1.2 任意角-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦任意角的概念推广、象限角的集合表示及终边相同角的应用，从初中静态角定义延伸至高中动态角概念，通过正角、负角、零角的分类构建知识支架，逐步过渡到象限角的集合描述与终边相同角的集合表示。 资料采用逐点理清式设计，通过“多维理解”解析概念内涵与图示辅助，“微点练明”即时巩固易错点，典例与思维建模培养逻辑推理能力。课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升数学语言表达与几何直观素养。

§2　任意角 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.了解任意角的概念,区分正角、负角与零角.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角. 2.理解并掌握终边相同角的概念,能写出终边相同角组成的集合. 逐点清(一)　角的概念推广 [多维理解] 1.角的概念 平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB,形成角α.其中点O是角α的顶点,射线OA是角α的始边,射线OB是角α的终边. 2.角的分类 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角 3.角的加法 (1)若两角α,β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β. (2)设α,β是任意两个角,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β. (3)把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角,角α的相反角记为-α,α-β=α+(-β). [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)小于90°的角都是锐角. (　　) (2)终边与始边重合的角为零角. (　　) (3)大于90°的角都是钝角. (　　) (4)将时钟拨快20分钟,则分针转过的角度是120°. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.已知∠α=60°36',则∠α的余角是 (　　) A.29.4° B.29.64° C.119.4° D.119.64° 解析:选A　∠α的余角为90°-60°36'=29°24'=°=29.4°. 3.如图,圆O的圆周上一点P以A为起点按逆时针方向旋转,10 min转一圈,24 min之后OP从起始位置OA转过的角是 (　　) A.-864° B.432° C.504° D.864° 解析:选D　因为点P以A为起点按逆时针方向旋转,10 min转一圈,所以点P逆时针方向旋转一分钟转的度数为=36°,设24 min之后OP从起始位置OA转过的角为36°×24=864°。 4.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置绕端点O旋转到达OC位置,得∠AOC=-150°,则射线OB旋转的方向与角度分别为 (　　) A.逆时针,270° B.顺时针,270° C.逆时针,30° D.顺时针,30° 解析:选B　由题意可得∠AOB=120°,设∠BOC=θ,则∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+θ=-150°,解得θ=-270°,所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°。 逐点清(二)　终边相同的角 [多维理解] 1.象限角 在平面直角坐标系中,角的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴.角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,这个角就不属于任何象限. 2.象限角的集合表示 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z} 3.终边相同的角 一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和. |微|点|助|解| (1)角α为任意角,“k∈Z”不能省略. k有三层含义:①特殊性:对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角.②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向转动的圈数.k取正整数时,逆时针转动;k取负整数时,顺时针转动;k=0时,没有转动. (2)k·360°与α中间要用“+”连接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α). (3)终边相同的角的相关结论 ①终边相同的角之间相差360°的整数倍. ②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍. ③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍. [微点练明] 1.下列选项中,与角α=-30°终边相同的角是 (　　) A.30° B.240° C.300° D.330° 解析:选D　与角α=-30°终边相同的角表示为θ=-30°+360°·k,k∈Z,当k=1时,θ=330°,故330°与角α=-30°终边相同. 2.800°是以下哪个象限的角 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选A　因为800°=2×360°+80°,所以800°与80°的终边相同.而80°是第一象限的角,所以800°是第一象限的角,故选A. 3.已知角α=k·180°-2 002°,k∈Z,则符合条件的最大负角为 (　　) A.-22° B.-220° C.-202° D.-158° 解析:选A　因为α=k·180°-2 002°<0,所以k<11+.又k∈Z,所以当k=11时,最大负角为-22°,故选A. 4.若角α满足α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在 (　　) A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 解析:选A　当k为偶数时,α与45°角终边相同,此时α为第一象限角;当k为奇数时,α与225°角终边相同,此时α为第三象限角,故选A. 5.在-360°到720°之间,且与-1 050°终边重合的角是____________________. 解析:与-1 050°终边重合的所有角连同-1 050°在内可表示为k·360°-1 050°,k∈Z, 依题意有-360°≤k·360°-1 050°<720°, 解得≤k<,又k∈Z,则k∈{2,3,4}, 所求的角对应为-330°,30°,390°. 答案:-330°,30°,390° 逐点清(三)　终边相同角的应用 [典例]　(1)如图,终边落在阴影部分的角的集合是 (　　) A.{α|-45°≤α≤120°} B.{α|120°≤α≤315°} C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z} D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z} (2)已知角α是第三象限角,则角是 (　　) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 解析:(1)阴影部分的角从-45°到90°+30°=120°,再加上360°的整数倍,即k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z. (2)因为α是第三象限角,所以k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z),所以k·180°+90°<<k·180°+135°(k∈Z).当k=2n(n∈Z)时,n·360°+90°<<n·360°+135°(n∈Z),所以是第二象限角;当k=2n+1(n∈Z)时,n·360°+270°<<n·360°+315°(n∈Z),所以是第四象限角. 答案:(1)C　(2)D 　　|思|维|建|模| 1.关于角nα或象限的确定 (1)由α的范围,表示出nα,的范围,由n的取值确定象限. (2)特别地,求所在象限时,可以把每个象限等分为n份,在每一份中按顺序标记一、二、三、四,找到原象限数字即可. 2.表示区域角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界. (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<x<β},其中β-α<360°. (3)起始、终止边界对应的角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角集合. 　　[针对训练] 1.已知α∈,则角α的终边所在的阴影部分是 (　　) 解析:选B　令k=0,得45°≤α≤90°.则B选项中的阴影部分区域符合题意. 2.已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是 (　　) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角 解析:选C　由题意知k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z),故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论.当k=2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z),所以α在第一象限;当k=2n+1(n∈Z)时,180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z),所以α在第三象限.故α是第一或第三象限角. 3.终边在直线y=x上的角α的集合为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　易得y=x的倾斜角为60°.当终边在第一象限时,α=60°+k·360°,k∈Z;当终边在第三象限时,α=240°+k·360°,k∈Z.所以角α的集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $