第29 期 正弦函数 、余弦函数的图象与性质再认识-【数理报】2024-2025学年高一数学必修第二册同步学案（北师大版2019）

生流物冷去机工海计染油琳洁量·地等世则 丰世端相样碱红 的￥装量探装内线 1s1-y4 数理招 25年1月7日五 高中数学 国低重日量量游摩线 量29期卓策111网 北御大 公修第二番 名人名留 美隆阅：全有 倒4求场觉消域： 巧用正 余弦函数的图家和性质 (1y3-22w=(=4--1 料 整)由1位话精的有界性可知，一1 2青来生+山 雪 一，方用正式函数州围条课角的取黄殖图 单句型2所 5品数，=3-2，值减为：15 学，为写 (1山因为-16两年写，丙与专= 解1而出正线 发地权导如 )u(-号引u宁 得注：本与◆禁函数有是的高具的发文受 4得泉鞋，住表 - 请重干恒，年时 得住：一是山载值成的击有，观多老，起 刷3立用情：孟 天4身用L不司 在一十圆叫<a≤年时。 有法，料到人金，二角△位是高世的种准制： 土：风使无明照平古 2(号4贺 一文美样 出十控节月是正调为1： 的相聚月连枚y■2国成 五，巧两主运酒验的单调性比提大小 常，略$不色十其雨 南清是小，产子粉伟：能审童里是 的知甲图形型积超 9例5比轻dn2,m)▣4的大个 保无下专，五义之典 M:局们的2=制至-2)，m)=1日 群：图1中5好关，天与天显形：且 店有青路平免 -11 理连1利调3核有风东解王2(，期里 因为0<。一3七。一2《号，造：4 平表表军之冷写 图幸：2作L汽：▣得每据相义：年在一个两 网酸x中得cs。好引率 龙，是其学之感有系 在和，引上师增 4室线，一2边首材闲中工耳平积可同 只0《■-5)《4l年-2) 二，药用食以通做的图象事活验的定文超 等铃化为多4正沙￥民 t1语1n1,1141g,1间5= his-l+1e1华+小e Ix274r 流4红 拉上可L4,4d集》。n2 解：花和又 牌注：求型舞系规制围型时香触响，不超直 厚佳：机校购卷5角4组丝的大小，是城通 一 转电女然合人走解，可成利自是就函量国泉的年奇购一单病区闻上的风是二角高粗的幸同 1n人生A专该 一文样 学以m 1 其理 小属声面产编 用停 作产产产入华，国事 巧用 3-1,从，1I的闲象g管是：比通 1江闻单◆无酒 图象解系难 ..n 我见以了年：为别羽图销的 不清就人前.青无专 日a挥味5布 42)作出函数y“出11的明象，如国3- 例2表行有车=年的相的乾 三指的国是中学数学中型 2,从的象可以帮出共不 以我们瓷我们 函丝 诉某与函有关的学时，红健 .从图象可看品：%：3，时y=和：可 物风晚，是见成们自 富里■见聚。直见，再连，羽快翼第网解有内程共有三十核 识球年品子自 在的说国，微我本高 阿1度aA34A,g(D,2w1,然4图 十人 例)下列益是香为属寒面我如果是， 2 素养·专练 越祝松 风岳春·为量漏1距引封置K漫引工平的%之零老 专项小修一、更弦汤数的图像与性质再认识 专顷小脑二，余弦函数的用象与性质再认识 13能y由行=-国 (1L-1,11 川e- 侵， 61 (D(2.D 工世正义在多上的韩图数八：)楚其，为整E州鲜则网台，H 土设址和▣丹得春护漏数：一一1约量大监通小监，影划， -4 生：圣）时，制罗》 (-} 心-g 16- 0- (折-2 11多魂》销)年每-4)-1然国象 头人多4)老油5八年2=式0E■2=)得集虹直现y=1湖 (nc)+-.cm (山类于直：，芳时称 (超关干境找：=言对称 一个封的字国形，面列法2是 1(，-1 )(货程)0m1 4营y=力一2和单调0的瓦国为 -o (D)服减的形粉为1： 4巴丸数43+2能过点（于.州色 友甲五生”出者位，。1-期3电.=】的大n国象，写出 长某角校几)票2上的周 丰组舟是组诗制 影者苍整见下用 s=+A(l 9.x-n(n 界梨名程 心期女州小年与点告卧单 样解ta 上 t子d-学】 中填牛解一 两-（行）一 -wm---14智：= 丝■电为小44#时酒：重 +-40.上 4（号小 情ww4一 m=子 原e4一1至 +A(Yl #三 香缘小二 山子川 21出1到 “m-h+ 。-子-4+ . 界得儿■期，十A方青 :(0040 小 [m- wi-n1-背- 期=4m于一a0na0 士wH子 ..m 手下 的背m一 4g· 关一子风月面制4精江形4两丙 . 一m心》学学 -李 法片 山中=予 级用H场情台米缘导想军 24早学， -,净通■ 哈 国细#1得8年各 Raan de-. ) =7 品计 0) 二下高一数学北师大（必修第二册）第27~31期 数理括 答案详解 2024~2025学年高一数学北师大（必修第二册）第27~31期(2025年1月) 1,分针是每小时顺时针旋转一圈(-360)，所以根据任意 第27期2版 角的定义可得一个半小时旋转了-360°×子=-540 专项小练一 1.A:2.D;3.C;4.10;5.2 2.因为2025°=225°+5×360°， 6.解：因为1小时=60分钟=12×5分钟，且水车5分钟 所以2025°和225°的终边相同. 转一圈，所以1小时内水车转12圈. 3.因为α是第四象限角，所以-a是第一象限角， 又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水 则由任意角的定义知，270°-α是第四象限角， 10升，所以每转一圈，最多盛水16×10=160（升）， 4.设圆孤的半径为，弧长为1，其孤度数为二，将半径变为 所以水车1小时内最多盛水160×12=1920（升）. 专项小练二 1.C:2.C:3.ABCD:4.220°，-140°： 原来的一半，弧长变为原来的号倍，弧度数变为 3. r 5.a=k·360°-B,keZ,a=k·360°+B+180°，keZ, 即弧度数变为原来的3倍： a=k·360°+180°-B,k∈Z 5.根据题意，立春是霜降后的第七个节气，故从霜降到立 6.解：(1)设角a=B+k·360(keZ), 则B=-1910°-k·360(k∈Z). 春相对应为地球在黄道上逆时针运行了7×15°=105° 令0°≤-1910°-k·360°<360°， 设105°角的溪度数为a则号=览所以a=侣 解得-6站<≤-5站 所以从霜降到立春对应地球在黄道上运动的弧度数为 所以k=-6,求得相应的B=250° 12 所以&=250°-6×360°(k∈Z),为第三象限角。 6.由题意可知，对于集合A=xlx=a-片·360°，k∈Z, (2)令0=250°+k·360°(eZ), 则x-a=-k·360°，k∈Z,表示终边在x轴正半轴的角： 取k=-1,得0=-110： 对于集合B={x1x=4-k·180°，k∈Z, 取k=-2,得0=-470°， 则x-a=-k·180°，k∈Z,表示终边在x轴上的角： 故0=-110°或0=-470 对于集合C=x1x=+k·90°，k∈Z, 专项小练三 则x-a=k·90°，eZ,表示终边在坐标轴上的角： 1.D:2.B:3.ABC: 所以A至B至C. 4.(1)35.(2)-157,30.(3)390: 7.当k=0时，k·180°+45°≤a≤6·180°+90°即45 5.1)5.(2)-(3) ≤《≤90°，即选项(C)中第一象限所示的部分： 当k=1时，k·180°+45°≤a≤k·180°+90°即225°≤ 6.解：设扇形的半径为R,圆心角的弧度数为α， α≤270°，即选项(C)中第三象限所示的部分. 则 解得 R=4或 R=2, aR+2R=12. a=1,la=4. 8.设圆的半径为r,则0D=r-(,2-1),4D=子4B=1, 由勾股定理可得0D+AD=OA, 故该扇形圆心角的弧度数为1或4. 即[r-(2-1)]2+12=2,解得r=2, 第27期3,4版 所以OA=OB=2,AB=2. 周期变化、任意角，弧度制同步核心素养测评 一、单项选择题 所以01+0E=AB,故∠A0B=受， 1 -4 DCDD 5~8 CDCB 提示： 因此.Ca=号×2= 2元 高一数学北师大（必修第二册）第27~31期 二、多项选择题 9.ABC;10.BC;11.ACD. 显然号<<1<侣故a<B<y<0= 提示： 14.角α的取值集合由两部分组成： 9.终边在x轴负半轴上的角是a=2kπ+T,k∈Z,零角是 ①1a1k·360°+30°≤a<k·360°+105°，k∈Z: 没有旋转的角，所以(A)为假命题： ②1a|k·360°+210°≤a<k·360°+285°，k∈Z: 所以角a的取值集合应当是集合①与②的并集： 第二象限角应表示为(26m+受，2m+示）k后乙，是由 1a1k·360°+30°≤<k·360°+105°，keZU|a 无数多个区间的并集构成，所以(B)为假命题： 1k·360°+210°≤a<k·360°+285°，keZ=x12h·180 第四象限角表示为(2m+,2km+2）,4e乙.当k≥ +30°≤a<2k·180°+105°，k∈ZU1al(2h+1)·180 +30°≤《<(2k+1)·180°+105°，k∈Z}={an·180° 0时，就是正角，所以(C)为假命题； +30°≤a<n·180°+105°，neZ. 若B=a+k·360(k∈Z),则α与B终边相同，所以(D) 四解答题 为真命题。 15.解：沿外侧弧AB行驶， 故选(A)(B)(C) 则行驶经过的弧的半径为45+9=5（米），120°=要。 3 10.对于()，-7的终边与云相同，为第二象限角，所以 6 行驶经过的孤长为55×2红=10▣=115（来. (A)不正确： 3 3 对于(B).设扇形的半径为，子=，所以r=3,扇形面 即自行车自A驶向B大约要行驶115米 16.解：(1)与角x终边相同的角的集合为{00=2kπ+ 积为行×3×=要所以(B)正确： 对于(C).65°=675×0=，所以(C)正确： 对于(D),角a为锐角时，0<a<牙，所以0<2a<m, 令-4m<2m+号<，得-<k<- 6 3 2 又素eZ,所以k=-2,-1, 所以(D)不正确。 故选(B)(C). 所以在(-4，一)内与角a终边相同的角是-红、-红 3 3 11.如右图，分别延长AB与DC交 (2)由(1)知B=2km+牙(k∈Z),则号=km+开(k 6 于点0，易得△AOD△BOC,得A0=A D0=4, eZ),则当为偶数时，角号是第一象限角：当k为奇数时，角 所以△AOD为等边三角形，∠BOC B =∠B4D=骨，所以∠ABC=牙 号是第三象限角。 则D的长为A0·∠BOC=4 所以角号是第一或第三象限角。 31 17.解：由已知得k,·360°<a<90°+k·360°(k,∈Z), 该平面图形的周长为6+？ ① 面积为对×号×4-宁x2×5=暂-尽 90°+k·360°<B<180°+k2·360°(k∈Z). ② 3 ①+②，得90°+(k1+k)·360°<《+B<270°+(k 故选(A)(C)(D) +k2)·360(k,keZ). 三填空题 所以45°+(k+k)180°<+里<135°+(k+): 12.5 rd:13.a<B<y<o=i 2 180(k,k2∈Z). 14.1a1n·180°+30°≤a<n·180°+105°，n∈Z. 当k+=2m(m∈Z)时，450+m360°<+E<1350 提示： 2 12.因为r=120mm,1=144mm, +m·360,所以角P的终边在第一象限或第二象限或y轴 所以由1=m得a=子=错=号(a. 的非负半轴上： 1.a=15°=5×=8 当k,+k=2m+1(m∈Z)时，225°+m·360°<a+β 2 0=105=105×高-7浸 <315°+m·360°，所以角“十P的终边在第三象限或第四象限 高一数学北师大（必修第二册）第27~31期 或y轴的非正半轴上. 专项小练三 综上，角士的终边可能在第一、二三，四象限或y轴上 1.D:2.B:3.ACD:4.4:5.0 6.解：(1)函数f八a) 18.解：由题意得，动点P,Q由第次相遇到第k+1次相遇 所走的弧长恰好是一个圆的周长4π，因此它们第五次相遇时 sin(a-)cos(2-a)sin(-a) 所走的弧长为20π. cos(--a)sin(--a) 设动点P,Q从A出发到第5次相遇所用的时间为：秒，走 (sin a)cos a (-cos a)=-cos a. (-cosa）·sina 过的弧长分别为↓，4， 则=×2=6=-石×2=子， (2)因为in(受-a）=，即csa=- 5 1 因为4+4=号+子1=20， 所以fa)=-cosa= 5 。=20秒所以4=96贺 第28期3,4版 所以二2短+文 正弦函数与余弦函数的概念及其性质同步核心素养测评 一、单项选择题 因此P,Q走过的长分别为9,9 1 -4 ABBC 5 ~8 BCAC 19.解：(1)根据题意，可得允=x0m,l命=20m 提示： 因为BA+CD+l众+o=6m, 2由三角函数定义知：a号=p=-子 p 所以(2-x)+(2-x)+x0+20=6, 所以0=2+2(0<x<2). ==. x+2 1 所以xp=-1,yp=3,即点P的坐标是(-1,5). (2)根据题意，可知y=S0n-Sc=29×2 3.由题意，可知cos0·sin0<0,即sin0与cos0异号， r0<<2 所以0为第二，四象限角， 所以y=-++2=-(-）广+0<x<2) 4m(空--m1-(（-分+)≤-04 所以当=宁时=号 5.im(g+o）=sin[(+o-]=-si加[受 因此，当x=之时。y的值最大，且最大值为子 （+0)]=-(停+)=子 6.因为角α和B的终边关于x轴对称，可得=-B+2hπ， 第28期2版 k∈Z, 由sina=sin(-B+2kr)=-sinB,所以(A)错误； 专项小练一 由sin(a-2r）=sina=-sinB,所以(B)错误： 1.B:2C:3ABD:4-号：5号 由cosa=cos(-B+2km)=cos(-B)=cosB,所以(C)正确： 由c0s(2r-a)=cosa=c0s(-B+2kx）=cosB,所以 6.解：射线y=-3x(x<0)经过第二象限，在射线上取 (D)错误 点(-1,5)，即角的终边经过点(-1,5)， 则r=√（-1)2+(3)2=2， 7因为i血(m+a)）+m(受+a）=-m. 所以sina=上=5。 2,c0s0=x=一3. 所以-sin&-sin&=-m所以sina=受 专项小练二 则cos(罗-a）+2sin(2m-a）=cos(r+号-a）+ 1.D:2B:3AC4.二：5[-受受] 2sin(-am）=-o(受-a）-2sina=-sina-2sina 6解：当a>0时，+h=0. 解得02， l-a+b=-4,l6=-2, -3加a=-受 当a<0时，{+6=0解得=-2. la+b=-4,6=-2 &当a=要时ona=MP=受osa=OW=- 2 2.9 所以a=2,b=-2或a=b=-2. 所以MP+OM=0,故(A)(B)错误： 高一数学北师大（必修第二册）第27~31期 当a=0时，sina=MP=0,cosa=0M=1, 所以MP+OM=1,故(C)正确： 当=1时，(o(-)(-)）, 当a=r时，sina=MP=0,cosa=OM=-1, 得Q(m子-in子）即Q(停，-受)放()正确： 所以MP+OM=-1<0,故(D)错误 二、多项选择题 当k=2时.0((-4经）sin(-z） 9.AD:10.AC:11.ABD. 提示： 即0(cas侣n）,故(D)正确： 9.显然(A)正确： 由三角函数的周期性可知，其余各点均与上述三点重合， 当sinx=-1时，y=3sinx取得最小值-3，故(B)错误： 故(C)错误， y=c05x-1的单调递减区间为[2km,T+2kr](keZ), 故选(A)(B)(D. 故(C)错误； 三、填空题 因为2im[2x+4a)-8]=2sin[(分-g） 12(-2.3):136,140 2=2n(宁-），所以由周期函数的定义可知，原函数 提示： 12.由题意可知此点是第二象限中的点， 的周期为4π，故(D)正确. 所以3n-9<0,且n+2>0, 故选(A)(D) 所以-2<n<3. 10.sin a = 1-m 13.原式=in(45°-4×360°）·cos(30°+3×360）+ ,C0s0= √m+(1-m) √m2+(1-m) cos(60°-3×360）·sin(30°+2×360°)=sin45°·cos30° 当me(0,1)时，sina>0,当me(1,+x)时，sina<0, 当m=1时，sina=0,故sina的符号不确定，故(A)符合： +m60如0=号x号×6 4 m c08a= >0,符号确定，故(B)不符合： √m+(1-m) 14.1)+2)+3)+4)=1-(受+平）+1- sin a cos a = Vm+-m当me(0,）时， 1-2m sin(m+)+1-sim(受+平）+1-sin(2m+年)=4 sina-cosa>0,当me (分，+）时，na-sa<0 -cos平+sin牙+cos开-in年=4 同理可求得f5)+f八6)+f7)+f8)=…=45)+ 当m=子时，na-osa=0,故ina-cosa的符号不确定， f46)+f47)+f48)=4, 故(C)符合： 所以八1)+2)+…+八50)=4×12+f八49)+(50) sin a eos a = >0,符号确定，故(D) =4×2+1)+2)=4+2-号，号=0 √m+(1-m)月 四、解答题 不符合 故选(A)(C) 15.解：(1)/a)=-sinco-cms0-es (eos a)sin a 11,由题意得Q的初始位置Q,的坐标为 cos 4' (2)因为oam(受-a）=-sina sin),0,op=平， 所以ma=-方ma=25放o)=25 5 设t时刻P.0两点重合，则1+2=2m-牙+2km(keN), 16.解：由f八sinx)=8in[(4n+1)x]对于任意实数x均成 即1-7侣+2(keN. 立，且eos=i(受-得： 此时点0(o(牙-2r）i(平-2)） cos)=sim(受-川 即o(m(告-皆)m(竖-约)keN =sim[(4n+1)·(牙-x川 =sin[2nm+号-(4n+1) 当k=0时.0(m()m(-）) =im受-(4a+1) 即(=臣，-n臣），放(A)正确： =cos[(4n+1)x]. 高一数学北师大（必修第二册）第27~31期 17.解：(1)因为角a的终边与单位圆交于第一象限的点 所t以Sa心+SAm<Saem,即9+g9<子 2 2 () 所以in0+co0<2 T 所以（兮）+=1解得= >0, 3 4 (2)易得sia=3,cosa=5,sin(a+B)）=为，cos(a 所以1<i血0+co0<受 (2)在图中，因为0<x<1,0<y<1, +B)=x2 所以0<cos0<1,0<sin0<1, 若选条件①B=受 因为函数y=a(0<a<1)在R上单调递减， 所以cos30<cos20,sin30<sin20, 则达 sin (a+ c0s0=- 4 因为sin20+cos20=x2+y2=1, eos(+号 sin o 3 所以sin30+cos30<1. 若选条件②B=T, 第29期2版 则之=sin(a+π) 3 =二sin= cos(a+) -C0s 0 4 专项小练一 若选条件③B=受 1.B:2.C:3.AD: 4[受+2km7+2m]: 5.3. 则之 sin a+2 -cos a = 4 6.解：按五个关键点列表如下： sin o 3 0 18.解：(1)/(a） sinx 0 0 0 sin(2-a)cos()cosa)cos(-a) y I sin x 0 cs(m-a)sin(3a-a)sin(-m-a)sin(置+a） 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如下图所示： =1-sinx,∈0,2 =sin(a)(-cos a)(-sin a)(-sin a)=sin a (-cosa)sina·8ina·cosa cos a (2)由三角函数的诱导公式， 可得sin(180°+ca=-sinc=-0,即sina-0 32m 10' 又因为0°<a<90°，所以0sa=30 由图可知，当x∈0U[,2π]时，有1≤y≤2成立. 10 专项小练二 -_310 所以原式=二sina-cosc。10 10 1B:2D:3AC:44:50受）u(2m] =2. cos a sin a 3/10,/10 + 6.解：设f(x)周期为T,则/八x+T)=f八x),即cos2(x+T) 10 10 =cos2x对任意实数x都成立.也就是cos(u+2T)=cosu对 19.证明：(1)设单位圆与x轴y轴的正半轴分别交于A,B 任意实数u都成立，其中M=2x. 两点，角日的终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点P(x,y), 由y=cosu的最小正周期为2π，可知使得cos(w+2T)= 如右图，连接PA,PB,AB,过点P作 xy) cosu对任意实数u都成立的2T的最小正值为2π，可知2T= PM⊥Ox,PN⊥Oy,M,N分别为垂足. 2m,即T=m. 因为y=sin6,x=cos6, 所以八x)=cos2x的最小正周期为T,周期为m,k∈Z 所以Saoe=宁10M1PW1= 第29期3,4版 2=2sin9, 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识同步核心素养测评 一、单项选择题 5am-10B1-P1= 1 ~4 CCAB 5 ~8 DCBC 提示： S=子，又四边形0APB在扇形A0B内， 2.由余弦函数的图象可得cosx<0,xe[0,2π]的解集为 5 高一数学北师大（必修第二册）第27~31期 (5) 二，多项选择题 9.ABC;10.BC;11.AC. 3.x)=sin(x+受）=cos,所以直线x=π是x) 提示： =cosx的图象的一条对称轴。 只因为函数)=mx2在[石小上只有一个 4.因为1弧度≈57°，2弧度=114°，3弧度=171 零点 所以sin1≈sin57°，sin2≈sin114°=sin66°， sin3≈sin171°=sin9o. 所以方程in-22=0在x后[若]上只有-个 因为y=sinx在0°<x<90°上是增函数， 所以sin9°<sin57°<sin66°， 解，即函数y=inxe葡后，]的图象与直线y='之只 即sinm3<sinl<sin2. 有一个交点.如图1所示： 5.对于(A),y=mx在(0，受】 上是增函数，且是以2π 为周期的奇函数，不符合题意： 对于(B),y=cosx的周期为2π，不符合题意： 0 对于(C),y=|sinx1的周期T=r,为偶函数但在0， 6 图1 受）上单调递增，不符合题意： 由图可知，当22e[0,2）或'22=1时，只有-个 对于(D),y=|cosx1为偶函数，周期T=π，且在0， 交点，所以a的取值范围为(0,1]U「-1{，结合选项知选 (A)(B)(C). 受）上单调递减，符合题意。 10.因为f八x)=sinx☒cosx= sinx,sinx≥cosx,画 cos x.sin x cos x. 6.因为x)=-2in,定义城为R, x2+1 出八x)的图象，如图2 -）=二-2丑：-=2m:-x). (-x)2+1 x2+1 7 即(x)为奇函数，函数象关于原点对称，故除(B),(D): 0 当x=时（） 6 3π -<0 (）+1(爱）+ 图2 故排除(A),故选(C). 7.因为f孔x)的最大值是M,最小值是N, 对于()（受）=1(-号）=0，即-受）≠ 所以N≤f(x)≤M=N-3≤八x)-3≤M-3. (受），所以)不是偶函数，(A)错误： 又因为f八x)-3=xcos x是奇函数，图象关于坐标原点对 称，所以N-3+(M-3)=0,所以M+N=6. 对于(B),由图可知)的一个周期为牙-（-）= 8.对于(A)Jf(-x)=-xsin(-x)=xsin x=八x),所以 2,(B)正确： 八x)是偶函数，函数y=八x)的图象是轴对称图形，(A)正确： 对于(B),I sinx|≤1，所以对任意实数x,If八x)I≤|xI 对于(C),当xe[0,4]时，sinx≤osx,则八)= 均成立，(B)正确； os而)=sx在[0，牙] 上单调递减，(C)正确： 对于(C),当x=2m+号keZ或=2m-受ke乙 时，sinx=1或sinx=-1,所以函数y=八x)的图象与直线y 对于(D),由图可知)的最小值为-号 ,(D)错误 =x有无穷多个公共点，但任意相邻两点的距离不相等，(C)错 故选(B)(C). 误： 11.f(-x)cos(-x)+l cos(-x)I cosx+l cos xI 对于(D),If(x)1≤xI,所以当常数k满足1k1>1时， =八x),可得函数八x)为偶函数，故(A)正确： 函数y=八x)的图象与直线y=x有且仅有一个公共点(0， 由+1=：<0国出资数 0),(D)正确. l2cosx,cosx≥0 6 高一数学北师大（必修第二册）第27~31期 图象如图3： 少含有30个零点，所以不妨假设a=π（此时k=0). 6 则此时6的最小值为28+爱，（先时=1）. 0 所以b-a的最小值为28m+5知-丑=86▣ 6-6 3 图3 四、解答题 由图观察可知函数f八x)图象不关于点(kπ，0)（其中素∈ 15.解：(1)当cosx≥0，y=cosx:当cosx<0,y=0. Z)成中心对称，故(B)错误： 函数图象如图4所示. 由题可得f八x)=cosx+I cosxl 0. 是+26m<<3+26m, k eZ. 2msk,-受+26m≤x≤受+2hm 2 所以八x)e[0,2], 图4 所以当f八x)∈[0，I)时，g(x)=[fx)]=0. (2)由图象知函数是周期函数，且它的最小正周期是2π 当fx)∈[1,2)时，g(x)=[fx)]=1, (3)由图象知函数的单调增区间为[2km-号，2m](k 当fx)=2时，g(x)=[fx)]=2, Z). 所以函数g(x)的值域是0,1,2，故(C)正确： 若g(x)=0,则方程g(x)=x=0,即x=0, 16.解：(1)因为es(2x+石）=[-1,1. 但g(0)=[(0)]=[2]=2,不满足题意： 又b>0.则-b<0. 若g(x)=1,则方程g(x)=x=L,即x=1, [=b +a= 3 但g(1)=[/1)]=[2cos1], 所以 2 解得a=6= 因为分<eos1<1,所以1<2o1<2. =-b+a = 2 所以g(1)=[f1)门=[2Cos1门=1，满足题意： (2)(1)知，g()=-2im(x-号） 若g(x)=2,则方程g(x)=x=2,即x=2, 但g(2)=[八2)]=[0]=0，不满足题意， 因为m(x-号）e[-11.所以g)e[-2.21, 所以方程g(x)=x只有一个实数根为x=1,故(D)错误 故选(A)(C). 所以g(x)的最小值为-2，对应x的集合为xx=2kπ 三、填空题 kez 2(2m2m+号]kez:1B[23:14 17.解：由cos2x+(2+a)cosx+2a=0, 提示： 得(c0sx+2)(co5x+a)=0, sin 0, 因为cosx≠-2，所以c08x=-a, 12.依题意得 1 cosx≥2 即求在[-牙，号]上使x=-a有两实数根时的a的银值 解得2m<≤2m+号，ke乙 范围 1B由oe-1=6ms,得cos= 由y=ome【-，号】和y=-a的图象可知号≤ -a l. 因为-石≤x≤号，所以分≤c0x≤1 所以实数。的敏值范腿(-山，一号】 则时≤≤1，解得2≤m≤3 18.解：原方程可化为a(1+3sinx-2sin2x)=2,则a≠ 0. 14.根据)=2in-1=0,即n￥= 因为x∈[0，π]，所以sinx∈[0,1]，所以1+3sinx- 故=2m+后或x=2+爱ke乙， 2sin'x >0. 因为f八x)=2sinx-1在区间a,b](a,b∈R且a<b)上至 所以子=-2x+3n+1=是-2（血-子）月 高一数学北师大（必修第二册）第27~31期 令1=imx,则1e[0.,作出y=号-2(-子）1e 得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不 0.及y=子的图象（如图5， 变)，得到函数y=3sin2x的图象，再把所得函数的图象向左平 移8个单位长度，得到函数y=3si血(2x+平）的图象，最后 把所得函数的图象向下平移I个单位长度，得到函数八x)= 3sin(2x+于）-1的图象。 0 (2)最小正周期为T==, 2 图5 可知当1≤子<2或子=号时.两图象在0,1内有且 由2年+开=2m+号keZ求得x=km+及k后乙， 4 a 此时f八x)的最大值为3-1=2， 仅有-个交点即方程子=号-2（-)在[0，内 即对应的x的集合为 xs-kmtkez 有且仅有两解，此时a的取值范围为a1<a≤2或4= 第30期3,4版 } 函数y=Asin(r+p)的性质与图象同步核心素养测评 一、单项选择题 19解：()当xe[o,号]时，-子≤ms≤1， 1~4 ACDB 5-8 ACBD 提示： 由f代cosx)≥2cosx+a可得a≤3cos2x-2c0sx+1= 1.要得到函数y=cos3x(x∈R)的图象，只需将函数y= -）广+号 cosx(x∈R)的图象上的所有点的横坐标变为原来的了（纵坐 当csx=专时，函数y=3(sx-专)厂+号取得最小值 标不变) 子所以a≤子。 2根据题意可得8()=(x+4）=sin8(+4) sin(8.x+2),则g(2x)=sin(16x+2). 即实数▣的取值范是(-，号]， 3.y = co(号-2x）=sim[号-（号-2xj= (2)对任意xe[-1,1]x,)=3x+1e[1,4], 当e[0.】时则g≤受+君≤号 加(2：+石），因此只需将)=n2x的图象向左平移沿个单位 4,因为f八x)是奇函数，所以p=π(keZ), 所以号≤sin(警+君）≤1 因为0<p<2m,所以中=π ①若k>0.则g)+1=ksn(2+君)+1e[ 因为f(子+)=f(牙-所以)关于x=平对 +1,k+1,由题意可得+1>4，解得k>6: 称，所以a·年+行=受+m(ke2),所以。=-2+4（无 ∈Z),当k=1时，w=2. ②若k<0,则g()+1=ksim(受+石）+1后[k+ 5由题意得g(田=e小(-君)] 1,2+1小由于+1<1，合乎题意，则<0 =co(3x-号)=in3x 综上，实数素的取值范围是(-，0)U(6,+). 第30期2版 显然由3=号+km(传eZ)x=石+(keZ), 专项小练 当=1时，x=号是其一条对称轴。 1D:2A:3:4(空+语0)kezs号 而(B),(C),(D)三项，均不存在整数k满足题意. 故选(A). 6.解：(1)将函数y=sinx图象上每一点的横坐标不变， 纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数y=3sinx的图象，再把所 6.将函数八x)=sin(or+号) 的图象向右平移罗个长 8 高一数学北师大（必修第二册）第27~31期 度单位后得到g()=in[(-否）+号]=sim(or+号 要想在区间[a,b]上恰有8个零点，且b-a取得最小值. ）的图象 则m(2a-号）=-3im(26-号）=- 因为()的图象关于点（受，0）对称，所以：（受） a-号=-1g+2kez m(空+号-智）=m(号-)=0， 26-号-2g+2hkez. 6 两式相减得2(6-4）=20π，即b-4=10= 所以号-管=km,ke乙，即。=2-6k,ke乙，又因为 3 3 0<w<3,所以。=2，即x)=sim(2x+号) 所以6-a的最小值为9 二、多项选择题 因为e【-牙受]所以2x+号e【-吾智]。 9.AC;10.BD;11.AD. 提示： 则血(2+号）e【-受]放选(c, 9.由图象知，A=1,T=π，所以w=2,y=sin(2x+p), 7.函数fx)=sin(2x+p)向左平移p个单位后为f八x+ 将(-看，0）代入得：im(g-号）=0，所以p-号=m, 9）=sin(2x+3g）. 当xe[0,受]时，2x+3ge[3e,m+3pl, eZ,取p号得)=m(2:+号)） 因为x+p)在区间[0，号]上单调递增， y=sinx向左平移牙，得y=sim(x+于)人然后各点的横 T- -+2km≤30，k∈Z, 坐标缩短到原来的)，得)=sn(2x+号），故(A)正确： 所以 m+3p≤26m+5,kez. y=sinx各点的横坐标缩短到原来的了，得y=sin2x.然 3 后向左平移石个单位，得y=sim2(x+石）=im(2x+ 即 ≤-君+2kez 6 号），故(C)正确， 则0-君+ke五， 故选(A)(C). 6 又0<9<，所以p=受 10.将函数y=in2x的图象向左平移石个单位得到y= 8由题意得1+B=3, 解得=2. si血2(r+石)=im(2x+牙）的图象。 -A+B=-1 B=1 设x)的最小正周期为T,故号T=号解得T=, 然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2sn(2x+于）的 图象，所以(A)不正确 因为a>0,所以w=牙=2 y=/(3）=2sin(2×号+号）=2sinm=0. 放x)=2sin(2x-号）+1， 所以函数图象关于点（号，0）对称，所以(B)正确： 当xe[a,]时，2x-号e[2a-号，2b-号] 由-号+2hm≤2+号≤号+26m,6e乙， 令)=0，得sim(2x-号）=- 画出y=sinz的图象，如下图： 得-侣+k知≤≤危+kmke乙 即函数的单调增区间为一音+a,晋+k如]k后乙 当长=0时，增区间为[-吾]，所以(C)不正确： y=)+a=2si加(2x+号）+u,当0≤x≤受时，号 高一数学北师大（必修第二册）第27~31期 ≤2x+号≤7故-受≤m2+号）≤1， 函数八)的最小正周期7：器面子<爱< 8 4 所以当2x+号=行，即：=受时，函数)取得最小值， 即<<恶解得<<号 X=2sim誓+a=-5+a=5.所以a=25,所以 则。=2.即)=2co(2s-3）7=m, (D)正确. 故选(B)(D) 山.由x)=2sn(2x+石）的图象向左平移号个单位 2 8 长度，再向上平移1个单位长度得g(x)=2sin(2x+号）+1， 所以c0s(x-x,-2x3)=c0s[(x1+）-2(名+名)]= 由g(x,)g()=9可知g(x)=3,g()=3. (）=m(）-号 所以2+号=号+2冰mkeZ.即x=是+k红keZ, 四、解答题 15.解：(1)由图象可知A=4,0=2,B=4+0=2, 由出e[-2,2]可得=-。-7 2 臣所以可有2=2×(）-爱：-器，也可 设最小正周阴为子=×语：得君=号 4 Γ4 所以w=2,所以f(x)=2sin(2x+p）+2, 有2=2×-（登） 又因为(）=2im(2×石+e）+2=4,且lg1< 故选(A)(D). 三、填空题 2 22:18:4-9 所以2×君+9=号+2，k后乙，所以p=石 提示： 所以函数八x)的解析式为八)=2i血(2x+石）+2 13.因为函数f八x)=Asin(x+p)(A>0,w>0,1中|< π)是奇函数，则p=0.因为fx)的最小正周期为， 2)当xe【]时，2x+6e【后] 则T=2红=T,解得。=2.所以x)=Asin2x 则m(2+君)e【小 将y=f八x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)=Asinx, 所以函数x)=2sim2x+石 +2的取值范围是[1. 由g(牙）=2得A=2, 4]. 16.解：(1)因为函数f(x)的最大值为3， 则)=2sin2,所以/(）=2 所以A+1=3,即A=2 4.由题图知（得）=2eos(经w+9）=l, 因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为子， 所以最小正周期T=π，所以w=2, /(g）=2em(gw+p）=0. 故函数)的解析式为八)=2si加(2x-君）+1 因为点(0）位于减区间内，点（平，1）位于增区间 内，且这两个区间相邻 (2)因为f(受）=2sm(a-）+1=2， 0+p=受+2hm6ez 所以sin(a-）= 则 3。+9=要+266ez 因为0<a<受，所以-君<a-<号 6 而w>0,号<1el<m 所以a-=故a= 6 解得w=2+6N中=-平 41 17.解：1)=in(2x-号） 10