第4章 1.1 基本关系式 1.2 由一个三角函数值求其他三角函数值 1.3 综合应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

1．1　基本关系式 1．2　由一个三角函数值求其他三角函数值 1．3　综合应用 知识点一　利用同角三角函数基本关系求值 1．若sinα＝，且α是第二象限角，则cosα等于(　　) A．－ B． C．± D．± 答案　A 解析　由α是第二象限角，得cosα＝－＝－＝－. [名师点拨]　在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，若角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定；若角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 2．已知tanx＝－，x∈，则cos(－x)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　∵tanx＝－，x∈，∴cosx<0，由同角三角函数的基本关系得 解得cosx＝－， 因此cos(－x)＝cosx＝－. 3．已知tanα＝3，求下列各式的值． (1)； (2)； (3). 解　(1)因为tanα＝3，所以cosα≠0，原式的分子分母同时除以cosα，得＝＝＝. (2)因为tanα＝3，所以cosα≠0，原式的分子分母同时除以cos2α，得＝＝＝. (3)因为sin2α＋cos2α＝1，所以＝＝＝＝. [名师点拨]　(1)若分子、分母中sinα，cosα的次数相同(称为齐次式)，因为cosα≠0，所以将分子、分母同除以cosnα(n∈N*)，将待求式化为关于tanα的表达式，再整体代入tanα的值求解． (2)若待求式形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α，可将其看成分母为1的分式，再将分母1化为sin2α＋cos2α，通过进一步转化，变为关于tanα的表达式，然后求值． 知识点二　sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三者之间的关系 4．已知sinθ＋cosθ＝，则sinθcosθ的值为(　　) A． B． C． D．± 答案　B 解析　由sinθ＋cosθ＝平方，得1＋2sinθcosθ＝，∴sinθcosθ＝. 5．已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝，则sinθ－cosθ＝________． 答案　 解析　∵sinθ＋cosθ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝，即sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝， ∴2sinθcosθ＝－，∵θ∈(0，π)，∴sinθ>0，cosθ<0，∴θ∈，∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，∴sinθ－cosθ＝. 6．已知sinθ，cosθ是关于x的方程x2－2ax＋a＝0的两个实根． (1)求实数a的值； (2)若θ∈，求sin2θ－cos2θ的值． 解　(1)∵sinθ，cosθ是方程x2－2ax＋a＝0的两个实根， ∴sinθ＋cosθ＝2a，sinθcosθ＝a，Δ＝8a2－4a≥0，即a≤0或a≥， ∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝1＋2a＝8a2，即8a2－2a－1＝0，解得a＝－或a＝. (2)∵θ∈， ∴sinθ＜0，cosθ＞0，可得sinθcosθ＝a＜0， 由(1)可得a＝－， ∴sinθ＋cosθ＝－，sinθcosθ＝－， ∴sinθ－cosθ＝－＝－， ∴sin2θ－cos2θ＝－×＝. [名师点拨]　对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以实现知一求二． 知识点三　三角函数式的化简与证明 7．已知θ∈，则＋＝________． 答案　－ 解析　∵θ∈，∴1－cosθ＞0，1＋cosθ＞0，sinθ＜0，则原式＝＋＝＋＝＝－. 8．化简下列各式． (1)； (2)(1－cosx)； (3)·. 解　(1)原式＝ ＝ ＝＝. (2)原式＝(1－cosx) ＝＝＝＝sinx. (3)原式＝· ＝· ＝·＝＝ (k∈Z)． 9．(1)求证：＝； (2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 证明　(1)左边＝＝＝＝＝右边， 所以等式成立． (2)证法一：由tan2α＝2tan2β＋1，得tan2β＝. 故sin2β＝＝ ＝＝＝ ＝＝2sin2α－1.原式得证． 证法二：由tan2α＝2tan2β＋1，得tan2α＋1＝2(tan2β＋1)， 即＝2·， 所以＝，即cos2β＝2cos2α， 即1－sin2β＝2(1－sin2α)，故sin2β＝2sin2α－1. 原式得证． 一、选择题 1．化简的结果是(　　) A．cos3 B．－cos3 C．±sin3 D．±cos3 答案　B 解析　∵cos3＜0，∴＝＝－cos3. 2．已知sinαcosα＝，则tanα＋的值为(　　) A． B．－ C．－2 D．2 答案　D 解析　∵sinαcosα＝，∴tanα＋＝＋＝＝＝2. 3．若cosα＋2sinα＝，则tanα＝(　　) A． B．2 C．－ D．－2 答案　B 解析　由解得所以tanα＝＝2. 4．已知＝2，则sinθcosθ的值是(　　) A． B．± C． D．－ 答案　C 解析　由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ，tanθ＝3，∴sinθcosθ＝＝＝＝. 5．[多选]已知＝3，α∈，则(　　) A．tanα＝2 B．sinα－cosα＝－ C．sin4α－cos4α＝ D．＝ 答案　ACD 解析　因为＝3，所以＝3，解得tanα＝2.又因为α∈，tanα＞0，所以0＜α＜，所以sinα＝，cosα＝，所以sinα－cosα＝.sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)·(sin2α＋cos2α)＝＝＝.＝ ＝＝ ＝. 二、填空题 6．已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________． 答案　－1 解析　∵sinα＋2cosα＝0，即sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2，则原式＝＝＝＝＝－1. 7．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋的值为________． 答案　0 解析　因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z，当α＝2kπ＋，k∈Z，即角α的终边在第二象限时，sinα＞0，cosα＜0，所以＋＝＋＝＋＝0；当α＝2kπ＋，k∈Z，即角α的终边在第四象限时，sinα＜0，cosα＞0，所以＋＝＋＝＋＝0.综上，＋的值为0. 8．已知sinθ＋cosθ＝，则tanθ＋的值是________． 答案　－ 解析　由sinθ＋cosθ＝，得1＋2sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝－.tanθ＋＝＋＝＝＝－. 三、解答题 9．已知tanα是关于x的方程3x2－x－2＝0的一个实根，且α是第二象限角． (1)求的值； (2)求2sinα－cosα的值． 解　∵方程3x2－x－2＝0的两根为x1＝1，x2＝－，且α是第二象限角，∴tanα＝－， (1)＝＝＝－5. (2)∵且α是第二象限角， ∴ ∴2sinα－cosα＝2×＋＝. 10．求证：(1)－＝sinα＋cosα； (2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)． 证明　(1)左边＝－＝－＝－＝－＝＝sinα＋cosα＝右边， ∴原式成立． (2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α， 右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α， ∴左边＝右边， ∴原式成立． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$