1.5.1 第2课时 正弦函数图象与性质的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦正弦函数图象与性质的应用，在学生掌握正弦函数基本图象与性质的基础上，通过图象解不等式、单调性比较大小、最值与值域求解等题型，搭建从基础到应用的学习支架。 资料采用习题讲评式教学，突出图象法直观分析（数学眼光），通过思维建模总结解题步骤（数学思维），结合例题解析与针对训练，助力学生深化理解。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第2课时　正弦函数图象与性质的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 题型(一)　正弦函数图象的应用 [例1]　(1)不等式2sin x-1≥0,x∈[0,2π]的解集为 (　　) A. B. C. D. (2)函数y=2+sin x,x∈(0,4π]的图象与直线y=2的交点的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:(1)因为2sin x-1≥0, 所以sin x≥. 在同一平面直角坐标系下,作函数y=sin x,x∈[0,2π]以及直线y=的图象,如图. 由函数的图象知,sin =sin=. 所以sin x≥的解集为. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数y=2+sin x,x∈(0,4π]与直线y=2的图象(如图所示),可得两图象的交点共有4个,故选D. 答案:(1)D　(2)D 　　|思|维|建|模| 利用图象解不等式sin x>a的步骤 (1)作出相应的正弦函数在[0,2π]上的图象. (2)确定在[0,2π]上sin x=a的x值. (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集. (4)写出定义域内的解集. 　　[针对训练] 1.函数y=|sin x|的最小正周期为 (　　) A.π B.2π C.4π D.没有周期性 解析:选A　y=|sin x|的图象如图, y=|sin x|是由y=sin x位于x轴上方部分不变,下方部分沿着x轴翻折后得到, 故y=|sin x|的最小正周期为π. 2.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是 (　　) A.(0,π) B. C. D. 解析:选C　画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图,如图. 因为sin =,所以sin=-,sin=-.即在[0,2π]内,满足sin x=-的是x=或x=.可知不等式sin x<-的解集是.故选C. 题型(二)　正弦函数的单调性及应用 [例2]　比较下列各组数的大小. (1)sin和cos; (2)sin和sin. 解:(1)∵cos=sin, 又<<π<+<,y=sin x在上单调递减,∴sin>sin,即sin>cos . (2)∵cos=sin ,∴0<cos <sin<1<. 而y=sin x在内单调递增, ∴sin<sin. 　　|思|维|建|模| 1.解决函数单调性问题的策略 解决正弦函数的单调性问题时,若求y=Asin 2x的单调区间,先由y=sin x的单调区间确定y=sin 2x的单调区间,再由A的符号确定y=Asin 2x的单调区间. 2.比较大小的解题策略 (1)比较同名三角函数值的大小时,首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数,再利用函数单调性通过比较自变量确定函数值的大小. (2)对不是同名的三角函数值比较大小时,应先化为同名三角函数,然后再比较大小. 　　[针对训练] 3.[多选]函数f(x)=sin 2x的单调递减区间可以是 (　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析:选AB　由+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z). ∴函数f(x)=sin 2x的单调递减区间是(k∈Z),B正确. ∵函数f(x)的周期是kπ(k≠0), ∴A也正确.故选AB. 4.比较大小:sin__________sin. 解析:因为函数y=sin x在上单调递增,且-<-<-<0, 所以sin>sin. 答案:> 题型(三)　与正弦函数有关的最值、值域问题 [例3]　(1)函数f(x)=-2sin x+1,x∈的值域是 (　　) A.[1,3] B.[-1,3] C.[-3,1] D.[-1,1] (2)函数y=sin2x-4sin x的最小值是__________. (3)函数y=的值域为__________. 解析:(1)∵x∈,∴sin x∈[-1,1]. ∴-2sin x+1∈[-1,3]. (2)令sin x=t,当x∈R时,t∈[-1,1], 则y=t2-4t,t∈[-1,1]. ∵y=t2-4t=(t-2)2-4, ∴当t∈[-1,1]时,y=t2-4t单调递减.∴当t=1时,y=t2-4t取最小值,ymin=12-4×1=-3. ∴当sin x=1,即x=+2kπ,k∈Z时,函数y=sin2x-4sin x的最小值是-3. (3)由题得函数的定义域为R,y===2-,设t=sin x,t∈[-1,1],所以f(t)=2-,t∈[-1,1]. 由复合函数单调性得函数f(t)在[-1,1]上单调递增,所以f(t)min=f(-1)=2-=-, f(t)max=f(1)=2-=. 所以函数y=的值域为. 答案:(1)B　(2)-3　(3) 　　|思|维|建|模| (1)一般函数的值域求法有观察法、配方法、判别式法等,而正弦函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,但要结合正弦函数本身的性质. (2)形如y=a+bsin x(b≠0)的函数的最值或值域,一般利用正弦函数的有界性(-1≤sin x≤1)求解,当b>0时,ymax=a+b;当b<0时,ymax=a-b. (3)形如y=Asin2x+Bsin x+C(A≠0)的函数的最值或值域,应利用换元法,结合正弦函数的性质、二次函数的性质求解. 　　[针对训练] 5.函数y=3sin x的值域是__________. 解析:因为x∈R,所以sin x∈[-1,1].因为指数函数y=3t在定义域内是单调递增的, 所以3sin x∈.所以函数的值域为. 答案: 6.函数y=sin在x∈上的最大值为__________.  解析:由x∈,得x+∈,即x+=时,函数有最大值,ymax=sin =1. 答案:1 7.设|x|≤,则函数f(x)=1-sin2x+sin x的最小值为__________.  解析:f(x)=1-sin2x+sin x=-+.∵|x|≤,∴-≤sin x≤. ∴当sin x=-时,f(x)min=. 答案: 学科网（北京）股份有限公司 $