课时作业12 三角函数的简单应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十二)　 三角函数的简单应用 [能力提升练] 1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　) A．　　　　　　　 B．100 C． D．50 解析：选C　T＝＝＝. 2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 解析：选C　由图象知ymin＝2. 因为ymin＝－3＋k，所以－3＋k＝2， 解得k＝5， 所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋k＝3＋5＝8. 3．弹簧上挂的小球上下振动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数曲线，其图象如图所示． (1)求这条曲线对应的函数解析式． (2)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？ 解：(1)设这条曲线对应的函数解析式为 s＝A sin (ωt＋φ). 由图象可知：A＝4，周期T＝2×＝π， 所以ω＝＝2， 此时所求函数的解析式为s＝4sin (2t＋φ)， 以点为“五点法”作图的第二关键点， 则有2×＋φ＝，所以φ＝. 得函数解析式为s＝4sin . (2)当t＝0时， s＝4sin ＝4sin ＝4×＝2(cm)， 所以小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 cm. 4.如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m, 60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h. (1)求h与θ间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？ 解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，故B点坐标为. ∴h＝5.6＋4.8sin . (2)点A在圆上转动的角速度是， 故t秒转过的弧度数为t， ∴h＝5.6＋4.8sin ，t∈[0，＋∞). 到达最高点时，h＝10.4 m. 由sin ＝1得t－＝， ∴t＝30， ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒． 5．受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海岸，某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是该港口在某季节每天水深的数据： t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经过长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看作函数y＝A sin ωt＋k的图象． (1)根据以上数据，作出这些数据的散点图，求出函数y＝f(t)的近似表达式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰到海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)? 解：(1)散点图： 由数据知函数y＝f(t)的周期T＝12， 振幅A＝3，k＝10，∴ω＝＝， ∴y＝3sin t＋10(0≤t≤24). (2)由题意可知，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米). 3sin t＋10≥11.5，即sin t≥. ∴2kπ＋≤t≤2kπ＋，k∈Z. ∴12k＋1≤t≤12k＋5，k∈Z. ∴在同一天内，取k＝0或1， 此时，1≤t≤5或13≤t≤17. ∴该船最早在凌晨1时进港，5时出港，或中午13时进港，下午17时出港，最多在港口停留8小时． [素养拓展练] 6．为迎接夏季旅游旺季的到来，某景点单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，工作人员想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同； ②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系． (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？ 解：(1)设该函数为f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.根据上述分析可得，＝12， 故ω＝，且解得 根据分析可知，当x＝2时f(x)最小， 当x＝8时f(x)最大，故sin ＝－1， 且sin ＝1. 又因为0<|φ|<π，故φ＝－. 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x) ＝200sin ＋300. (2)由条件可知，200sin ＋300≥400， 化简，得sin ≥， 即2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z. 因为x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6，7，8，9，10. 即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物． 学科网（北京）股份有限公司 $