理解向量加(减)法的定义，会用向量加(减)法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和(差)．(难点) 2．会用向量加法的运算律进行向量的加(减)运算．(重点) 1．通过向量加(减)法的定义，三角形法则、平行四边形法则的应用，培养直观想象等核心素养． 2．通过向量加(减)法的运算，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　向量的加法 　某人从A地经B地到C地，两次位移，的结果，与从A地直接到C地的位移的关系如何？ [提示]　结果相同，即＋＝. 　实数的加法满足哪些运算律？向量的加法是否也满足这些运算律？ [提示]　实数的加法满足交换律和结合律，向量的加法也满足． ◎结论形成 1．向量加法的定义 求两个向量__和__的运算，称为向量的加法． 2．向量加法的平行四边形法则、三角形法则 名称 图示 作图方法 平行 四边 形法 则　 已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作__▱ABCD__，则有向线段　　表示的向量即为向量a与b的和，记作　a＋b　 三角形 法则　 如图，作有向线段＝a，以有向线段的终点为__起点__，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的__和__ 3．两个共线向量的和 若两个共线向量方向相同，则它们的和向量方向与原方向__一致__，大小为两个向量大小__之和__；若两个共线向量方向相反且大小不相等，则它们的和向量方向与__模较大__的向量方向一致，大小为两个向量大小差的__绝对值__ . 特别　互为相反向量的两个向量的和为__零向量__，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝　0　 . 4．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝　b＋a　 . (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋　(b＋c)　 . 导学2　向量的减法 　在数的运算中，减法可以看作加法的逆运算，那么向量的减法与向量的加法有什么关系？ [提示]　向量的减法是向量的加法的逆运算． 即a－b＝a＋(－b)． ◎结论形成 1．向量减法的定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的__相反向量__，即a－b＝　a＋(－b)　 . 2．几何意义 如图，如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是　a－b　 . [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＋＋＝.(　　) (2)a＋(b＋c)＝c＋(a＋b)．(　　) (3)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量．(　　) (4)向量与向量是相反向量．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．在△ABC中，D是BC边上的一点，－等于(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析　在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝. 答案　C 3．(多选题)下列式子能化简为的是(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋) C．－＋ D.＋－ 解析　对于A，有＋＋＝；对于B，有＋(＋)＋＝＋(＋)＝；对于C，有(－)＋＝＋＝；只有D无法化简为. 答案　ABC 4．若a，b为相反向量， 且|a|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________ . 解析　若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线，所以|a－b|＝2|a|＝2. 答案　0　2 题型一　向量加、减法的几何作图一题多解 　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [自主解答]　解法一　如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b， 再作＝c，则＝a＋b－c. 解法二　如图②所示，在平面内任取一点O， 作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c， 连接OC，则＝a＋b－c. [规律方法] 求作几个已知向量的和或差的方法 (1)作两向量的和向量 ①将两个向量的起点平移到同一点O，作平行四边形，利用平行四边形法则得到和向量． ②利用三角形法则，依次平移两个向量，并让它们首尾相接． (2)作两向量的差向量 将两个向量的起点平移到同一点O，连接两向量终点，指向被减向量． (3)作多个向量的和或差时，应先确定作图顺序，再依次完成． [触类旁通] 1．如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c. 解析　如图，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量，则向量即为所求作的向量a－b－c. 题型二　向量加、减法的运算一题多变 　(1) 如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A．0　　 B．　　　 C