1.8 三角函数的简单应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

1.8 三角函数的简单应用 [课时跟踪检测] 1.某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波,通过两者叠加完全抵消掉噪音(如图),已知噪音的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<2π)的振幅为1,周期为2,初相为,则用来降噪的声波曲线的解析式是 (　　) A.y=sin πx B.y=cos πx C.y=-sin πx D.y=-cos πx 解析:选D　由题意,A=1,φ=且T==2,则ω=π,所以y=sin=cos πx, 则用来降噪的声波曲线为y=-cos πx. 2.某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B的模型波动(x为月份,1≤x≤12且x∈N+).已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为 (　　) A.f(x)=2sin+7 B.f(x)=9sin C.f(x)=2sin x+7 D.f(x)=2sin+7 解析:选D　由题意得解得又最小正周期为2×(7-3)=8,所以ω==.所以f(x)=2sin+7.将(3,9)代入,得2sin+7=9,则+φ=+2kπ,k∈Z.因为|φ|<,所以当k=0时,φ=-符合题意.综上,f(x)=2sin+7. 3.[多选]如图,弹簧挂着的小球上下振动,时间t(s)与小球对于平衡位置(即静止状态)的高度h(cm)之间的关系式是h=2sin,t∈,下列说法正确的是 (　　) A.小球开始振动时,在平衡位置上方 cm处 B.最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 cm C.往复振动一次需2π s D.π s时小球达到最低点 解析:选ABC　令t=0,得h=,即小球开始振动时,在平衡位置上方 cm处,A正确;由h=2sin,知h的最大值为2,最小值为-2,则最高点、最低点与平衡位置的距离都是2,B正确;函数的周期T=2π,即往复振动一次需2π s,C正确;当t=π时,h=2sin=2×=-≠-2,D错误. 4.[多选]2025年夏天,某市连续出现45度的极端高温天气,打破了历史最高气温纪录.根据《高温酷暑工作规定》:当日高温达到40度以上,停止当日户外露天作业.如图,8月某一天从6时~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π),则下列判断正确的是 (　　) A.该函数的周期是16 B.该函数图象的一个对称中心为(10,0) C.φ= D.根据该函数模型进行模拟估计,当天的6时~20时,按照规定将停止户外露天工作个小时 解析:选ACD　由题图可知,A==10,b==35.==14-6=8,所以ω=.x=14是函数的一条对称轴, 所以×14+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z.因为0<φ<π,所以φ=.所以函数f(x)=10sin+35.周期为T=16,故A正确. 对称中心为(10,35)而不是(10,0),故B错误. 由函数解析式可知,φ=,故C正确. 令f(x)≥40,可得sin≥,则2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,解得16k-≤x≤16k+,k∈Z.因为6<x<20,当k=1时,≤x≤,所以按照规定将停止户外露天工作-=小时,故D正确. 5.(5分)在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时.则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式为__________. 解析:设位移x关于时间t的函数为x=f=Asin,根据题中条件,可得A=3,周期T==3,故ω==. 由题意可知当t=0时,f取得最大值3,故3sin φ=3,则φ=+2kπ. 所以x=3sin=3sin=3cost. 答案:x=3cost 6.(5分)水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具,其工作示意图如图所示,设水车的半径为4 m,其中心O到水面的距离为2 m,水车逆时针匀速旋转,旋转一周的时间为120 s,当水车上的一个水筒A从水中(A0处)浮现时开始计时,经过t s后水筒A距离水面的高度为f(t)(单位:m,在水面下时,高度为负数),则当0<t<120时,f(t)=__________. 解析:由题设,水车的角速度为 rad/s= rad/s. 又水车的半径为4 m,中心O到水面的距离为2 m, 设经过t s后水筒A距离水面的高度为f(t)=Asin(ωt+φ)+2, 由题意可知A=4,ω=,由于t=0时,水筒A在A0处,即f(0)=4sin φ+2=0, 即sin φ=-,由于|φ|<,故取φ=-, 故t s后水筒A距离水面的高度可表示为f(t)=4sin+2. 答案:4sin+2 7.(5分)在一次气象调查中,发现某城市的温度y(单位:℃)的波动近似地遵循规律y=25+6sint,其中t(单位:h)是从某日9:00开始计算(即9:00时,t=0),且t≤24.现给出下列结论: ①15:00时,出现最高温度,且最高温度为31 ℃; ②凌晨3:00时,出现最低温度,且最低温度为19 ℃; ③温度为28 ℃时的时刻为11:00; ④温度为22 ℃时的时刻为上午7:00. 其中所有正确结论的序号是__________　.  解析:由t=,得t=6,即15:00时,ymax=31(℃),则①正确;由t=,得t=18,即凌晨3:00时,ymin=19(℃),则②正确;由25+6sint=28,得sint=,则t=或t=,解得t=2或t=10,即对应的时刻为11:00和19:00,则③错误; 由25+6sint=22,得sint=-,则t=或t=,解得t=14或t=22,即对应的时刻为23:00和7:00,则④错误. 答案:①② 8.(5分)如图,在海岸线TO一侧有一休闲游乐场,游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS,该曲线段是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),x∈[-4,0]的图象,图象的最高点为B(-1,2),则曲线段TDBS对应的函数解析式为____________________.若曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为千米,现准备从入口D修一条笔直的景观路到O,则景观路DO的长为__________千米. 解析:由题中图象知,A=2,=-1-(-4)=3⇒T==12⇒ω=. 当x= -1时,y=2sin=2, 所以-+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z.又0<φ<π, 所以φ=.则曲线段TDBS对应的函数解析式为y=2sin,x∈[-4,0]. 因为D到海岸线TO的距离为千米,设D(xD,),显然-4<xD<-1, 所以2sin=, 即sin=. 所以xD+=+2kπ,k∈Z或xD+=+2kπ,k∈Z,解得xD=-2+12k,k∈Z或xD=12k,k∈Z. 又-4<xD<-1,所以xD=-2,即D(-2,),而另一点D与S重合,排除. 所以DO==. 答案:y=2sin,x∈[-4,0]　 9.(10分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=,此矩形沿地面上一直线滚动,在滚动过程中始终与地面垂直,设直线BC与地面所成的角为θ,矩形周边上最高点离地面的距离为f(θ),求f(θ)的值域. 解:观察可知BC与地面所成的角θ的取值范围为, 如图,连接BD,已知AB=1,BC=,则∠DBC=,过D作地面的垂线,垂足为E,在Rt△BED中,∠DBE=θ+,DB=2,所以f(θ)=2sin. 所以≤θ+≤.所以≤sin≤1, 即f(θ)的值域为[1,2]. 10.(10分)如图为一个公路隧道,隧道口截面为正弦曲线,已知隧道跨径为8.4 m,最高点离地面4.5 m. (1)若设正弦曲线的左端为原点O,试求出该正弦曲线的函数解析式;(6分) (2)如果路面宽度为4.2 m,试求出公路边缘距隧道顶端的高度.(4分) 解:(1)根据题意,设该正弦曲线的解析式为y=Asin ωx(ω>0), 则A=4.5,T=2×8.4=,∴ω=. 故该正弦曲线的解析式为y=4.5sinx. (2)根据题意,将x==2.1代入函数解析式得y=4.5sin=4.5sin=, 即公路边缘距隧道顶端的高度为 m. 11.(10分)某游乐场的摩天轮示意图如图.已知该摩天轮的半径为30米,轮上最低点与地面的距离为2米,沿逆时针方向匀速旋转,旋转一周所需时间为T=24分钟.在圆周上均匀分布12个座舱,标号分别为1~12(可视为点),在旋转过程中,座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型,现从图示位置,即1号座舱位于圆周最右端时开始计时,旋转时间为t分钟. (1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系h(t)的解析式;(4分) (2)在前24分钟内,求1号座舱与地面的距离为17米时t的值;(3分) (3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米,求当H取得最大值时t的值.(3分) 解:(1)设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,t≥0),则A=30,b=32, ∴h(t)=30sin(ωt+φ)+32(ω>0,t≥0). 依题意T=24 min,∴ω==(rad/min). 当t=0时,h(t)=32,∴φ=0. ∴h(t)=30sint+32(t≥0). (2)令h(t)=17,即30sint+32=17, ∴sint=-. ∵0≤t≤24,∴0≤t≤2π. ∴t=或t=,解得t=14或t=22. ∴t=14或t=22时,1号座舱与地面的距离为17米. (3)根据对称性可知,在一个周期内, 当t=0,4,12,16,24时,H=15; 当t=2,14时,H=0; 当t=6,10,18,22时,H=45; 当t=8,20时,H=30. 故当t=8+12k(k∈N)时,H取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $