2.6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

2.6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形 [课时跟踪检测] 1.在相距2 km的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为 (　　) A. km B. km C. km D.2 km 解析:选A　如图,在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,∴=.∴AC=2×=(km). 2.如图所示,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=100 m,从C,D两点测得A点仰角分别是60°,30°,则A点离地面的高度AB等于 (　　) A.50 m B.100 m C.50 m D.100 m 解析:选A　因为∠DAC=∠ACB-∠D=60°-30°=30°,所以△ADC为等腰三角形. 所以AC=DC=100 m. 在Rt△ABC中,AB=ACsin 60°=50 m. 3.为测量A,B两地之间的距离,甲同学选定了与A,B不共线的C处,构成△ABC,以下是测量数据的不同方案:①测量∠A,|AC|,|BC|;②测量∠A,∠B,|BC|;③测量∠C,|AC|,|BC|;④测量∠A,∠B,∠C.要求甲同学选择的方案能唯一确定A,B两地之间的距离,这样的方案有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:选B　选择方案①,由正弦定理得=,sin B=,B角可能有两解,从而|AB|不一定能唯一确定;选择方案②,∠A,∠B确定后∠C是确定的,由正弦定理可得|AB|是唯一的;选择方案③,直接由余弦定理求解,|AB|是唯一的;选择方案④,三角形只有三个角的大小,没法求得边长,不唯一.因此可选择方案有②和③两个.故选B. 4.如图,某景区为方便游客,计划在两个山头M,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离,施工单位测得以下数据:两个山头的海拔高度MC=100 m,NB=50 m,在BC同一水平面上选一点A,测得M点的仰角为60°,N点的仰角为30°,以及∠MAN=45°,则M,N间的距离为 (　　) A.100 m B.120 m C.100 m D.200 m 解析:选A　由题意,可得∠MAC=60°,∠NAB=30°,MC=100,NB=50,∠MAN=45°,且∠MCA=∠NBA=90°,在Rt△ACM中,可得AM==200,在Rt△ABN中,可得AN==100,在△AMN中,由余弦定理得MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN=20 000,所以MN=100 m.故选A. 5.甲船在岛A的正南方向B处,以每小时4 km的速度向正北方向航行,AB=10 km,同时乙船自岛A出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为 (　　) A. min B. min C.21.5 min D.2.15 h 解析:选A　如图,设t h后甲行驶到D处,则AD=10-4t,乙行驶到C处,则AC=6t.∵∠BAC=120°,∴由余弦定理得DC2=AD2+AC2-2AD·AC·cos 120°=(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×cos 120°=28t2-20t+100=+. 当t=时,DC2最小,即DC最小,此时它们所航行的时间为×60= min. 6.(5分)如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1 km,且C=120°,则A,B两点间的距离为__________ km. 解析:在△ABC中,易得A=30°,由正弦定理=,得AB===(km). 答案: 7.(5分)当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时,要使一根长为2 m的竹竿的影子最长,则竹竿与地面所成的角α=__________.  解析:如图,设竹竿影子长为x. 依据正弦定理可得 =, 所以x=·sin(120°-α). 因为0°<120°-α<120°,所以要使x最大,只需120°-α=90°,即α=30°时,影子最长. 答案:30° 8.(5分)如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽车从C点到B点历时14 s,则这辆汽车的速度为__________m/s.(精确到0.1,参考数据:≈1.414,≈2.236)  解析:由题意可知,AB=200 m,AC=100 m, 由余弦定理可得 BC==100≈316.2(m),这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s). 答案:22.6 9.(5分)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1),其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计,将数学符号“∞”完美嵌入其中,寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新.如图2,为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离,无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°,30°,随后无人机沿水平方向飞行600米到点D,此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A,B,C,D在同一铅垂面内),则A,B两点之间的距离为__________米.  解析:由题意,∠DCB=30°,∠CDB=60°,所以∠CBD=90°.所以在Rt△CBD中,BD=CD=300, BC=CD=300.又∠DCA=75°,∠CDA=45°,所以∠CAD=60°.在△ACD中,由正弦定理,得=, 所以AC=×=200.在△ABC中,∠ACB=∠ACD-∠BCD=75°-30°=45°,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(200)2+(300)2-2×200×300×=150 000,所以AB=100. 答案:100 10.(5分)《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达·芬奇创作的油画,现收藏于法国卢浮宫博物馆.该油画规格为纵77 cm,横53 cm.油画挂在墙壁上时,其最低点处B离地面237 cm(如图所示).有一身高为175 cm的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15 cm),设该游客与墙的距离为x cm,视角为θ,为使观察视角θ最大,x应为__________ cm.  解析:如图所示,作CD⊥AB,交AB的延长线于点D. ∵TC=15 cm,∴C到地面的距离为175-15=160(cm). ∴BD=237-160=77(cm),AD=AB+BD=77+77=154(cm). 由图易得,BC==(cm), AC==(cm), 由余弦定理得 cos θ== =× ≥×=, 当且仅当=,即x=77时,等号成立,此时cos θ取得最小值,θ最大. 答案:77 11.(10分)如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为12 n mile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°,求A与D间的距离. 解:在△ABD中,∠ADB=60°, ∠DAB=75°,∴B=45°. ∴AD===24(n mile). 即A与D间的距离为24 n mile. 12.(10分)如图所示,在社会实践中,小明观察一棵桃树.他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°,往正前方走4 m后,在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°. (1)求BC的长;(5分) (2)若小明身高为1.70 m,求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m,其中≈1.732).(5分) 解:(1)因为∠CAB=45°,∠DBC=75°, 所以∠ACB=75°-45°=30°.又AB=4, 由正弦定理得=, 解得BC=4(m). 即BC的长为4 m. (2)在△CBD中,∠CDB=90°,BC=4, 所以DC=4sin 75°=4×=2+2. 所以CE=ED+DC=1.70+2+2≈3.70+3.464≈7.16(m). 即这棵桃树顶端点C离地面的高度约为7.16 m. 13.(10分)如图,某广场有一块不规则的绿地,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC,△ABD,经测量AD=BD=7 m,BC=5 m,AC=8 m,∠C=∠D. (1)求AB的长度;(4分) (2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)?较低造价为多少?(6分) 解:(1)在△ABC中,由余弦定理, 得cos C==. 在△ABD中,由余弦定理, 得cos D==. 由∠C=∠D,得cos C=cos D, 所以=, 解得AB=7.所以AB长度为7 m. (2)小李的设计符合要求.理由如下: 因为S△ABD=·AD·BD·sin D=sin D,S△ABC=·AC·BC·sin C=20sin C, 又sin D=sin C,所以S△ABD>S△ABC,故选择△ABC建造环境标志费用较低. 因为AD=BD=AB=7,所以△ABD是等边三角形,∠D=∠C=60°. 所以S△ABC=20sin C=10. 所以总造价为5 000×10=50 000(元). 学科网（北京）股份有限公司 $