1.3 弧度制-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学弧度制核心知识点，系统梳理弧度概念（单位圆中弧长与圆心角关系）、角度弧度互化（180°=π rad换算原则）、角的集合表示（终边相同角的弧度形式）及弧长与扇形面积公式（l=|α|r、S=1/2αr²），构建从概念到应用的学习支架。 该资料采用“逐点清”结构，“多维理解”抽象弧度本质，“微点助解”辨析易混点（如1弧度与1度区别），“微点练明”通过时钟转角、扇形面积计算等实例巩固，培养数学思维的推理意识与数学语言的精确表达。课中助力教师系统授课，课后便于学生查漏补缺，强化知识应用。

§3　弧度制 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.了解弧度制下,角的集合与实数集之间的一一对应关系. 2.明确圆周角度数和弧度数,有助于熟练掌握角度与弧度的互化. 3.掌握弧长公式和扇形面积公式,熟悉特殊角的弧度数. 逐点清(一)　弧度概念 [多维理解] 1.弧度 在单位圆(半径为单位长度1的圆)中,把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示,读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写). 2.弧度制 在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法,称作弧度制. 3.弧度数 一般地,弧度与实数一一对应.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0. |微|点|助|解| (1)1弧度的角与1度的角所指含义不同,大小更不同. (2)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角,角的大小与“半径”大小无关. (3)用“度”作为单位度量角时,“度”(即“°”)不能省略,而用“弧度”作为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”通常省略不写. [微点练明] 1.下列命题是假命题的为 (　　) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关 解析:选D　根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题,故选D. 2.下列说法正确的是 (　　) A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 解析:选A　对于A,根据弧度的定义知,“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”,故A正确;对于B,大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;对于C,只有在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是相等的,故C错误;对于D,用弧度表示的角也可以是负角或零角,故D错误. 3.时针经过一小时,转过了__________rad.  答案:- 4.若θ=-5,则角θ的终边在第__________象限.  解析:2π-5与-5的终边相同, ∵2π-5∈,∴2π-5是第一象限角,则-5也是第一象限角. 答案:一 逐点清(二)　弧度与角度的换算 [多维理解] 角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°=2π rad 2π rad=360° 180°=π rad π rad=180° 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=≈57°18' |微|点|助|解| 1.角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则:牢记180°=π rad,充分利用1°= rad,1 rad=°进行换算. (2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad=°;n°=n· rad. 2.角度制与弧度制中的易错点 角度制与弧度制是两种不同的度量制度,在表示角时不能混用,例如α=k·360°+(k∈Z),β=2kπ+60°(k∈Z)等写法都是不规范的,应写为α=k·360°+30°(k∈Z),β=2kπ+(k∈Z). [微点练明] 1.[多选]下列转化结果正确的是 (　　) A.72°化成弧度是 B.-π化成角度是-660° C.-150°化成弧度是-π D.化成角度是15° 解析:选AD　因为72°=72×=,所以A正确.因为-π rad=-600°,所以B不正确.因为-150°=- rad,所以C不正确.因为 rad=15°,所以D正确. 2.时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为 (　　) A.π B.-π C.π D.-π 解析:选B　分针每分钟转6°,则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为-6°×(2×60+20)=-840°,∴-840°×=-π,故选B. 3.将下列角度与弧度进行互化. (1)20°=__________;(2)-15°=__________;  (3)=__________;(4)-=__________.  解析:(1)20°=20×=. (2)-15°=-15×=-. (3)=×=105°. (4)-=-×=-396°. 答案:(1)　(2)-　(3)105°　(4)-396° 4.将下表中的角度和弧度互化: 角度 0° 30° 45° 　  　  120° 135° 150° 　  　  360° 弧度 　  　  　  　  　  　  π 　  答案: 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 逐点清(三)　用弧度制表示角的集合 [多维理解] 1.弧度制下与角α终边相同的角的表示 在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍. 2.用弧度表示角的注意点 (1)注意角度与弧度不能混用. (2)各终边相同的角需加2kπ,k∈Z. (3)求两个角的集合的交集时,注意应用数轴直观确定,可对k进行适当的赋值. [微点练明] 1.与-330°角终边相同的角的集合为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　-330°角的弧度数为-,故与其终边相同的角的集合为=.故选B. 2.用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)为__________. 解析:以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z),以OB为终边的角为-+2kπ(k∈Z),所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为. 答案: 3.已知角α=2 010°. (1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角; (2)在区间[-5π,0)上找出与α终边相同的角. 解:(1)∵2 010°=2 010×==5×2π+,又π<<,∴α与终边相同,是第三象限角. (2)∵与α终边相同的角可以写成γ=+2kπ(k∈Z),又-5π≤γ<0,∴当k=-3时,γ=-;当k=-2时,γ=-;当k=-1时,γ=-. 逐点清(四)　弧长公式与面积公式的应用 [多维理解] 设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角,则 (1)弧度数公式:|α|=. (2)弧长公式:l=|α|r. (3)扇形面积公式:S=lr=αr2. |微|点|助|解| 1.扇形弧长、面积公式的变形运用 (1)l=α·r⇒α=,r=.(2)S=αr2⇒α=. 2.谨记两个注意点 (1)在弧度制中,弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负. (2)运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α是弧度. [微点练明] 1.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示),大轮有25个齿,小轮有15个齿,大轮每分钟转3圈,若小轮的半径为2 cm,则小轮每秒转过的弧长是 (　　) A.10π cm B.5π cm C. cm D. cm 解析:选C　由大轮有25个齿,小轮有15个齿,大轮每分钟转3圈,得小轮每分钟转的圈数为=5,因此小轮每秒钟转的弧度数为=,所以小轮每秒转过的弧长是×2 cm= cm. 2.已知扇形OAB的圆心角为2,弦长AB=2,则扇形的弧长等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　因为扇形的半径r==,所以扇形的弧长等于α×r=2×=.故选B. 3.已知一扇形的圆心角是72°,半径等于20 cm,则扇形的面积为__________cm2.  解析:设扇形的弧长为l, ∵72°=72×=(rad),∴l=αr=×20=8π(cm).∴S=lr=×8π×20=80π(cm2). 答案:80π 4.已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小; (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 解:(1)由圆O的半径r=10=AB,知△AOB是等边三角形,所以α=∠AOB=. (2)由(1)可知α=,r=10, 则弧长l=α·r=×10=. 扇形的面积S1=lr=××10=. 又△AOB是等边三角形,所以三角形的高h= 10sin=5,S△AOB=×AB×5=×10×5=25, 弓形的面积S=S1-S△AOB=-25=25. 学科网（北京）股份有限公司 $