4.1 同角三角函数的基本关系 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

4.1 同角三角函数的基本关系 [课时跟踪检测] 1.若sin α=-,且α为第三象限角,则tan α= (　　) A. B.- C. D.- 解析:选C　因为sin α=-,且α为第三象限角,所以cos α=-,所以tan α=. 2.如图,点P为角α的终边与单位圆O的交点,tan(α+π)= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选D　由单位圆可知,cos α=,且α为第一象限角,根据同角三角函数的基本关系可得sin α==.所以tan α==.所以tan(α+π)=tan α=.故选D. 3.化简的结果是 (　　) A.cos 160° B.±|cos 160°| C.±cos 160° D.-cos 160° 解析:选D　==|cos 160°|=-cos 160°. 4.已知sin α-3cos α=0,则3sin αcos α= (　　) A. B.- C. D.- 解析:选A　由已知得tan α=3,所以3sin αcos α===.故选A. 5.若sin θ,cos θ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个根,则实数m的值是 (　　) A.1+ B.1- C.-1± D.-1- 解析:选B　由题意,得Δ=(2m)2-4×4m>0, 解得m>4或m<0. 又由根与系数的关系得 故-2×=1,即m2-2m-4=0, 解得m=1±, 因为m>4或m<0,所以m=1-. 6.[多选]若sin α与cos α是方程2x2-(+1)x+m=0的两个根,α∈,则下列结论正确的是 (　　) A.m= B.sin αcos α= C.α=或 D.α=或 解析:选AC　依题意有 又sin2α+cos2α=1, 解得或 所以sin αcos α=,α=或.故A、C正确,B、D错误. 7.(2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则 (　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析:选B　甲等价于sin2α=1-sin2β=cos2β,等价于sin α=±cos β,所以由甲不能推导出sin α+cos β=0,所以甲不是乙的充分条件;由sin α+cos β=0,得sin α=-cos β,平方可得sin2α=cos2β=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,所以由乙可以推导出甲,则甲是乙的必要条件.故选B. 8.(5分)已知=4,则tan α=__________.  解析:∵==4,∴tan α=2. 答案:2 9.(5分)化简:1+cossintan(π+α)的结果为__________.  解析:1+cossintan(π+α)=1-sin α·cos α·tan α=1-sin α·cos α·=1-sin2α=cos2α. 答案:cos2α 10.(5分)已知α∈,tan α=2,则cos α=__________. 解析:∵tan α=2,∴sin α=2cos α.又∵sin2α+cos2α=1,∴cos2α=.又∵α∈,∴cos α=-. 答案:- 11.(5分)国际数学家大会已经有了一百多年历史,每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界顶级科学家参与.21世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行,有来自100多个国家的4 200多位数学家参加了本次大会.这次大会的“风车”会标取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》,该弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形,若图中所示的角为α(0°<α<45°),且大正方形与小正方形的面积之比为25∶1,则cos α=__________. 解析:设直角三角形较短的直角边长为a,则较长的直角边长为, 因此小正方形的边长为,大正方形的边长为. 因为大正方形与小正方形的面积之比为25∶1, 所以===5,则cos α-sin α=, 两边平方得2cos αsin α=,而0°<α<45°,即有cos α>sin α>0, 于是cos α+sin α==,解得cos α=. 答案: 12.(10分)已知<α<π,tan α-=-. (1)求tan α的值;(6分) (2)求的值.(4分) 解:(1)令tan α=x,则x-=-, 整理得2x2+3x-2=0,解得x=或x=-2. 因为<α<π,所以tan α<0.故tan α=-2. (2)= =tan α+1=-2+1=-1. 13.(10分)(1)分别计算cos4-sin4和cos2-sin2,cos的值,你有什么发现?(3分) (2)分别计算cos4-sin4和cos2-sin2,cos的值,你有什么发现?(3分) (3)证明:∀x∈R,cos2x-sin2x=cos4x-sin4x.(2分) (4)推测∀x∈R,cos2x-sin2x与cos 2x的关系,不需证明.(2分) 解:(1)cos4-sin4 = =cos2-sin2=-==cos. (2)cos4-sin4 = =cos2-sin2=-=0=cos. (3)证明:cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x. (4)推测cos2x-sin2x=cos 2x. 14.(10分)求证:-=. 证明:法一:左边= = = = ==右边.所以原等式成立. 法二:左边 = == =(sin x+1-cos x-cos x-1+sin x)==右边. 所以原等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $