1.5.2 第2课时 余弦函数图象与性质的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学余弦函数图象与性质的应用，系统梳理图象应用（解不等式）、单调性（单调区间、大小比较）及最值值域（一次、二次函数形式）等核心知识点，构建从图象基础到性质应用的解题支架。 该资料采用习题讲评式教学，通过思维建模（如解不等式四步法）培养学生几何直观的数学眼光，借助单调性比较大小训练逻辑推理的数学思维，课中辅助教师高效授课，课后针对训练助力学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　余弦函数图象与性质的应用[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 题型(一)　余弦函数图象的应用 [例1]　已知函数f(x)=2cos x+1,若f(x)的图象过点,则m=__________;若f(x)<0,则x的取值集合为____________________. 解析:当x=时,f(x)=2cos +1=1, ∴m=1.f(x)<0,即cos x<-,作出y=cos x在x∈[0,2π]上的图象,如图所示. 由图知x的取值集合为 . 答案:1　 　　|思|维|建|模| 利用图象解不等式cos x>a的步骤 (1)作出相应的余弦函数在[0,2π]上的图象. (2)确定在[0,2π]上cos x=a的x值. (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集. (4)写出定义域内的解集. 　　[针对训练] 1.函数y=的定义域是__________.  解析:要使函数有意义,只需2cos x-≥0, 即cos x≥.由余弦函数图象知(如图), 所求函数的定义域为,k∈Z. 答案:,k∈Z 2.已知方程cos x=在x∈上有两个不同的实数根,求实数a的取值范围. 解:作出y=cos x,x∈与y=的大致图象,如图所示.由图象,可知当≤<1,即-1<a≤0时,y=cos x,x∈的图象与y=的图象有两个交点, 即方程cos x=在x∈上有两个不同的实数根,故实数a的取值范围为. 题型(二)　余弦函数的单调性及应用 [例2]　(1)函数y=1-2cos x的单调递增区间是__________　　.  (2)比较大小:cos__________cos.  解析:(1)因为y=cos x的单调递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z),所以函数y=1-2cos x的单调递增区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z). (2)cos =cos=cos,cos=cos =cos=cos .因为y=cos x在[0,π]上是单调递减的,又<,所以cos >cos,即cos<cos. 答案:(1)[2kπ,2kπ+π](k∈Z)　(2)< 　　|思|维|建|模| 利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间,若不属于,先化至同一单调区间内,再比较大小. 　　[针对训练] 3.若函数y=cos x在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围为 (　　) A. B.(-π,0] C. D.(-π,π) 解析:选B　函数y=cos x在区间[-π,0]上单调递增,在(0,π)上单调递减,故-π<a≤0. 4.cos 110°与sin 10°,-cos 50°的大小关系是__________.  解析:因为sin 10°=cos 80°,-cos 50°=cos 130°. 而y=cos x在[0,π]上单调递减, 所以sin 10°>cos 110°>-cos 50°. 答案:sin 10°>cos 110°>-cos 50° 题型(三)　与余弦函数有关的最值、值域问题 [例3]　(1)已知函数y=4cos x-1,x∈,此函数的最小值为__________,最大值为__________.  (2)函数y=cos2x-4cos x+5的值域是__________.  解析:(1)∵x∈,∴当x=0时,函数y=4cos x-1取得最大值为4-1=3;当x=时,函数y=4cos x-1取得最小值为0-1=-1. (2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,则-1≤t≤1,y=t2-4t+5=(t-2)2+1,当t=-1时,函数取得最大值10;当t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10]. 答案:(1)-1　3　(2)[2,10] |思|维|建|模|　求余弦函数的最值、值域的常用方法 (1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性. (2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性. 　　[针对训练] 5.函数y=cos2x-3cos x+2的最小值是 (　　) A.2 B.0 C. D.6 解析:选B　设t=cos x, ∴y=t2-3t+2=-(-1≤t≤1), 可知当t=1时取得最小值0. 6.已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是 (　　) A.2 B.3 C. +2 D.2 解析:选B　根据函数y=2cos x的定义域为,故它的值域为[-2,1],再根据它的值域为[a,b],可得b-a=1-(-2)=3,故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $