1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦单位圆与正余弦函数基本性质，系统梳理定义域、最值、周期性、单调性及函数值符号等核心知识点，搭建从单位圆几何直观到函数代数性质的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 资料采用“逐点理清”模式，通过“多维理解”深化概念认知，“微点练明”强化应用，体现数学眼光的几何直观与数学思维的推理能力。课中助力教师分层教学，课后学生可借练习题查漏补缺，提升知识应用与问题解决能力。

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 　 [课时目标] 1.借助单位圆,了解正(余)弦函数的定义域、周期性、单调性、最值. 2.能求正弦函数、余弦函数的单调区间、最小正周期、最值等,了解正(余)弦函数值的符号. 　 逐点清(一)　正弦函数、余弦函数的定义域、最值及值域 [多维理解] 1.定义域: 正弦函数、余弦函数的定义域均是R. 2.最大(小)值和值域: (1)当α=2kπ+,k∈Z时,正弦函数v=sin α取得最大值1;当α=2kπ-,k∈Z时,正弦函数v=sin α取得最小值-1; (2)当α=2kπ,k∈Z时,余弦函数u=cos α取得最大值1;当α=(2k+1)π,k∈Z时,余弦函数u=cos α取得最小值-1. 3.正弦函数、余弦函数的值域均为[-1,1]. [微点练明] 1.[多选]函数y=的函数值可以取的值是 (　　) A.- B.-1 C.1 D.2 解析:选BCD　∵-1≤sin α≤1,∴≤-1或≥1,即函数y=的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞),故选BCD. 2.函数f(x)=的定义域为 (　　) A. B.,k∈Z C.,k∈Z D.R 解析:选C　由题得sin x≥,∴+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z. 3.函数y=2-sin α取得最大值时α的值为__________.  解析:因为y=2-sin α,所以当sin α=-1时, ymax=3,此时α=2kπ-(k∈Z). 答案:2kπ-(k∈Z) 4.函数y=的定义域为__________. 解析:由2+cos α≠0知cos α≠-2,又由cos α∈[-1,1],故定义域为R. 答案:R 逐点清(二)　正弦函数、余弦函数的周期性 [多维理解] 对于任意一个角α,每增加2π的整数倍,其正弦函数值、余弦函数值均不变,即对任意k∈Z,sin(α+2kπ) =sin α,cos(α+2kπ)=cos α,α∈R,所以正弦函数v=sin α和余弦函数u=cos α均是周期函数.对任何k∈Z且k≠0,2kπ均是它们的周期,最小正周期为2π. |微|点|助|解| 正弦函数值和余弦函数值都具有周期性,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一次,这说明了角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系,即如果给定一个角,它的正弦函数值和余弦函数值只要存在就是唯一的;反过来,如果给定一个正弦函数值和余弦函数值,却有无穷多个角与之对应. [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对正弦函数f(x)=sin x有f=f,所以是函数f(x)的周期. (　　) (2)若f(x)是定义域为R且周期为2的函数,则f(-1)=f(1). (　　) 答案:(1)×　(2)√ 2.sin 390°的值为 (　　) A. B. C. D.- 解析:选C　sin 390°=sin(360°+30°)=sin 30°=. 3.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=则f的值等于 (　　) A.1 B. C.0 D.- 解析:选B　由题意得f=f=f=sin=. 4.计算:sin=__________,cos=__________.  解析:sin=sin=, cos=cos=cos=. 答案:　 逐点清(三)　正弦函数、余弦函数的单调性 [多维理解] 1.正弦函数的单调性 正弦函数v=sin α在区间(k∈Z)上单调递增,在区间(k∈Z)上单调递减. 2.余弦函数的单调性 余弦函数u=cos α在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增,在区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减. |微|点|助|解| 　　对于形如y=asin α+b(y=acos α+b)的函数性质的研究可借助正弦函数v=sin α(余弦函数u=cos α)的性质.要清楚a,b对函数y=asin α+b的影响,若参数不确定还要注意分类讨论. [微点练明] 1.函数v=sin α和u=cos α均单调递减的区间是 (　　) A.(k∈Z)　 B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析:选A　函数v=sin α单调递减,则2kπ+≤α≤2kπ+(k∈Z),函数u=cos α单调递减,则2kπ≤α≤2kπ+π(k∈Z),所以2kπ+≤α≤2kπ+π(k∈Z),故选A. 2.下列关于函数y=4sin α,α∈[-π,π]的单调性的叙述正确的是 (　　) A.在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减 B.在上单调递增,在和上单调递减 C.在[0,π]上单调递增,在[-π,0]上单调递减 D.在上单调递增,在上单调递减 解析:选B　因为函数y=4sin α的单调递增区间是,k∈Z, 令k=0,得∩[-π,π]=, 所以函数在上单调递增. 因为函数y=4sin α的单调递减区间是 ,k∈Z, 令k=-1,得∩[-π,π]=, 令k=0,得∩[-π,π]=, 所以函数在和上单调递减. 3.函数y=2sin α的值域是__________.  解析:因为函数y=2sin α在上单调递增,在上单调递减,所以2sin<2sin α≤2sin,即1<2sin α≤2. 答案:(1,2] 4.函数y=-2cos α,α∈的值域为__________.  解析:∵u=cos α在上单调递增, ∴<cos α≤1.∵u=cos α在[0,π]上单调递减, ∴-1≤cos α≤1.∵u=cos α在上单调递增, ∴-1≤cos α<-. 故-1≤cos α≤1,即-2≤-2cos α≤2. 答案:[-2,2] 　　逐点清(四)　正、余弦函数值的符号判断及应用 [多维理解] 　　如图,在平面直角坐标系中, (1)当点P(u,v)在第一、第二象限或y轴的正半轴时,正弦函数值(v=sin α)为正;当点P在x轴上时,正弦函数值为零;当点P在第三、第四象限或y轴的负半轴时,正弦函数值为负. (2)当点P在第一、第四象限或x轴的正半轴时,余弦函数值为正;当点P在y轴上时,余弦函数值为零;当点P在第二、第三象限或x轴的负半轴时,余弦函数值为负. [微点练明] 1.已知角θ的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,且满足sin θ>0,cos θ<0,则 (　　) A.θ为第一象限角 B.θ为第二象限角 C.θ为第三象限角 D.θ为第四象限角 解析:选B　依题意,由sin θ>0,得角θ的终边在x轴上方.由cos θ<0,得角θ的终边在y轴左侧.所以角θ的终边在第二象限,即θ为第二象限角. 2.sin 1·sin 2·sin 3·sin 4的符号为 (　　) A.正 B.0 C.负 D.无法确定 解析:选C　由1弧度为第一象限角,2弧度为第二象限角,3弧度为第二象限角,4弧度为第三象限角,则sin 1>0,sin 2>0,sin 3>0,sin 4<0.所以sin 1·sin 2·sin 3·sin 4<0. 3.如果点P(sin θ+cos θ,sin θcos θ)位于第二象限,那么角θ的终边所在的象限是 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选C　由于点P位于第二象限,由题意知sin θ+cos θ<0,且sin θcos θ>0,∴ ∴θ为第三象限角. 4.若α是第二、三象限角,且cos α=,则实数m的取值范围是__________.  解析:因为α是第二、三象限角, 所以-1<cos α<0, 即-1<<0,解得-1<m<. 答案: 学科网（北京）股份有限公司 $