1.5.1 第1课时 正弦函数的图象与性质再认识-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦正弦函数的图象与性质这一核心知识点，系统梳理从单位圆中正弦线作图到“五点法”画简图的步骤，再到定义域、值域、周期性、单调性等性质的再认识，构建从直观操作到抽象理解的学习支架。 资料通过“多维理解”解析作图原理、“微点练明”强化性质应用、“典例+针对训练”巩固五点法，培养学生用数学眼光观察图象特征、用数学思维推理性质逻辑的能力。课中助力教师逐点理清教学，课后学生可通过判断、选择、作图练习查漏补缺，提升应用意识。

　　　 §5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1　正弦函数的图象与性质再认识 第1课时　正弦函数的图象与性质再认识 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 　[课时目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.掌握“五点(画图)法”画正弦曲线的步骤和方法. 2.理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、单调性等性质,并能求正弦函数的性质及利用性质解题. 逐点清(一)　正弦函数的图象 [多维理解] 　　正弦函数图象在平面直角坐标系中的作法 (1)作单位圆,把☉O 12等分(当然分得越细,图象越精确); (2)12等分后得到对应于0,,,,…,2π的角,并作出相应的正弦值; (3)将x轴上从0到2π一段分成12等份; (4)平移相应角的正弦值; (5)描点,用光滑曲线顺次连接各点,就得到y=sin x在区间[0,2π]上的图象(如图); (6)将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x,x∈R的图象.正弦函数的图象称作正弦曲线. [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)第一象限内的角越大,其正弦曲线越长. (　　) (2)正弦函数的图象向左、右两边无限延伸. (　　) (3)正弦函数是定义域上的增函数. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)× 2.下列图象中,y=-sin x在[0,2π]上的图象是 (　　) 答案:D 3.函数y=sin|x|的图象是 (　　) 解析:选B　y=sin|x|=结合选项可知选B. 4.下列函数图象相同的是 (　　) A.y=sin x与y=sin(π+x) B.y=sin与y=sin C.y=sin x与y=sin(-x) D.y=sin(2π+x)与y=sin x 解析:选D　利用诱导公式可知D图象相同. 逐点清(二)　正弦函数性质的再认识 [多维理解] 函数 y=sin x 定义域 R 最大(小) 值和值域 当x=2kπ+,k∈Z时正弦函数取得最大值1;当x=2kπ+,k∈Z时正弦函数取得最小值-1.正弦函数的值域是[-1,1] 周期性 最小正周期为2π 单调性 在区间,k∈Z上单调递增;在区间,k∈Z上单调递减 奇偶性 图象关于原点对称,是奇函数 |微|点|助|解| (1)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一. (2)正弦曲线是中心对称图形,其对称中心的坐标为(kπ,0)(k∈Z),即正弦曲线与x轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其对称轴方程是x=kπ+(k∈Z),对称轴垂直于x轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值. (3)判断正弦函数奇偶性时,必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数. [微点练明] 1.函数f(x)=xsin x (　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 解析:选B　函数的定义域为R,且满足f(-x)=(-x)·sin(-x)=x·sin x=f(x),所以f(x)=xsin x是偶函数. 2.函数y=sin的最小正周期为 (　　) A. B.2π C.π D. 解析:选D　∵sin =sin=sin, ∴自变量x只要并且至少要增加到x+,函数y=sin,x∈R的值才能重复出现.∴函数y=sin,x∈R的最小正周期是. 3.函数y=4sin(2x+π)的图象关于__________对称. 解析:y=4sin(2x+π)=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称. 答案:原点 4.sin__________sin(填“>”或“<”). 解析:0<<<,由于函数y=sin x在上单调递增,则sin<sin. 答案:< 逐点清(三)　五点(画图)法 在平面直角坐标系中描出五个关键点(0,0),,(π,0),,(2π,0),然后再根据正弦函数的基本形状,用光滑曲线将这五个点顺次连接起来,就得到正弦函数在[0,2π]上的简图.这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”. |微|点|助|解| (1)在描点时,光滑的曲线是指经过最高点或最低点的连线要保持近似“圆弧”的形状,经过位于x轴上的点时要改变“圆弧的圆心位置”. (2)作图时自变量要用弧度制,这样自变量与函数值均为实数,在x轴、y轴上统一单位,作出的图象正规,便于应用. (3)“五点(画图)法”作图的五个点,不一定是我们列出的那五个点,如x∈[-π,π]时的五点为(-π,0),,(0,0),,(π,0). [典例]　利用“五点(画图)法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图. 解:(1)取值列表: x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1-sin x 1 0 1 2 1 (2)描点、连线,如图所示. 　　|思|维|建|模| 　　“五点(画图)法”作形如y=asin x+b,x∈[0,2π]的图象时,其步骤如下: (1)列表:取x=0,,π,,2π; (2)描点:将表中所对应的点(x,y)标在坐标平面内; (3)连线:用光滑的曲线将所描的点连接起来.在连线过程中要注意曲线的“凸性”. 　 　　[针对训练] 　作出函数y=+sin x,x∈[-π,π]的大致图象并写出使得y<0和y>0的x的取值范围. 解:因为y=+sin x,列表: x -π - 0 π y - 描点、连线,函数图象如图所示. 令y=0,即sin x+=0, 则sin x=-, 所以x=-+2kπ(k∈Z)或x=+2kπ(k∈Z). 因为x∈[-π,π],所以x=-或x=-. 由图可知当-<x≤π或-π≤x<-时,y>0,当-<x<-时,y<0. 学科网（北京）股份有限公司 $