第2章 1.1 位移、速度、力与向量的概念 1.2 向量的基本关系-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册作业与测评word（北师大版2019）

1．1　位移、速度、力与向量的概念 1．2　向量的基本关系 知识点一　向量的概念 1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 答案　A 解析　速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有方向和大小． 2．[多选]下列说法正确的是(　　) A．长度为0的向量都是零向量 B．零向量的方向都是相同的 C．单位向量的长度都相等 D．单位向量都是同方向 答案　AC 解析　零向量的方向是任意的，B错误；单位向量的模相等，方向不一定都是同方向，D错误． 知识点二　向量的表示 3．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出多少个向量？请分别列出． 解　由向量的几何表示，知可以写出12个向量，它们分别是，，，，，，，，，，，. 4．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量，，，. 解　如图所示． [名师点拨]　在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向． 知识点三　相等向量与共线向量 5．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，找出下列向量． (1)与向量相等的向量是________； (2)向量的相反向量是________； (3)与向量共线的向量是________． 答案　(1)， (2)，， (3)，，，，，， 解析　∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，∴EF綊AB，DE綊AC，DF綊BC. (1)与向量相等的向量是，. (2)向量的相反向量是，，. (3)与向量共线的向量是，，，，，，. [解题通法]　寻找共线向量或相等向量的方法 (1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． (2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (3)寻找相反向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是反向共线． 6．设在平面内给定一个四边形ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证：＝. 证明　如图所示，连接AC.在△ABC中，由三角形中位线定理知，EF＝AC，EF∥AC，同理HG＝AC，HG∥AC，所以||＝||且和同向，所以＝. 知识点四　向量的夹角 7．设O是正六边形ABCDEF的中心，则向量与的夹角为________，向量与的夹角为________． 答案　60°　30° 解析　向量与的夹角等于向量与的夹角，即∠ODE＝60°.向量与的夹角为∠ECF＝30°. 8．[易错题]在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，指出下列各组向量的夹角． (1)与；(2)与； (3)与. 解　(1)与的夹角是∠COD＝90°. (2)与的夹角是∠CBD＝45°. (3)如图，延长AC至C′，则与的夹角等于与的夹角，即∠C′CD＝135°. [易错分析]　在向量夹角的定义中，两个向量的起点是相同的．在求向量的夹角时，要检验向量的起点是否相同，如果起点不同，那么先需要平移一个或两个向量至共起点的位置，再去寻找向量的夹角，向量的夹角不一定是平面图形的内角，也可能是其补角． 一、选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 B．零向量与零向量一定共线 C．若a∥b，b∥c，则a∥c D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 答案　B 解析　向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误；零向量与任一向量共线，故B正确；向量的平行不具有传递性，故C错误；温度是数量，只有正负，没有方向，故D错误． 2．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则下列说法错误的是(　　) A．与相等的向量只有一个(不含) B．与的模相等的向量有9个(不含) C．的模恰为模的倍 D．与不共线 答案　D 解析　两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中与所在直线平行，向量方向相同，故共线． 3．下列不一定能使a∥b成立的是(　　) A．a＝b B．|a|＝|b| C．a与b方向相反 D．|a|＝0，或|b|＝0 答案　B 解析　对于A，若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0，或|b|＝0，则a∥b. 4．[多选]如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是(　　) A.＝ B．||＝|| C.> D.∥ 答案　BD 解析　与显然方向不相同，故不是相等向量，故A错误；||与||表示等腰梯形两腰的长度，所以||＝||，故B正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C错误；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以∥，故D正确．故选BD. 5．如图，在正六边形ABCDEF中，与的夹角为(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 答案　B 解析　由正六边形的几何性质可知，∠ABC＝120°，且△ABC是等腰三角形，所以∠BAC＝＝30°，即与的夹角为30°.故选B. 二、填空题 6．在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有________组． 答案　一 解析　由相等向量的定义可知，题图中只有一组向量相等，即＝. 7．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________． 答案　3π 解析　这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π×22－π×12＝3π. 8．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与相等的向量共有________个；与方向相同且模为3的向量共有________个． 答案　5　2 解析　由于相等向量是指方向相同，大小相等的两个向量，则与相等的向量共有5个，如图1；与方向相同且模为3的向量共有2个，如图2. 三、解答题 9．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中： (1)分别找出与，相等的向量； (2)找出与共线的向量； (3)找出与的模相等的向量． 解　(1)＝，＝. (2)与共线的向量有，，. (3)与的模相等的向量有，，，，，，. 10．如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝，求证：＝. 证明　∵＝，∴AB＝DC且AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴＝， 又＝，∴CN＝MA，CN∥MA， ∴四边形CNAM是平行四边形， ∴＝， ∴CM＝NA，CM∥NA. ∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN. 又DN∥MB， ∴与的模相等且方向相同， ∴＝. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$