精品解析：2022年4月辽宁省大连市甘井子区第七十七中学九年级数学中考模拟试卷

77中学中考模拟卷 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵|-3|>|-1|>||>|0|， ∴-3＜−1＜＜0， ∴其中最小的数是-3． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关键． 2. 某正方体木块切割掉四分之一后的剩余部分如图所示，其俯视图大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看，是一个大正方形，大正方形竖着被分割成两个矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，掌握三视图的定义是解题的关键． 3. 下列各式计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方运算法则分别化简得出答案，进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项正确，符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，掌握关于轴对称的点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标性质：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出． 【详解】解：∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为， ∴对称点的坐标为． 故选：B． 5. 如图所示，，垂足为E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过已知条件可知，∠1与∠AEF互为内错角相等，再根据EF⊥ED，可得知∠AEF与∠2形成了一个直角，∠1的度数即可求出． 【详解】 ∴∠1+∠2=90° ∵∠1=28° ∴∠2=62° 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线和垂直的性质，将平行线的判定条件与垂直的判定性质综合运用，再结合已知条件求出度数是本题的关键． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用算术平方根的定义以及立方根定义进行计算，判定即可． 【详解】解：A、原式=4，错误； B、原式=，错误； C、原式=-2，正确； D、 ，错误； 故择C． 【点睛】本题考向算术平方根和立方根的定义，掌握定义是解决问题的关键． 7. 某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表： 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ） A. 3，3 B. 3，7 C. 2，7 D. 7，3 【答案】A 【解析】 【分析】由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第10和11个所对应册数的平均数即可求得结果； 【详解】由表中数据可得，人数基数最大的7人所应的册数是3，所以众数是3． 将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3，所以中位数为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键． 8. 如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，EF⊥BD交AD于点E，交BC于点F，若AB＝3，BC＝4，则EF的长是（　　） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AG∥EF，交BC于点G，交BD于点H，先利用矩形的性质可得AD∥BC，BD＝5，∠ABC＝∠C＝90°，进而可得四边形AGFE是平行四边形，从而可得AG＝EF，再根据同角的余角相等，可得∠HAB＝∠DBC，从而可得△ABG∽△BCD，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：过点A作AG∥EF，交BC于点G，交BD于点H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝3，∠ABC＝∠C＝90°， ∴四边形AGFE是平行四边形， ∴AG＝EF， ∵EF⊥BD， ∴AG⊥BD， ∴∠AHB＝90°， ∴∠HAB+∠ABH＝90°， ∵∠ABH+∠DBC＝90°， ∴∠HAB＝∠DBC， ∴△ABG∽△BCD， ∴， ∵BC＝4，CD＝3，∠C＝90°， ∴ ∴， ∴AG， ∴EF＝AG， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，准确作出辅助线得到相似三角形是解题关键． 9. 寒假到了，为了让同学们过一个充实而有意义的假期，老师推荐给大家一本好书．已知小芳每天比小荣多看5页书，并且小芳看80页书所用的天数与小荣看70页书所用的天数相等，若设小芳每天看书x页，则根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设小芳每天看书x页，根据小芳每天比小荣多看5页书，并且小芳看80页书所用的天数与小荣看70页书所用的天数相等列出方程即可． 【详解】解：设小芳每天看书x页，则小荣每天看页， 由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了列分式方程，解题的关键在于能够正确理解题意． 10. 函数，的图象如图所示，下列结论： ①两函数图象的交点坐标为； ②当时，； ③直线分别与两函数图象交于、两点，则线段的长为3； ④当逐渐增大时，的值随着的增大而增大，的值随着的增大而减小． 则其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①函数解析式组成方程组，解之即可得两函数图象的交点坐标为A(2，2)；②由图象直接可得当x＞2时，y2＜y1；③把x=1分别代入函数y1=x（x≥0），y2=（x＞0）可得y1=1，y2=4，BC的长为3；④考查函数y1=x（x≥0）与y2=（x＞0），y值随x变化的增减性质． 【详解】①∵函数y1=x（x≥0）与y2=（x＞0）的图象交点同时在两个函数图象上， ∴， 解得，， ∴A(2，2)，故①正确； ②由图象直接可知，当x＞2时，y2＜y1，故②错误； ③把x=1分别代入y1=x（x≥0）与y2=（x＞0）， 得，y1=1，y2=4， ∴BC=4-1=3，故③正确； ④函数y1=x（x≥0）中，k＞0，y随x增大而增大，y2=（x＞0）中，k＞0，y随x增大而减小，故④正确． 故选B． 【点睛】本题综合考查了反比例函数的性质与正比例函数的性质，解决问题的关键是要熟练掌握反比例函数的性质与正比例函数的性质． 11. 将927000000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：927000000用科学记数法表示为． 故答案为： 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 12. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 13. 如图是我县某景点6月份内1﹣10日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天的最高气温度的中位数是_______℃． 【答案】26 【解析】 【分析】首先根据折线统计图获得各个数据，然后按照从小到大的顺序排列后，求中间两个数的平均数即可. 【详解】解：根据折线统计图知这十个数据为：24，30，28，24，22.5，26，27，26，30，26， 按照从小到大的顺序排列后为：22.5，24， 24，26， 26，26，27， 28，30，30， 故中位数为 ， 故答案为：26. 【点睛】本题考查折线统计图和中位数，利用数形结合思想从折线统计图中抽象出各个数据是解决问题的关键. 14. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载；“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，那么可列方程为 _____． 【答案】x+5＝2（x﹣1） 【解析】 【分析】根据绳子的长度不变，得出关于的一元一次方程，即为答案． 【详解】解：依题意，得：x+5＝2（x﹣1）． 故答案为：x+5＝2（x﹣1）． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 15. 二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+1的图象的顶点坐标是 ___． 【答案】（1，1） 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式求解顶点坐标即可． 【详解】解：∵y＝﹣4（x﹣1）2+1， ∴抛物线顶点坐标为（1，1）， 故答案为：（1，1）． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标．解题的关键在于熟练掌握抛物线的顶点式． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C，点A的对应点为A'，P为A'B′的中点，连接BP．在旋转的过程中，线段BP长度的最大值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】连接CP，由勾股定理求出AB=10，由旋转的性质得出A'B'=AB=10，∠A'CB'=∠ACB=90°，由直角三角形的性质求出CP=A'B'=5，由题意得出点P在以C为圆心，5为半径的圆上运动，则可求出答案． 【详解】解：连接CP， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C， ∴A'B'＝AB＝10，∠A'CB'＝∠ACB＝90°， ∵P为A'B′的中点， ∴CPA'B'＝5， ∴在旋转的过程中，点P在以C为圆心，5为半径的圆上运动， ∴当B，C，P三点共线时，BP有最大值， ∴BP的最大值为6+5＝11． 故答案为11． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的性质，由直角三角形的性质求出CP的长是解题的关键． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号中的，通分并相加，结果再与后面的式子相除，除以一个式子等于乘它的倒数，因式分解之后约分得到最后结果． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 近日，俄乌军事冲突事件引起了全世界的关注，此次事件也让我们深切体会到，只有祖国强大了，人民群众才有安全感，才会被世界“温柔”以待为此，某校举行了“少年强则国强”演讲比赛．学校随机调查了参加比赛的名学生，并将他们的比赛成绩统计如下满分为分： （1）这名学生比赛成绩的众数是______分，并补全条形统计图； （2）计算这名学生比赛成绩的平均数； （3）若该校共有名学生参加了这次演讲比赛，请估计得满分的共有多少名学生？ 【答案】（1）9，条形图见解析 （2）8.5分 （3）估计得满分的共有名学生 【解析】 【分析】（1）根据条件和图表计算出得8分的人数，补全条形图，对比即可求得众数 （2）计算出总得分除以20即可得到平均分 （3）用100乘以样本中得10分的人数所占的比例即可 【小问1详解】 解：（1）得分的人数为（人），所以得分的人数最多，众数为 故答案为：； 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：（分） 答：这名学生比赛成绩的平均数是分； 【小问3详解】 解：（名） 答：估计得满分的共有名学生． 【点睛】本题考查了条形图，众数，平均数，用样本估算总体等相关知识点，熟练掌握是解题的关键 19. 如图，矩形的对角线、相交于点，DEAC，CEBD． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点，求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形DOCE是平行四边形，进而利用矩形的性质得出DO=CO，即可得出答案； （2）利用全等三角形的判定和性质得出即可． 【小问1详解】 解：，， 四边形是平行四边形， 矩形的对角线、相交于点， ， 四边形为菱形； 【小问2详解】 解：连接交于点， 四边形为菱形， ，， ， 矩形， ， ， 在与中 ， ， ， 即平分． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及菱形的性质与判定和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质进而得出对应线段关系是解题关键． 20. 要开学了，学校计划购买一些篮球、足球．若购买6个篮球和8个足球共花费1700元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元． （1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元； （2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用低于1150元，则最多可购买多少个篮球？ 【答案】（1）购买一个篮球，一个足球各需150元，100元 （2）最多可购买6个篮球 【解析】 【分析】（1）设购买一个篮球需元，购买一个足球需元，根据购买6个篮球和8个足球共花费1700元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元列出方程组解答即可； （2）设购买个篮球，根据题意列出不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设购买一个篮球需元，购买一个足球需元，根据题意可得： ， 解得：， 答：购买一个篮球，一个足球各需150元，100元； 【小问2详解】 解：设购买个篮球，根据题意可得：， 解得：， 答：最多可购买6个篮球． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据总费用作为不等关系列出不等式求解． 21. 如图，两座建筑物与，其地面距离为，从的顶点测得顶部的仰角，测得其底部的俯角，求建筑物的高（结果保留根号）． 【答案】建筑物BC的高为（60+20）m． 【解析】 【分析】由题意得AE⊥BC，AE=CD=60m，然后在Rt△ACE和Rt△AEB中利用特殊角的三角函数解答． 【详解】解：由题意得AE⊥BC，AE=CD=60m， 在Rt△ACE中，∠β=45°，AE=60m，tanβ=， ∴CE=60×1=60m， 在Rt△AEB中，∠α=30°，AE=60m，tanα=， ∴BE=60×=20m， ∴BC=BE+CE=（60+20）m． 答：建筑物BC的高为（60+20）m． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是抽象出直角三角形，然后解直角三角形． 22. 如图，已知点、两点是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）求△AOB的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把代入反比例函数得出m的值，再把代入一次函数的解析式，运用待定系数法分别求其解析式； （2）观察函数图象得到当或时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，即． （3）先求出直线与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算即可； 【小问1详解】 解：∵在上， ∴m=8． ∴反比例函数的解析式为． ∵点在上， ∴n=2． ∴． ∵y=kx+b经过A（4，2），B（2，4）， ∴． 解得：． ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意，结合图像可知： 当或时， 一次函数的图象在反比例函数图象上方，即． 【小问3详解】 解：∵， ∴当y=0时，x=2． ∴点C（2，0）． ∴OC=2． ∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×4+×2×2=6； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式． 23. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且 ，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接AD． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若ED＝，AC＝2，求CD的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）如图：连接OD.根据圆周角定理可得∠CAD=∠DAB，再根据等腰三角形的性质可得∠DAB=∠ODA，进而得到∠CAD=∠ODA可得AE//OD，再由平行的性质可得DE⊥OD，最后由切线的性质即可证明结论； （2）如图：连接BC，交OD于点F，根据直径所对圆周角是直角，利用勾股定理即可求出结果． 【小问1详解】 证明：如图，连接OD. ∵， ∴∠CAD=∠DAB， ∵OA=OD， ∴∠DAB=∠ODA. ∴∠CAD=∠ODA， ∴AE//OD. ∵DE⊥AE， ∴DE⊥OD， ∵OD为OO的半径， ∴ED是OO的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接BC，交OD于点F， ∵， ∴OD⊥BC，BC=2CF， ∵∠E=∠FDE=90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴CF=DE=， ∴BC=2CF=2， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AB= ∵AE//OD，OA=OB，BF=CF， ∴OF=AC=1，∠BFO=∠ACB=90°， ∴FD=OD-OF=2-1=1， 在Rt△CFD中，CD=． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理等知识点，解决本题掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解答本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，两个形状、大小完全相同的三角板OBC，DEF，按如图所示的位置摆放，O为原点，点B(12，0) ，点B与点D重合，边OB与边DE都在x轴上．其中，∠C=∠DEF=90°，∠OBC=∠F=30°． （1）如图①，求点C坐标； （2）现固定三角板DEF，将三角板OBC沿x轴正方向平移，得到△O′B′C′ ，当点O′ 落点D上时停止运动．设三角板平移的距离为x，两个三角板重叠部分的面积为y．求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）在（2）条件下，设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，当点M与点N之间的距离最小时，点M的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】（1）C (3 ,)；（2） ；（3）M 【解析】 【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G点，根据B(12，0) ，∠C=∠DEF=90°，∠OBC=∠F=30°，得OB=12， OC=6．根据OG=OC•cos60°，CG=OC•sin60°求出结果即可得到坐标； （2）分类讨论：①当时，②当时，根据三角形的面积公式，列出方程可得答案； （3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，点在上时最短，根据三角形的中位线，可得，的长，根据线段的和差，可得点M的坐标． 【详解】解：（1）如图①所示：过点C作CG⊥AB于G点． ∵B(12，0) ，得OB=12， 在Rt△OBC中，由OB=12，∠OBC=30°，得OC=6． ∴∠COB=60° 在Rt△OCG中，OG=OC•cos60°=3． ∴CG=OC•sin60°=． ∴C (3 ,). （2）①当0≤x＜6时，如图②所示． ∠GDE=60°，∠GB′D=30°，DB′=x，得 DG=，B′G=，重叠部分的面积为 y=DG•B′G=•x•= ②当6≤x≤12时，如图③所示． B′D=x，DG=x，B′G=，B′E=x﹣6， EH=． 重叠部分的面积为y=S△B′DG﹣S△B′EH=DG•B′G﹣B′E•EH， 即y=•x•-•• 化简，得y=； 综上所述： ； （3）如图5所示，作于点， 点在上时最短， ∵是的中位线， ∴，， ∴， ∴M点坐标为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，垂线段最短的性质，三角形的中位线定理，面积的和差，二次函数和分类讨论的思想，熟悉相关性质是解题的关键． 25. 如图，两直角三角形ABC和DEF有一条边BC与EF在同一直线上，且∠DFE＝∠ACB＝60°，BC＝1，EF＝2．设EC＝m（0≤m≤4），点M在线段AD上，且∠MEB＝60°． （1）如图1，当点C和点F重合时，＝________； （2）如图2，将图1中的△ABC绕点C逆时针旋转，当点A落在DF边上时，求的值； （3）当点C在线段EF上时，△ABC绕点C逆时针旋转α度（0＜α＜90°），原题中其他条件不变，则＝________． 【答案】（1）1 （2）＝1 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，进而解Rt△DEC，求得的长，证明△DEF≌△DAC，分别根据含30度角的直角三角形的性质求得，即可求得答案； （2）连接AE，证明△AME≌△CBE（ASA），分别求得,从而求得答案； （3）过点B作BE⊥EM角线段EM的延长线于G，连接AG，BG，证明△ECB∽△GAB，根据相似三角形的性质可得AG＝m，证明AGDE，可得△AGM∽△DEM，即可求得DE＝CE＝m，进而根据＝即可求解． 【小问1详解】 解：（1）由题意得，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝1， ∴AC＝2，BC＝， 在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，∠DCE＝60°，EF＝2， ∴DC＝4，DE＝2， ∴∠DCA＝180°﹣∠DCE﹣∠ACB＝60°， ∴AC＝EF，∠DCE＝∠DCA，DC＝DC， ∴△DEF≌△DAC（SAS）， ∴AD＝DE＝2，∠EDC＝∠CDA＝30°， ∵∠MEC＝60°， ∴∠DEM＝30°， ∴∠DME＝180°﹣∠DEM﹣∠EDM＝180°﹣∠DEM﹣2∠EDC＝90°， ∴DM＝DE＝， ∴AM＝AD﹣DM＝， ∴＝1， 故答案为：1； 【小问2详解】 如图2，连接AE， ∵AC＝EF＝2，∠ACE＝60°， ∴△AEC是等边三角形， ∴AE＝2，∠EAC＝∠AEC＝60°， ∴∠AEB+∠BEC＝∠AEC＝60°， ∵∠MEB＝60°， ∴∠AEB+∠MEA＝60°， ∴∠BEC＝∠MEA， ∵∠DAE＝∠ECB＝120°，AE＝EC， ∴△AME≌△CBE（ASA）， ∴AM＝BC＝1， ∵AD＝DC﹣AC＝2， ∴DM＝AD﹣AM＝1， ∴＝1； 【小问3详解】 如图3，过点B作BE⊥EM角线段EM的延长线于G，连接AG，BG， ∵∠CBA＝∠EBG＝90°， ∴∠EBC＝∠GBA， ∵∠MEB＝∠ACB＝90°， ∴∠EBC＝∠GBA， ∵∠MEB＝∠ACB＝60°， ∴， ∴△ECB∽△GAB， ∴，∠AGB＝∠CEB， ∴AG＝m， ∵∠CEB+∠DEG＝30°，∠AGB+∠EGA＝30°， ∴∠AGM＝∠DEM， ∴AGDE， ∴△AGM∽△DEM， ∴， ∵DE＝CE＝m， ∴＝＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋（a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，点P（m，n）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）观察图象，当90°＜∠APB＜180°时，请直接写出m的取值范围； （4）当点P在对称轴的右侧，且∠APB＝90°时，将抛物线沿x轴方向平移k个单位长度，点D，P平移后的对应点分别为D'，P'，是否存在一个k值，使四边形ABP'D'的周长最短？若存在，请直接写出平移方向（“向左”或“向右”）和k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）直角三角形，理由见解析；（3）－1＜m＜0或2＜m＜3；（4）向左， 【解析】 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得顶点D的坐标； （2）根据两点间的距离公式得出AB、AC、BC的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定即可； （3）根据抛物线的对称性得出点C关于对称轴的对称点是E(2，)，再结合图象即可得出答案； （4）根据AB和D′P′的长为定值可得，当AD′+B P′的和最短时，四边形ABP'D'的周长最短，将点B向左平移1个单位，再向上平移个单位得到B′点，以过点D的直线y=为对称轴，作B′的对称点B″，连接AB″，交直线y=于点D′，此时，四边形ABP'D'的周长最短可，求出D′的坐标即可得出答案． 【详解】解：（1）将A(-1，0)，B(3，0)代入解析式 中得 ； 解得：； ∴抛物线的解析式为 ； ∴对称轴 ∴ ∴顶点D的坐标为(1，) ； （2）由（1）知C点的坐标为(0，)， ∵A(-1，0) ，B(3，0) ，C(0，)， ∴ AB==4， AC==2， BC=， ∵ 即 ， ∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， （3）由（2）知，∠ACB=90°， 当P点在图像的AC段（不包含A点和C点）时，∠APB为钝角，此时； C点关于对称轴的对称点是E(2，)，此时∠AEB=90°， 当P点在图像的BE段（不包含B点和E点）时，∠APB为钝角，此时. 综上所述，m点的取值范围是 或 ； （4）由题意知，P点在对称轴的右侧，且∠APB=90° ∴P点坐标为(2，)，则DP= ∵点D，P平移后的对应点分别为D′，P′， ∴D′P′=， 将点B向左平移1个单位，再向上平移个单位得到B′点 以过点D的直线y=为对称轴，作B′的对称点B″，连接AB″，交直线y=于点D′，此时，四边形ABP'D'的周长最短． ∵B(3，0) ，∴B′点坐标为（2，），∴B″点坐标为（2，）， 设直线A B″的解析式为y=kx+b， ∴，解得： ， ∴直线A B″的解析式为y=x+， 当y=时，x+=∴， ∴D′点坐标为（，）， ∵顶点D的坐标为(1，) ∴， ∴存在，抛物线沿x轴向左平移个单位长度 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是二次函数的性质和平移、勾股定理的逆定理、路径最短等知识点，有一定的难度， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 77中学中考模拟卷 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 某正方体木块切割掉四分之一后的剩余部分如图所示，其俯视图大致为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，，垂足为E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表： 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ） A. 3，3 B. 3，7 C. 2，7 D. 7，3 8. 如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，EF⊥BD交AD于点E，交BC于点F，若AB＝3，BC＝4，则EF的长是（　　） A. B. C. D. 4 9. 寒假到了，为了让同学们过一个充实而有意义的假期，老师推荐给大家一本好书．已知小芳每天比小荣多看5页书，并且小芳看80页书所用的天数与小荣看70页书所用的天数相等，若设小芳每天看书x页，则根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 10. 函数，的图象如图所示，下列结论： ①两函数图象的交点坐标为； ②当时，； ③直线分别与两函数图象交于、两点，则线段的长为3； ④当逐渐增大时，的值随着的增大而增大，的值随着的增大而减小． 则其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②④ D. ②③④ 11. 将927000000用科学记数法表示为________． 12. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_______． 13. 如图是我县某景点6月份内1﹣10日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天的最高气温度的中位数是_______℃． 14. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载；“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，那么可列方程为 _____． 15. 二次函数y＝﹣4（x﹣1）2+1的图象的顶点坐标是 ___． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C，点A的对应点为A'，P为A'B′的中点，连接BP．在旋转的过程中，线段BP长度的最大值为______． 17. 化简：． 18. 近日，俄乌军事冲突事件引起了全世界的关注，此次事件也让我们深切体会到，只有祖国强大了，人民群众才有安全感，才会被世界“温柔”以待为此，某校举行了“少年强则国强”演讲比赛．学校随机调查了参加比赛的名学生，并将他们的比赛成绩统计如下满分为分： （1）这名学生比赛成绩的众数是______分，并补全条形统计图； （2）计算这名学生比赛成绩的平均数； （3）若该校共有名学生参加了这次演讲比赛，请估计得满分的共有多少名学生？ 19. 如图，矩形的对角线、相交于点，DEAC，CEBD． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点，求证：平分． 20. 要开学了，学校计划购买一些篮球、足球．若购买6个篮球和8个足球共花费1700元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元． （1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元； （2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用低于1150元，则最多可购买多少个篮球？ 21. 如图，两座建筑物与，其地面距离为，从的顶点测得顶部的仰角，测得其底部的俯角，求建筑物的高（结果保留根号）． 22. 如图，已知点、两点是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）求△AOB的面积． 23. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且 ，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接AD． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若ED＝，AC＝2，求CD的长． 24. 在平面直角坐标系中，两个形状、大小完全相同的三角板OBC，DEF，按如图所示的位置摆放，O为原点，点B(12，0) ，点B与点D重合，边OB与边DE都在x轴上．其中，∠C=∠DEF=90°，∠OBC=∠F=30°． （1）如图①，求点C坐标； （2）现固定三角板DEF，将三角板OBC沿x轴正方向平移，得到△O′B′C′ ，当点O′ 落点D上时停止运动．设三角板平移的距离为x，两个三角板重叠部分的面积为y．求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）在（2）条件下，设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，当点M与点N之间的距离最小时，点M的坐标（直接写出结果即可）． 25. 如图，两直角三角形ABC和DEF有一条边BC与EF在同一直线上，且∠DFE＝∠ACB＝60°，BC＝1，EF＝2．设EC＝m（0≤m≤4），点M在线段AD上，且∠MEB＝60°． （1）如图1，当点C和点F重合时，＝________； （2）如图2，将图1中的△ABC绕点C逆时针旋转，当点A落在DF边上时，求的值； （3）当点C在线段EF上时，△ABC绕点C逆时针旋转α度（0＜α＜90°），原题中其他条件不变，则＝________． 26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋（a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，点P（m，n）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）观察图象，当90°＜∠APB＜180°时，请直接写出m的取值范围； （4）当点P在对称轴的右侧，且∠APB＝90°时，将抛物线沿x轴方向平移k个单位长度，点D，P平移后的对应点分别为D'，P'，是否存在一个k值，使四边形ABP'D'的周长最短？若存在，请直接写出平移方向（“向左”或“向右”）和k的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $