第一章 专题微课 三角函数图象与性质的综合 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

第一章 专题微课 三角函数图象与性质的综合 [课时跟踪检测] 1.函数f(x)=cos的图象的一条对称轴方程为 (　　) A.x= B.x= C.x= D.x=- 解析:选B　函数f(x)=cos,令2x+=kπ(k∈Z),则x=-(k∈Z),当k=1时,x=,故选B. 2.若点(a,0)是函数y=sin图象的一个对称中心,则a的值可以是 (　　) A. B. C.- D.- 解析:选C　依题意可得a+=kπ,k∈Z,所以a=kπ-,k∈Z.当k=0时,a=-. 3.已知函数f(x)=cos2x+sin x-的定义域为[0,m],值域为,则实数m的最大值为 (　　) A.π B. C. D. 解析:选A　f(x)=cos2x+sin x-=-sin2x+sin x+,令t=sin x,则g(t)=-t2+t+=-+1,因为g(t)的值域为,根据二次函数的图象性质,可得t∈[0,1],所以sin x∈[0,1],且x∈[0,m].因为t=sin x,根据三角函数的图象性质,有≤m≤π,则实数m的最大值为π. 4.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C　把函数y=cos的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)=cos=cos=-sin 2x的图象.作出函数f(x)的部分图象和直线y=x-如图所示.观察图象知,共有3个交点.故选C. 5.若f(x)=cos在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为 (　　) A. B. C. D.π 解析:选A　易知将函数y=cos x的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)=cos的图象,则函数f(x)=cos的单调递增区间为(k∈Z),而函数又在[-a,a]上单调递增,所以⇒a≤,于是0<a≤,即a的最大值为. 6.已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,且f=f,则ω= (　　) A. B. C. D.1 解析:选C　当x∈时,ωx+∈,∵f(x)在上单调递增,∴ω+≤,解得ω≤1,即0<ω≤1. ∴<ω+≤,<ω+≤,则由f=f得+=π,解得ω=.故选C. 7.关于函数f(x)=sin x+,下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的一个周期是π B.f(x)的最小值为2 C.f(x)在上单调递增 D.f(x)的图象关于直线x=对称 解析:选D　对于A,f(x+π)=sin(x+π)+=-sin x-≠f(x),即π不是f(x)的一个周期,A错误;对于B,取x=-,则f=sin+=-2,即f(x)的最小值不是2,B错误;对于C,当x∈时,令sin x=t,t∈(0,1),函数y=t+在(0,1)上单调递减,而t=sin x在上单调递增,因此f(x)=sin x+在上单调递减,C错误;对于D,f(π-x)=sin(π-x)+=sin x+=f(x),即函数f(x)的图象关于直线x=对称,D正确. 8.(5分)写出一个以x=为对称轴的奇函数__________.  解析:易知y=sin ωx(ω≠0)是奇函数,ω=kπ+(k∈Z),ω=2kπ+π(k∈Z),取k=0得ω=π,从而函数式为y=sin πx. 答案:y=sin πx(答案不唯一) 9.(5分)若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意实数x都有f=f,则f=__________.  解析:由题意,函数f(x)对任意实数x都有f=f,可得x=是函数f(x)=3sin(ωx+φ)的一条对称轴,根据三角函数的图象与性质,可得f=±3. 答案:±3 10.(5分)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为__________.  解析:∵f(x)≤f对任意的实数x都成立, ∴当x=时,f(x)取得最大值.即f=cos=1.∴ω-=2kπ,k∈Z,∴ω=8k+,k∈Z.∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值. 答案: 11.(10分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),若f(x)的图象关于点对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π. (1)求f(x);(5分) (2)求f(x)的单调递增区间.(5分) 解:(1)依题意T=π,∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ).∵f(x)的图象关于点对称, ∴2×+φ=kπ,k∈Z.得φ=+kπ,k∈Z. 又|φ|≤,∴φ=.∴f(x)=sin. (2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z. 12.(10分)已知f(x)=sin,ω>0. (1)设ω=1,求y=f,x∈的值域;(5分) (2)已知a>π(a∈R),f(x)的最小正周期为π,若在x∈上恰有3个零点,求a的取值范围.(5分) 解:(1)因为ω=1,所以f=sin. 因为x∈,令t=x+,则t∈. 由正弦函数性质得y=g=sin t在上单调递增,在上单调递减, 所以g=1,g=-,g=,故y∈. (2)由题意得T==π,所以ω=2, 可得f=sin, 当f=0时,2x+=kπ,k∈Z,即x=-+,k∈Z.当k=2时,x=<π,不符合题意; 当k=3时,x=>π,符合题意;当k=4时,x=>π,符合题意;当k=5时,x=>π,符合题意,所以+T≤a<+T, 即≤a<,故a∈. 13.(15分)已知函数f(x)=2sin+1. (1)求函数f(x)的单调递增区间;(4分) (2)若f(x)=0,x∈,求x的值;(5分) (3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象.若曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,求函数h(x)在的值域.(6分) 解:(1)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. ∴y=f(x)的单调递增区间为 ,k∈Z. (2)由f(x)=0,得2sin+1=0, ∴sin=-. 又∵x∈, ∴2x-∈, ∴2x-=-或2x-=-或2x-=, 解得x=0或x=-或x=. (3)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度, 可得函数图象的解析式为y=2sin+1=2sin+1=2cos 2x+1. 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2cos x+1的图象. 又∵曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,∴h(x)=g=2cos+1=2sin x+1. ∵x∈,∴sin x∈, ∴2sin x+1∈(0,3]. ∴函数h(x)在上的值域为(0,3]. 学科网（北京）股份有限公司 $