专题05 期中真题百练通关（九大模型）（期中专项训练）八年级数学下学期鲁教版五四制

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05期中真题百练通关（九大模型） 真题实战·百练通关 题型二““十字架”模型 题型二 对角互补模型 题型三半角模型 题型四将军饮马模型 题型五 “”字相似模型 题型六““8”字相似模型 题型七手拉手相似模型 题型八一线三等角相似模型 题型九三角形内接矩形模型 题型一“土字架”模型（共6小题） 1.(24-25九年级上·黑龙江黑河·期中)如图ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门且分别是 AD、CD的中点，要修两条路BE和AF. E D 图1 图2 (1)如图1这两条路等长吗？它们有什么位置关系？直接写出结果 (2)如图2若点E、F不是正方形ABCD的边的中点但满足DE=CF那么这两条路等长吗？它们有什么位置 关系？请说明理由？ 【详解】(1)解：BE=AF,BE⊥AF,理由如下： 如图1，设AF与BE交于点M, F 图1 :四边形ABCD是一个正方形， .AB=AD=CD,∠D=∠BAE=90°， :E、F分别是AD、CD的中点， 1/108 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :AE DF, 在△ADF和△BAE中， AD=AB ∠D=∠BAE, DF=AE ,△ADF≌△BAE(SAS, ,BE=AF,∠ABE=∠FAD, ∠ABE+∠AEB=90°， ∠FAD+∠AEB=90°， .∠AME=90°， ·BE⊥AF; (2)解：BE=AF,BE⊥AF,理由如下： 如图2，设AF与BE交于点N, ED 图2 :四边形ABCD是一个正方形， AB=AD=CD,∠D=LBAE=90°， DE CF, .AD-DE =CD-CF, ∴.AE=DF, 在△ADF和△BAE中， AD=AB ∠D=∠BAE, DF=AE .△ADF≌△BAE(SAS), BE=AF,∠ABE=∠FAD, ∠ABE+∠AEB=90°， 2/108 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ∠FAD+∠AEB=90°， ∠ANE=90°， BE⊥AF. 2.(24-25九年级上海南海口·期中)在矩形ABCD中，AD=nAB,E,F分别在AB,BC上. A D A E B 图1 图2 图3 (1)若n=1,AF⊥DE. ①如图1，求证：△AED≌△BFA; ②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H,若AH=AD,求证：AG=AE+BG; (②加图3，若B为的中点，∠40E=∠EDP.求的值（结果用含的式子表示）. 【详解】(I)证明：①：四边形ABCD是矩形，AD=AB, :四边形ABCD是正方形， AD=AB,∠DAB=90°=∠ABC, .∠DAF+∠BAF=90°， :AF⊥DE, ∠DAF+∠ADE=90°， ∠ADE=∠BAF,且AD=AB,∠DAE=∠ABF=90°， ∴△ADE≌△BAF(ASA): ②如图，过点A作AF⊥HD交BC于点F, 由(1)可知AE=BF, :AH=AD,AF⊥HD, ∠HAF=∠DAF, :AD∥BC, ∠DAF=∠AFG, .∠HAF=∠AFG, 3/108 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :AG=GF, AG=GB+BF=GB+AE (2)解：如图，过点E作EH⊥DF于H,连接EF, D H B F C 图3 :E为AB的中点， AE=BE=7AB。 :∠ADE=∠EDF,EA⊥AD,EH⊥DF, .AE=EH, :Rt AED RtA HED(HL), :AD DH =nAB :BE EH EFEF .RtABEF≌RtHEF(HL), :BF =FH, 设BF=x=FH,则FC=BC-BF=nAB-x, DF2=FC2+CD2, ..(nAB+x)=(nAB-x)+AB2, x=4B-BF, 4n :.FC=-1B, 4n CF=4m2-1. BE 3.(24-25九年级上·陕西西安期中)在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点0的两条直 线EF,GH分别交边AB,CD,AD,BC于点E,F,G,H. 【问题发现】 4/108 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，若四边形ABCD是正方形，且AG=BE=CH=DF,则S四边形ABOG= S正方形4BCD9 【问题探究】 (2)如图2，若四边形ABCD是矩形，且满足S四边形o6= S矩形HBcD,设AB=Q，AD=b,BE=m，求AG 的长（用含a,b,m的代数式表示）； 【问题解决】 (3)如图3，张大伯有一块平行四边形ABCD菜地，且AB=6米，AD=10米，点E处是一口水井，且 BE=2米，EF是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形ABCD菜地的对角线的交点O,张大伯准备再 修建一条经过点O的沟渠GH,将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定 点G的位置. A G D G G H H 图1 图2 图3 【详解】解：(1)如图1，：四边形ABCD是正方形， .∠0AG=∠0BE=45°，0A=0B, 在△AOG与△BOE中， AG=BE ∠AOG=∠BOE, A0=BO AOG兰BOE, 1 S边形B0G=S4OB=SE方形1BCD, 4 故答案为好 (2)解：如图2，过O作0N⊥AD于N,OM⊥AB于M, GN D S。A0B= S矩形ABCDS边形AEG0= 4 -S矩形ABCD H 图2 S。40B=S四边形AEG0, 5/108 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :S.A0B=S.B0E+S.A0E,Sg边形4BG0=S40G+SH0E S△B0E=S△40G, -b,Sw4Gxow4G04Gxa. 2 24 4 1 .mb 4 -LAGxa. = AG mb a (3)解：如图3，过0作KL⊥AB,P2⊥AD,则KL=20K,P2=2O9, GO D :S西达形4BCD=ABXKL=AD×PQ PH C 图3 .6×20K=10×200,3×20K=5×200 OK 5 003' 1 中So-45年无m,地6o=4S年行动形D S。AOB=S四边形AEOG，S。B0E=S。4OG 5.wokxx2xOK S.G00. 2 OK AG 5 10米， 0023,解得4G 3 :BE=DF=2米， 当AG时，能将该菜地分成四个面积相等的部分 4.(23-24九年级上广东揭阳期中)【情境再现】 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且DE⊥AF,求证：DE=AF. 【迁移应用】 (2)如图2，在矩形ABCD中， D=k(k为常数)，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边上，且 AB G=k EG上FH,求证：FH 【拓展延伸】 (3)如图3，在四边形ABCD中，LB=LADC=90°，∠BCD=60°，CD=4,点E、F分别在边AB、BC 6/108 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 上，且CE⊥DF, DF=45-6,求AB的长. C D A H D D G E A E B B F B F 图1 图2 图3 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为正方形， AD=AB,∠EAD=∠B=90°， 又：DE⊥AF, ∠ADE+∠DAF=90°=∠BAF+∠DAF, ·∠BAF=∠ADE, △ADE≌△BAF(ASA), :DE=AF; (2)证明：过点D作DM∥EG交AB于点M,过点A作AN∥FH交BC于点N, A H D G M BN F 图2 :四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD,AD∥BC,∠BAD=∠B=90°， :DM∥EG,AB∥CD, :.四边形EGDM为平行四边形， ∴DM=EG, 同理可得AN=FH, 由(1)同理可得∠ADM=∠BAN, △ADM∽△BAN, 。 DM_AD=k, AN AB EG≥k :.FH 7/108 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (3)解：过点D作DG∥BC交BA的延长线于点G,过点C作CH⊥DG于点H. G H B 图3 DG∥BC,∠ABC=90°， ∴.∠G=∠ABC=90°， 又：CH⊥DG, :四边形BCHG为矩形， 由2)时画得：2-品-45-6： ∠BCD=60°， LDCH=30°， ,CD=4, DH-CD-2.CH-NCDD2G. .GH=CH =2+5， 4V3-6 DG=3, 又：∠ADC=90°， ∠ADG+∠CDH=LCDH+LDCH=90°， LADG=∠DCH=30°， :4G= DG=1, :AB=BG-AG=23-1. 5.(23-24九年级下·宁夏银川期中)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究. 图2 图3 8/108 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的两点，连接DE、CF,DE⊥CF, DE的 值为_ (2)如图2，在矩形ABCD中，AD=8,CD=6,点E、F分别是AB、AD上的两点，连接DE、CF, cB1BD,求DE的值. CE (3)如图3，在四边形ABCD中，LA=LB=90°，E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂线交ED的 延长线于点G,交AD的延长线于点F,且AD=3,DE=5,CF=6.求AB的长， 【详解】(1)设DE与CF交于点G,如图1所示： D 图1 :四边形ABCD是正方形， :LA=LFDC=90°，AD=CD, :DE⊥CF, .∠DGF=90°， LADE+∠CFD=90°， 又：∠ADE+∠AED=90°， .LCFD=∠DEA, 在△AED和△DFC中， ∠A=∠CDF ∠AED=∠DFC, AD=DC ·.△AED≌△DFC(AAS), DE=CF,即DE=1, CE 故答案为：1； (2)如图2，设DE与CF交于点G, 9/108 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D G B 图2 :四边形ABCD是矩形， LA=LFDC=90°，AB=CD=6, :CF⊥ED, .∠DGC=90°， ∠CDG+∠FCD=90°， 又：∠ADE+LCDG=90°， .∠FCD=∠ADE, :∠CDF=∠A, ,△DFC∽aAED, DE=AD_8_4 CF CD 63 (3)过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H,如图所示： G D B 图3 CG⊥EG, .∠G=∠H=∠A=∠B=90°， .四边形ABCH为矩形， :AB=CH,∠FCH+∠CFH=LDFG+LFDG=90°， .LFCH=∠FDG=∠ADE, ∠A=∠H=90°， △DEA∽△CFH, DE AD CF CH DE=AD 53 即二= 6 AB' 10/108 专题05 期中真题百练通关（九大模型） 题型一 “十字架”模型 题型二 对角互补模型 题型三 半角模型 题型四 将军饮马模型 题型五 “A”字相似模型 题型六 “8”字相似模型 题型七 手拉手相似模型 题型八 一线三等角相似模型 题型九 三角形内接矩形模型 题型一 “十字架”模型（共6小题） 1.（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）如图是一个正方形花园，是它的两个门且分别是的中点，要修两条路和． (1)如图这两条路等长吗？它们有什么位置关系？直接写出结果． (2)如图若点不是正方形的边的中点但满足那么这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请说明理由？ 2.（24-25九年级上·海南海口·期中）在矩形中，，，分别在，上． (1)若，． ①如图1，求证：； ②如图2，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证：； (2)如图3，若为的中点，．求的值（结果用含的式子表示）． 3.（24-25九年级上·陕西西安·期中）在四边形中，对角线，相交于点，过点的两条直线，分别交边，，，于点，，，． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且，则_____； 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，，求的长（用含，，的代数式表示）； 【问题解决】 （3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置． 4．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）【情境再现】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长． 5．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． (1)如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，，则的值为 ． (2)如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，，求的值． (3)如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 6．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 题型二 对角互补模型（共5小题） 7.（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，正方形和正方形全等，与交于点O，正方形绕点O旋转，交于点E，交于F，如果正方形的边长为3． (1)在上述旋转过程中，判断与有怎样的数量关系，并证明； (2)请直接写出四边形的面积为__________，周长最小值为___________． 8．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 9.（24-25九年级上·河南周口·期中）综合与实践 综合实践课上，老师给出了“邻等对补四边形”的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．对于“邻等对补四边形”，同学们进行了如下研究． (1)操作判断 如图1，在边长为2的正方形中，是对角线，取一个大的直角三角板，三角板的直角顶点在射线上移动，三角板的一条直角边始终经过点，另一条直角边交射线于点，当点在边上时，四边形是邻等对补四边形吗?说明理由． (2)迁移探究 当点在边的延长线上时，以D，P，Q，C为顶点的四边形能构成邻等对补四边形吗?若能构成，写出此时的长． 10.（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）【问题初探】 （1）北师大版教材九年级上册第一章《特殊平行四边形——正方形》习题中有这样的问题：如图1，正方形的边长为2，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的小明给出这样的解题思路：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．通过小明的思路点拨，你认为：______（填一个数值） 【类比探究】 （2）如图2，矩形中，，，点O是边的中点，，点E在上，点F在上，则四边形的面积为______；______； 【问题解决】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点O．现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在上，点F在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，则需要篱笆多少？ 11.（24-25九年级上·广东珠海·期中）【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 题型三 半角模型（共6小题） 12．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）（探索发现）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接． (1)线段之间的数量关系是 ． (2)根据（1）的结论，写出证明过程； (3)如图，如果正方形的边长是4，求的周长． 13．（24-25九年级上·广东韶关·期中）【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题， 【初步探究】 如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． （1）根据以上信息，填空： ①_______°； ②线段之间满足的数量关系为_______； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 14．（23-24九年级上·广西玉林·期中）（1）【探究】如图①，正方形中，、分别在边上，且．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．求证：． （2）【拓展】如图②，在四边形中，cm，，， 以为顶点的，、与、边分别交于、两点且，求五边形的周长． 15.（24-25九年级上·云南昆明·期中）旋转是一种常用的图形变化，在平面几何中有着广泛的应用．在条件分散不易集中利用的情况下，通过旋转变化使之集中，为我们解决问题提供一条解题途径．已知正方形，点M是直线上一个动点，点N在直线上，且满足，连接．    (1)如图1，当点M在边上时，求证：． 请根据下面的思路分析填空：因为，所以．将绕点A逆时针旋转得到，由旋转性质可得，所以 ．由此可证明__________，可得出__________，再由线段的加法可以得出． (2)如图2，，当点M在边的延长线上，点N在的延长线上． ①猜想之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想． ②若，则__________． 16.（24-25九年级上·江西新余·期中）如图1，将一把含角的三角尺放在边长为2的正方形上，并使它的直角顶点始终与点重合，其一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点． (1)在三角尺绕着点A旋转的过程中． ①请判断与的数量关系，并加以证明． ②四边形AECF的面积是否为定值？如果是，求出这个值；如果不是，试说明理由． (2)如图2，将这把三角尺角的顶点始终与点重合，角的一边与交于点，另一边与交于点．在旋转的过程中，求点到线段的距离． 17.（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． (1)【发现】、、之间的数量关系为_______． (2)【类比引申】 如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足_______关系时，仍有中的结论，请证明． (3)【探究应用】 如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知米，，，，道路 、上分别有景点型、，且与垂直，米，现要在 、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 题型四 将军饮马模型（共6小题） 18.（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，正方形的边长为8，点在上且，是上的一动点，则的最小值是（   ） A．8 B．10 C．15 D．18 19.（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 20..（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形的边长是2，点E是边上一动点，连接，过点A作于点F，点P是边上另一动点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 21.（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，在矩形中，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C．8 D．9 22.（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，在正方形中，，G是的中点，点E是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（   ） A． B．2 C．3 D． 23.（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，正方形的边长为4，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若为的中点，则四边形是正方形； ②若为上任意一点，则； ③点在运动过程中，的值为定值4； ④点在运动过程中，线段的最小值为． 正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 题型五 A字相似模型（共7小题） 24．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，P为中线上的一点，且，求证：． 25．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的边上的一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 26．（24-25九年级上·重庆黔江·期中）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 27．（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 28．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知在中，，，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿AC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为． (1)当________时与相似； (2)当的面积等于时，求t的值． 29．（24-25九年级上·福建漳州·期中）请阅读下列材料，完成相应的任务： 有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线上任取两点，分别过点作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，且点位于直线的同侧，连接，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：，， 又，①，（依据 ② ）． 同理可得：，， ，即． 任务： (1)依据上述证明过程，补全①②的内容： ①：______；②：______； (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长； (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 30．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知，如图1，在中，点E是中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如图2，点G是边上任意一点（点G不与点B、C重合），连接交于点H，连接，过点A作，交于点K． ①求证：； ②当时，恰有，求n的值． 题型六 8字相似模型（共4小题） 31．（24-25九年级上·北京通州·期中）如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，且．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，求线段的长． 32．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，线段，与交于点E． (1)求证：； (2)过点E作，交于点F，如果，，求的长． 33.（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，点在上，，连接交于点，点是上一点，且，连接． (1)证明：； (2)若，求的长． 34．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）【问题背景】在复习角平分线性质的时候，聪明的龙龙同学发现关于三角形角平分线的一个结论： 如图图1，已知是三角形的角平分线，可以得到．龙龙同学的证明思路是这样的：如图2过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形可以证明：． (1)请你帮龙龙完成证明 (2)请应用（1）的结论解决下列问题： ①如图3，已知分别是的中线和高线，若，，，求的值 ②如图4，在中，，平分交于点D，，垂足为点E．若，，点F在的延长线上，若与相似，求线段的长． 题型七 手拉手相似模型（共8小题） 35．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在和中，，，为的中点，，将绕点旋转，直线，交于点，连接，则的最小值是 ． 36．（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 37．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【问题呈现】 （1）如图，和都是等边三角形，连接、．则与之间的数量关系为_______； 【类比探究】 （2）如图，和都是等腰直角三角形，，连接、．则______； 【拓展提升】 （3）如图，和都是直角三角形，，且．连接，延长交于点，交于点． 求的值； 若，请求出的长． 38．（24-25九年级上·福建福州·期中）问题背景：如图1，已知，求证：； 尝试运用：如图2，在中，点D是边上一动点，，且，与相交于点F，在点D运动的过程中，连接，当时，求的长度； 拓展创新：如图3，D是内一点，，，，，．求的长． 39．（23-24九年级上·广西贵港·期中）综合与实践 问题情境： （1）如图1，在和中，，．如图2，将绕顶点按逆时针方向旋转得到，连接，，求证：． 深入研究： （2）①如图3，在正方形和正方形中，已知点，，在同一直线上，连接，交于点，求的值； ②如图4，若将正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，的值变化吗？请说明理由， 拓展应用： （3）如图5，若把正方形和正方形分别换成矩形和矩形，且，请直接写出此时的值． 40．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图1，在中，，，，是内一个动点，，位于直线同侧，且，． (1)求证：； (2)已知平分，直线交于点，如图． 证明：当，，三点共线时，； 设的中点为，求的最小值． 41．（24-25九年级上·福建泉州·期中）（1）问题背景：如图（1），已知，连接和，求证：；根据以下证明过程，完成填空部分： 证明：∵， ， ， ， ∴； （2）尝试应用 如图（2），在和中，，，与相交于点F，点D在边上，连接；求证：； （3）拓展创新 如图（3），点D是内一点，，，，．过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接，其中，求的长． 42．（23-24九年级下·湖北黄冈·期中）某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 题型八 一线三等角相似模型（共8 小题） 43．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，点分别是边上的点，且．求证：． 44．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在矩形中，，，是边上一个动点（不与，重合），连接，作，交边于点． (1)求证：； (2)利用尺规作图（保留作图痕迹），在边上作一点，使得，并证明：． 45．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 (1)【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得；又，可以通过推理得到．进而得到 ， ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． (2)【应用】如图2，点B，P，D都在直线上，并且．若，，，用含的式子表示的长； (3)【拓展】在中，点D，E分别是边，上的点，连接，，，，．若为直角三角形，求的长； 46．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）【问题呈现】 如图①，在四边形中，点P在边上（P不与A、B重合）， 求证：． 证明：∵         ∴ 又∵， ∴ ∴           ∵                ∴ 某数学兴趣小组在完成上面题目的解答后，做了如下探究． 【问题探究】如图②，在四边形中，点P在边上（P不与点A、B重合），当时，，你同意这个结论吗？请说明理由． 【知识应用】如图③，在矩形中，，点E在边上，且，点P是直线上的一个动点．若是直角三角形，求的长． 47．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，是等腰三角形，，点分别在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究：长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 48．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知，点B在线段上． 【感知】（1）如图①，，求证：； 【拓展】（2）如图②，中，，且，求证：； 【应用】（3）如图③，为等边三角形，且，求与的面积比． 49．（24-25九年级上·全国·期中）（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 50．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图1，四边形中，，点E在上． (1)当，求证：． (2)如图2，延长及相交于点F，延长及相交于点G，的周长为2． ①求的值． ②连接，取的中点M，连接，作，连接，求与的数量关系． 题型九 三角形内接矩形模型（共4小题） 51．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为 厘米． 52．（24-25九年级上·四川成都·期中）有一块直角边，的的铁片，现要将它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为 ． 53．（24-25九年级上·福建·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 54．（24-25九年级上·福建三明·期中）【研究发现】 如图1，在中，，矩形的三个顶点D，E，F分别边，，上，若，，求矩形的面积． 小颖同学发现可以采用如下方法进行求解： 如图2，以，为边构造矩形，分别延长，交，于点M，N， 根据矩形性质，可得，，， ∴， 即． ∵，∴…… （1）填空：矩形的面积为______；     【问题解决】 《九章算术》卷九记载：今有邑方二百步，各中开门．出东门十五步有木．问出南门几何步而见木？大意为：如图3，正方形小城的边长为200步，各边中点处开一城门．从东门中点A向正东方向走出15步处有树B，问从南门D点向正南方向走出多少步恰能见到树B？ （2）请你求出的长． 【延伸探究】 《海岛算经》第一个问题的大意是：如图4，要测量海岛上一座山峰A的高度，在地面M，N两处分别立有高30尺的标杆和，两杆之间的距离尺，B，M，N三点成一线；从M处退行738尺到F，A，G，F三点成一线；从N处退行762尺到C，A，E，C三点也成一线；若点D在上，D，G，E三点也成一线，如何求出山峰A的高度呢？ （3）试计算线段的长． 一、单选题 1．如图，正方形的对角线，交于点O，M是边上一点，连接．过点O作，交于点N．若四边形的面积是1，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 2．如图，平行四边形中，E在边上，与交于点F，若，则 ． 3．如图，等边三角形边长为 点D在边上，且， 点E在边上， 连接，交于点F， 若， 在线段上截取， 连接， 则线段的最小值是 ． 三、解答题 4．如图，在中，D、E在边上，G在边上，且，．求证：． 5．开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 6．在正方形中，点是射线上的一个点，以为边向右侧作正方形． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点为线段的中点，连接，若，则的最小值为 ． 7．在平行四边形中，对角线、交于点O，P是线段上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作、的平行线，交于点E，交、于点F、G，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值； (3)如图3，如果，且射线过点A．请补全图形，并求的度数． 8．在中，，，为中点，为上一点． (1)如图1所示，且，求的长； (2)如图2所示，为中点，为外一点，连接，作于点且．连接、、，若，求证：； (3)如图3所示，点、分别在、上，连接，是的中点．若，，连接，，直接写出的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $