第1章 5.1 正弦函数的图象与性质再认识(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

例２：【证明】　 左边＝ ｓｉｎ（－ α）·ｓｉｎ（－ α）·ｃｏｓ（－ α） ｃｏｓ αｓｉｎ ２π － π２ －( )[ ]α ·ｃｏｓ ２π － π２ －( )[ ]α ＝ （－ ｓｉｎ α）·（－ ｓｉｎ α）·ｃｏｓ α ｃｏｓ αｓｉｎ － π２ －( )[ ]α ｃｏｓ － π２ －( )[ ]α ＝ ｓｉｎ ２α － ｓｉｎ π２ －( )α ｃｏｓ π２ －( )α ＝ ｓｉｎ ２α － ｃｏｓ α·ｓｉｎ α ＝ － ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝右边． ∴原等式成立． 对点训练２：【证明】　 左边＝ － ｓｉｎ（５π － θ）ｓｉｎ θｃｏｓ θ ｃｏｓ（π － θ）ｓｉｎ θ［－ ｓｉｎ（４π ＋ θ）］ ＝ － ｓｉｎ（π － θ）ｓｉｎ θｃｏｓ θ－ ｃｏｓ θｓｉｎ θ（－ ｓｉｎ θ）＝ － ｓｉｎ θ ｓｉｎ θ ＝ － １ ＝右边， 故原式得证． 例３：由题意知ｍ２ ＋ 槡１５( )４ ２ ＝ １，解得ｍ２ ＝ １１６， 因为α为第二象限角，故ｍ ＜ ０， 所以ｍ ＝ － １４ ， 所以ｓｉｎ α ＝槡１５４ ，ｃｏｓ α ＝ － １ ４ ． 原式＝ － ｃｏｓ α（－ ｓｉｎ α）－（－ ｃｏｓ α）＋ １ ＝ １ ４ －槡１５４ － １ ４ ＋ １ ＝ － 槡３ ＋ １５６ ． 对点训练３：（１）因为角α的终边上点Ｐ －槡５５ ，槡 ２ ５( )５ ，又 －槡５( )５ ２ ＋ 槡２ ５( )５ ２ ＝ １， 所以ｓｉｎ α ＝ 槡２ ５５ ，ｃｏｓ α ＝ －槡 ５ ５ ，所以ｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α ＝ ０． （２） ｓｉｎ（２π － α）ｃｏｓ（α － π）ｃｏｓ ３２ π ＋( )α ｃｏｓ ５π２ －( )α ｓｉｎ（３π － α）ｓｉｎ（－ π － α） ＝ － ｓｉｎ α·（－ ｃｏｓ α）·ｓｉｎ α ｓｉｎ α·ｓｉｎ α·ｓｉｎ α ＝ ｃｏｓ α ｓｉｎ α ＝ －槡５５ 槡２ ５ ５ ＝ － １２ ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 因为ｃｏｓ θ ＜０，ｓｉｎ θ ＞０，∴ θ是第二象限角． ２． Ｂ　 ∵ ｃｏｓ π２ ＋( )α ＝ － ３５ ， ∴ － ｓｉｎ α ＝ － ３５ ，∴ ｓｉｎ α ＝ ３ ５ ， 又α是第二象限角，∴ ｃｏｓ α ＝ － ４５ ， ∴ ｓｉｎ α － ３π( )２ ＝ ｃｏｓ α ＝ － ４５ ． ３． Ｃ 　 ｃｏｓ ｘ ＋ π( )６ [＝ ｓｉｎ π２ (－ ｘ ＋ π ) ]６ (＝ ｓｉｎ π３ － )ｘ ＝ － ３５ ．故选Ｃ． ４． 槡２ ６５ 　 ｃｏｓ α ＋ π( )２ ＝ － ｓｉｎ α ＝ 槡２ ６５ ． ５．原式＝ － ｓｉｎ（－ θ ＋ ７π）ｃｏｓ π２ ＋( )θ ｃｏｓ θ － ｓｉｎ － θ ＋ ３π( )２ ［－ ｓｉｎ（θ ＋ ８π）］ ＝ － ｓｉｎ（－ θ ＋ π）（－ ｓｉｎ θ）ｃｏｓ θｃｏｓ θ（－ ｓｉｎ θ） ＝ － ｓｉｎ θ（－ ｓｉｎ θ）ｃｏｓ θｃｏｓ θ（－ ｓｉｎ θ） ＝ － ｓｉｎ θ． § ５　 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 ５． １　 正弦函数的图象与性质再认识 关键能力　 攻重难 例１：按五个关键点列表 ｘ － π － π２ ０ π ２ π ｓｉｎ ｘ ０ － １ ０ １ ０ １ － ２ｓｉｎ ｘ １ ３ １ － １ １ 　 　 描点连线得： （１）由图象可知函数ｙ ＝１ －２ｓｉｎ ｘ在ｙ ＝１上方的部分ｙ ＞１， 在ｙ ＝ １下方的部分ｙ ＜ １， 所以当ｘ∈（－ π，０）时，ｙ ＞ １，当ｘ∈（０，π）时，ｙ ＜ １． （２）如图，当直线ｙ ＝ ａ与ｙ ＝ １ － ２ｓｉｎ ｘ有两个交点时，１ ＜ ａ ＜ ３或－ １ ＜ ａ ＜ １， 所以ａ的取值范围是｛ａ ｜１ ＜ ａ ＜ ３或－ １ ＜ ａ ＜ １｝． （３）由图象可知ｙｍａｘ ＝ ３，此时ｘ ＝ － π２ ；ｙｍｉｎ ＝ － １，此时 ｘ ＝ π２ ． 对点训练１：取值列表如下： ｘ ０ π２ π ３π ２ ２π ｓｉｎ ｘ ０ １ ０ － １ ０ １ ２ ＋ ｓｉｎ ｘ １ ２ ３ ２ １ ２ － １ ２ １ ２ 　 　 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．（如图）                                                                       —８９２— 例２：（１）①因为－ π２ ＜ － π １０ ＜ － π １８ ＜ ０，正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 在区间－ π２ ，[ ]０ 上是增函数， 所以ｓｉｎ － π( )１８ ＞ ｓｉｎ － π( )１０ ． ②因为ｃｏｓ ５３ ＝ｓｉｎ π ２ ＋( )５３ ，又π２ ＜ ７４ ＜ π２ ＋ ５３ ＜３π２ ， 而正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在π２ ， ３π[ ]２ 上是减函数， 所以ｓｉｎ ７４ ＞ ｓｉｎ π ２ ＋( )５３ ，即ｓｉｎ ７４ ＞ ｃｏｓ ５３ ． （２）因为ｙ ＝ － ２ｓｉｎ ｘ － １， 所以函数ｙ ＝ － ２ｓｉｎ ｘ － １的递增区间就是函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的 递减区间，所以π２ ＋２ｋπ≤ｘ≤ ３π ２ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）， 所以函数ｙ ＝ － ２ｓｉｎ ｘ － １ [的递增区间为π２ ＋ ２ｋπ，３π２ ＋ ２ｋ ]π （ｋ∈Ｚ）． 对点训练２：（１）ｓｉｎ ２５０° ＝ ｓｉｎ（１８０° ＋ ７０°）＝ － ｓｉｎ ７０°， ｓｉｎ ２６０° ＝ ｓｉｎ（１８０° ＋ ８０°）＝ － ｓｉｎ ８０°， 因为０° ＜ ７０° ＜ ８０° ＜ ９０°，且函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ ０，π[ ]２ 是增 函数，所以ｓｉｎ ７０° ＜ ｓｉｎ ８０°， 所以－ ｓｉｎ ７０° ＞ － ｓｉｎ ８０°，即ｓｉｎ ２５０° ＞ ｓｉｎ ２６０°． （２）ｓｉｎ － ２３５( )π ＝ － ｓｉｎ ２３π５ ＝ － ｓｉｎ ３π５ ＝ － ｓｉｎ π － ２π( )５ ＝ － ｓｉｎ ２π５ ． ｓｉｎ － １７π( )４ ＝ － ｓｉｎ １７π４ ＝ － ｓｉｎ π４ ． 因为０ ＜ π４ ＜ ２π ５ ＜ π ２ ，且函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈ ０， π[ ]２ 是增函 数，所以ｓｉｎ π４ ＜ ｓｉｎ ２π ５ ，所以－ ｓｉｎ π ４ ＞ － ｓｉｎ ２π ５ ， 即ｓｉｎ － ２３π( )５ ＜ ｓｉｎ － １７π( )４ ． 例３：ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（π ＋ ｘ）＋ ｓｉｎ２ｘ － １ ＝ ｓｉｎ２ｘ － ｓｉｎ ｘ － １，令ｔ ＝ ｓｉｎ ｘ，则ｙ ＝ ｔ２ － ｔ － １ ＝ ｔ －( )１２ ２ － ５４ ，ｔ∈［－ １，１］． 因为－ １≤ｔ≤１，所以－ ５４ ≤ｙ≤１， 所以ｙｍａｘ ＝ １，此时ｓｉｎ ｘ ＝ － １，ｘ ＝ － π２ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ； 所以ｙｍｉｎ ＝ － ５４ ，此时ｓｉｎ ｘ ＝ １ ２ ，ｘ ＝ π ６ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ或ｘ ＝ ５π ６ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ． 对点训练３：２或－ ２ 　 当ａ ＞ ０时，因为函数ｙ ＝ ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂ（ａ，ｂ∈Ｒ）的最大值为３，最小值为－ １， 所以ａ ＋ ｂ ＝ ３， － ａ ＋ ｂ ＝ － １{ ，解得ａ ＝ ２，ｂ ＝ １{ ，所以ａｂ ＝ ２， 当ａ ＜ ０时，因为函数ｙ ＝ ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂ（ａ，ｂ∈Ｒ）的最大值为３， 最小值为－ １，所以－ ａ ＋ ｂ ＝ ３， ａ ＋ ｂ ＝ － １{ ，解得ａ ＝ － ２，ｂ ＝ １{ ， 所以ａｂ ＝ － ２，综 上，ａｂ ＝ ２或ａｂ ＝ － ２． 例４：首先作出ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在［０，２π］上的图象．如图所示，作 直线ｙ ＝ １２ ，根据特殊角的正弦值，可知该直线与ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ， ｘ∈［０，２π］的交点横坐标为π６和 ５π ６ ； 作直线ｙ ＝槡３２ ，该直线与ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［０，２π］的交点横坐标 为π３和 ２π ３ ． 观察图象可知，在［０，２π］上，当π６ ＜ ｘ≤ π ３ ，或 ２π ３ ≤ｘ ＜ ５π ６时， 不等式１２ ＜ ｓｉｎ ｘ≤槡 ３ ２成立． 所以１２ ＜ ｓｉｎ ｘ≤槡 ３ ２ {的解集为ｘ π６ ＋２ｋπ ＜ ｘ≤ π３ ＋２ｋπ或 ２π ３ ＋２ｋπ≤ｘ ＜ ５π ６ ＋２ｋπ，ｋ∈ }Ｚ ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 正弦曲线相邻最低点与最高点之间是半个周期． ２． Ａ　 由ｓｉｎ（－ ｘ）－ ｜ ａ ｜ ＝ － ｓｉｎ ｘ ＋ ｜ ａ ｜，得｜ ａ ｜ ＝ ０，故ａ ＝ ０． ３． Ａ　 在同一坐标系中画出函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与函数ｙ ＝ － ｓｉｎ ｘ的图 象，可知它们关于ｘ轴对称． ４． Ｂ　 如图所示，ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［０，２π］与ｙ ＝ － １２的图象有２个 交点． ５． ２　 余弦函数的图象与性质再认识 关键能力　 攻重难 例１：方法一：按五个关键点列表： ｘ ０ π２ π ３π ２ ２π ｃｏｓ ｘ １ ０ － １ ０ １ － ｃｏｓ ｘ － １ ０ １ ０ － １ 　 　 描点画图（如图所示）． 方法二：先用五点法画ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ的图象，再作它关于ｘ轴的 对称图象． 对点训练１：列表： ｘ ０ π２ π ３π ２ ２π ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ １ ０ － １ ０ １ ｙ ＝ ３ ＋ ２ｃｏｓ ｘ ５ ３ １ ３ ５ 　 　 描点得ｙ ＝ ３ ＋ ２ｃｏｓ ｘ在一个周期内的图象（如图所示                                                                       ）： —９９２— KLMN%OPQ １．若ｓｉｎ π２ ＋( )θ ＜ ０，且ｃｏｓ π２ －( )θ ＞ ０，则θ是（　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．第一象限角 Ｂ．第二象限角 Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角 ２．已知ｃｏｓ π２ ＋( )α ＝ － ３５ ，且α是第二象限角，则 ｓｉｎ α － ３π( )２ 的结果是 （　 　 ） Ａ． ４５ Ｂ． － ４ ５ Ｃ． ± ４ ５ Ｄ． ３ ５ ３．已知ｓｉｎ π３ －( )ｘ ＝ － ３５ ，则ｃｏｓ ｘ ＋ π( )６ 等于（　 　 ） Ａ． ３５ Ｂ． ４ ５ Ｃ． － ３ ５ Ｄ． － ４ ５ ４．若ｓｉｎ α ＝ － ２槡６５ ，且α是第四象限角，则 (ｃｏｓ α ＋ π )２ ＝ 　 　 　 　 ． ５．化简： ｓｉｎ（θ － ７π）ｃｏｓ － π２ －( )θ ｃｏｓ（６π － θ） ｓｉｎ θ － ３π( )２ ｓｉｎ（－ θ － ８π） ． 请同学们认真完成练案［７                        ］ § & 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 ５． １　 正弦函数的图象与性质再认识 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．借助单位圆能画出正弦函数的图象． ２．了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值． ３．借助图象理解正弦函数在［０，２π］上的性质． 通过学习正弦函数图象及正弦函数的性质，重 点提升学生的逻辑推理，数学运算素养． )*+,%-.+ 知识点１　 正弦函数的图象 知识点２　 正弦函数的性质 　 　 （１）定义域：Ｒ． （２）值域：［－ １，１］． 当且仅当ｘ ＝ ２ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ）时，正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ取得最大值１； 当且仅当ｘ ＝ ２ｋπ － π２ （ｋ∈Ｚ）时，正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ取得最小值－ １． （３）周期性：最小正周期为２π． "## （４）单调性：单调增区间２ｋπ － π２ ，２ｋπ ＋ π[ ]２ （ｋ∈Ｚ）， 单调减区间２ｋπ ＋ π２ ，２ｋπ ＋ ３π[ ]２ （ｋ∈Ｚ）． （５）奇偶性：正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ在Ｒ上是奇函数． （６）对称性：对称轴ｘ ＝ ｋπ ＋ π２ ，ｋ∈Ｚ，对称中心（ｋπ，０），ｋ∈Ｚ． 知识点３　 “五点法”作正弦函数的图象 　 　 （１）五点法作图的一般步骤 　 　 列表→描点→连线 （２）五点法作正弦函数图象的五个关键点 （０，０）， π２ ，( )１ ，（π，０），３π２ ，( )－ １ ，（２π，０）． /012%345 ●678%tuFG<“@ １．用五点法作出函数ｙ ＝ １ － ２ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［－ π，π］的简图，并回答下列问题： （１）观察函数图象，写出满足下列条件的ｘ的区间． ①ｙ ＞ １；②ｙ ＜ １． （２）若直线ｙ ＝ ａ与ｙ ＝ １ － ２ｓｉｎ ｘ有两个交点，求ａ的取值范围； （３）求函数ｙ ＝ １ － ２ｓｉｎ ｘ的最大值，最小值及相应的自变量的值． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 用“五点法”画出函数ｙ ＝ １２ ＋ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［０，２π］上的图象． 归纳提升： １̈ ©hoŽa-@A B…‘e@A Î?L9:X ｘ B － ÷ ， －÷２，０， ÷ ２，÷?<=‘ +šÂ- ｙ ¥?º+ ;. ． ２̈ ©‘ÎIº;BÒ §j9:-ì;-¦ FI?4‘Î’… “9:-”Î}Y ¥tYZ¥Î?e¯ …ˆ•–—?(O˜ ™€ ． ３̈ ©rs78;.? ã+9:;.r ｙ ＝ １ ? ｙ ＝ ａ -;Î}Y ¥?YZ¥Î[V ho`a ． "#$ ●67E%tuFG<p€”IJ ２．（１）比较下列各组数的大小： ①ｓｉｎ － π( )１８ 与ｓｉｎ － π( )１０ ；②ｓｉｎ ７４与ｃｏｓ ５３ ． （２）求函数ｙ ＝ － ２ｓｉｎ ｘ － １的单调递增区间． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 比较大小：（１）ｓｉｎ ２５０°与ｓｉｎ ２６０°；（２）ｓｉｎ － ２３５( )π 与ｓｉｎ － １７４( )π ． ●67H%tuFG<v_d~v‡6 ３．求函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ（π ＋ ｘ）＋ ｓｉｎ２ｘ － １的最大值和最小值，并求出取得最大值和最 小值时ｘ的值． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 函数ｙ ＝ ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂ（ａ，ｂ∈Ｒ）的最大值为３，最小值为－ １，则ａｂ的值为　 　 　 　 ． 归纳提升： ¶F[@9:9c> š›Z-Þß １̈ ©%Gá¶Fhi /Ÿ_jcd›%9 cÖ#° ． ２̈ ©èš›á¶F9 :-9c>š›Z ． 归纳提升： r[@9:R@-9 :-¥×¨ÊY¥© -‘I １̈ ©‘žÏ ｙ ＝ ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂ -9:-Y¥Ê ¥×'?]¶F[@ 9:-Rç>¨ － １ œ ｓｉｎ ｘ œ １ ©‘h ． ¨ ２ © ‘ ž Ï ｙ ＝ ａｓｉｎ２ｘ ＋ ｂｓｉｎ ｘ ＋ ｃ， ａ  ０ ? ｘ P Ｒ -9:- ¥×ÊY¥'?]^P &ûž?Ÿ ｔ ＝ ｓｉｎ ｘ ? Ãó9:bc0@M ｔ -èÙ9:?¶F  I‘¥×ÊY ¥ ． ‘h&2X…( O [ @ 9 : - R ç> ． "#% 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67]%xJtuFG<“@„•j ４．利用正弦曲线，求满足１２ ＜ ｓｉｎ ｘ≤槡 ３ ２的ｘ的集合． 【分析】　 作出正弦函数的图象，再利用数形结合法求解． ［归纳提升］ 归纳提升： F§j9:;.h§ jŒxŸ-Þß １̈ ©º+šÂ-[@ 9:ÊA@9:p ¡ ０，２ ÷¢°-;. ． ２̈ ©Ë+’“ŒxŸ pÖ#¡ ０，２ ÷¢°- hí ． ３̈ ©´µ/Ÿ%Ë+ GH×f-hí ． KLMN%OPQ １．在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点 的横坐标的差等于 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． π２ Ｂ． π Ｃ． ３π２ Ｄ． ２π ２．已知ａ∈Ｒ，函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ － ｜ ａ ｜，ｘ∈Ｒ为奇函数， 则ａ等于 （　 　 ） Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． － １ Ｄ． ± １ ３．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ与函数ｙ ＝ － ｓｉｎ ｘ的图象关于（　 　 ） Ａ． ｘ轴对称 Ｂ． ｙ轴对称 Ｃ．原点对称 Ｄ．直线ｙ ＝ ｘ对称 ４．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［０，２π］的图象与直线ｙ ＝ － １２的交 点有 （　 　 ） Ａ． １个 Ｂ． ２个 Ｃ． ３个 Ｄ． ４个 请同学们认真完成练案［８                 ］ ５． ２　 余弦函数的图象与性质再认识 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．能用“五点法”画余弦函数在［０，２π］上的图象． ２．理解余弦曲线的意义． ３．掌握余弦函数的性质，会求余弦函数的最小正周期、单调区间和 最值． 通过学习余弦函数的图象及性质，重点 提升学生的数学抽象、逻辑推理，数学运 算等素养． "#&