课时作业25 同角三角函数的基本关系（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(二十五)　同角三角函数的基本关系 [基础达标练] 1．若sin α＝，则sin2α－cos2α的值为(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C． D． 解析：选B　因为sinα＝， 所以cos2α＝1－sin2α＝， 则原式＝－＝－. 2．若α是第四象限角，tanα＝－，则sin α等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D　因为tan α＝＝－， sin2α＋cos2α＝1， 所以sinα＝±. 因为α是第四象限角， 所以sin α＝－. 3．记cos (－80°)＝k，那么tan 100°＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B　cos (－80°)＝cos 80°＝k， ∴sin 80°＝ ＝ . ∴tan 80°＝＝. ∴tan 100°＝tan (180°－80°)＝－tan 80°＝－. 4．若＝，则sin2α－sin αcos α－3cos2α＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C　由＝可知，cos α≠0， ∴＝＝. ∴tan α＝－3， ∴sin2α－sin αcos α－3cos2α ＝ ＝＝＝. 5. 若α是第三象限角且cos α＝－，则sin α＝________，tan α＝________． 解析：∵α是第三象限角且cos α＝－， ∴sin α＝－＝－， ∴tanα＝＝. 答案： －　 6．若＝2，则sin (θ－5π)sin ＝________． 解析：∵＝2， ∴sin θ＝3cos θ，tan θ＝3， 所以原式＝－sin θ(－cos θ)＝ ＝＝＝. 答案： 7. 已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)sin2α＋cos2α. 解：(1)原式＝＝＝. (2)原式＝ ＝＝－. (3)原式＝ ＝ ＝ ＝. 8．(1)化简：； (2)求证：＝. 解：(1)原式＝ ＝ ＝＝1. (2)证明：法一：因为右边 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝左边． 所以原等式成立． 法二：因为左边＝ ＝， 右边＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 所以左边＝右边，原等式成立． [能力提升练] 9．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　) A．－4 B．4 C．－8 D．8 解析：选C　sin α－cos α＝－，与 sin2α＋cos2α＝1联立，可得 sin αcos α＝－. 则tan α＋＝＋＝＝－8. 10．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　) A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝ C．tan β＝ D．tan β＝ 解析：选AC　∵sin (π＋α)＝－sin α＝－， ∴sin α＝，若α＋β＝，则β＝－α. A中，sin β＝sin ＝cos α＝±，故A符合条件； B中，cos (π＋β)＝－cos ＝－sin α＝－，故B不符合条件； C中，tan β＝，即sin β＝cos β， 又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，即C符合条件； D中，tan β＝，即sin β＝cos β， 又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故D不符合条件． 11．已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为________． 解析：由Δ≥0知，a≤. 又 由①式两边平方得sin αcos α＝－， 所以＝－，所以a＝－. 答案：－ 12．在△ABC中，sin A＝，则角A＝________． 解析：由题意知cos A>0，即A为锐角． 将sin A＝两边平方， 得2sin2A＝3cosA． ∴2cos2A＋3cosA－2＝0， 解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)， ∴A＝. 答案： 13．已知f(α)＝. (1)求f的值； (2)若α∈(0，π)且f(α)＋f＝－，求sin2α－cos α的值． 解：(1)因为f(α) ＝＝－cos α， 所以f＝－cos ＝－. (2)因为f(α)＋f＝－， 所以－cos α－cos ＝－， 所以cos α＋sin α＝， 两边平方，得1＋2sin αcos α＝， 所以2sin αcos α＝－， 1－2sin αcos α＝， 即(sin α－cos α)2＝， 因为2sin αcos α＝－<0，α∈(0，π)， 所以α∈，所以sin α－cos α>0， 所以sin α－cos α＝，结合cos α＋sin α＝， 解得sin α＝，cos α＝－. 所以sin2α－cos α＝. [素养拓展练] 14．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立？ 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由． 解：由条件， 得 ①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，　③ 又因为sin2α＋cos2α＝1，　④ 由③④得sin2α＝，即sin α＝±， 因为α∈，所以α＝或α＝－. 当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)， 所以β＝，代入①可知符合． 当α＝－时，代入②得cos β＝， 又β∈(0，π)， 所以β＝，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝，β＝满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $