小升初奥数培优讲义专题18 列方程解行程问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学·通用版

专题18 列方程解行程问题 知识梳理 1.核心思想 (1)设未知数：根据题目要求，选择一个合适的量设为未知数（通常设所求量为x）。 (2)找等量关系：这是列方程的关键。行程问题中最基本的等量关系是“路程=速度×时间”。在此基础上，相遇问题中“甲路程+乙路程=总路程”，追及问题中“快者路程-慢者路程=初始距离”。 (3)列方程：用含有未知数的代数式表示相关量，根据等量关系列出方程。 (4)解方程并检验：求出未知数的值，并检验其是否符合题意。 2.基本公式回顾 (1)基础关系：路程 = 速度 × 时间 (2)相遇问题（相向而行）：路程和 = 速度和 × 相遇时间 (3)追及问题（同向而行）：路程差 = 速度差 × 追及时间 3.解题步骤 (1)第一步：审题与画图。仔细阅读题目，画出行程示意图，标出已知条件和未知量。 (2)第二步：设未知数。通常设题目所求的量为x，有时为了方便，也可以设中间量为x。 (3)第三步：表示相关量。用含x的代数式表示出题目中的其他相关量（如路程、时间、速度）。 (4)第四步：找等量关系列方程。根据图示和题意，找到一个能连接所有量的等量关系，列出方程。 (5)第五步：解方程并作答。解出x的值，并写出完整的答案。 例题讲解 【典型例题1】 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米，3小时后两车相遇。求A、B两地之间的距离。 【分析】 这是一个基础的相遇问题。等量关系非常明确：甲车行驶的路程 + 乙车行驶的路程 = A、B两地的总距离。我们可以直接设总距离为x，也可以先求出各自路程再相加。这里为了演示列方程，我们设总距离为x。 【详解】 1. 设未知数：设A、B两地之间的距离为x千米。 2. 表示相关量： 甲车3小时行驶的路程为：60 × 3 = 180（千米） 乙车3小时行驶的路程为：50 × 3 = 150（千米） 3. 找等量关系列方程： 甲路程 + 乙路程 = 总路程 180 + 150 = x 4. 解方程： x = 330 5. 作答：A、B两地之间的距离是330千米。 【答案】 A、B两地之间的距离是330千米。 【跟踪训练1】 小云和小林分别从相距4.5公里的两地同时出发，相向而行。小云每分钟骑200米，小林每分钟骑250米。问经过多少分钟两人相遇？ 【分析】 本题是已知总路程和各自速度，求相遇时间。等量关系依然是：小云路程 + 小林路程 = 总路程。需要注意单位统一，将公里换算成米。 【详解】 1. 单位换算：4.5公里 = 4500米。 2. 设未知数：设经过x分钟两人相遇。 3. 表示相关量： 小云行驶的路程为：200x（米） 小林行驶的路程为：250x（米） 4. 找等量关系列方程： 200x + 250x = 4500 5. 解方程： 450x = 4500 x = 10 6. 作答：经过10分钟两人相遇。 【答案】 经过10分钟两人相遇。 【典型例题2】 小明从家出发去学校，每分钟走60米。他出发10分钟后，爸爸发现他忘了带作业，立刻骑自行车以每分钟200米的速度去追。问爸爸出发后多少分钟能追上小明？ 【分析】 这是一个典型的追及问题。关键在于找到追及过程中的等量关系。当爸爸追上小明时，两人从家出发所走的路程是相等的。小明比爸爸多走了10分钟，这是解题的关键。 【详解】 1. 设未知数：设爸爸出发后x分钟能追上小明。 2. 表示相关量： 爸爸行驶的路程为：200x（米） 小明在爸爸出发前已经走了：60 × 10 = 600（米） 小明在爸爸追赶的x分钟内又走了：60x（米） 小明总共走的路程为：600 + 60x（米） 3. 找等量关系列方程： 爸爸的路程 = 小明的总路程 200x = 600 + 60x 4. 解方程： 200x - 60x = 600 140x = 600 x = 600 / 140 = 30 / 7 5. 作答：爸爸出发后30/7分钟（约4.29分钟）能追上小明。 【答案】 爸爸出发后30/7分钟能追上小明。 【跟踪训练2】 一辆客车和一辆货车同时从甲地开往乙地，客车每小时行70千米，货车每小时行50千米。结果客车比货车早到2小时。求甲、乙两地之间的距离。 【分析】 本题是“同向不同时到达”的问题，可以转化为追及问题的变种。等量关系是：货车行驶时间 - 客车行驶时间 = 2小时。我们可以设距离为x，然后用距离除以各自速度表示出时间。 【详解】 1. 设未知数：设甲、乙两地之间的距离为x千米。 2. 表示相关量： 客车行驶的时间为：x / 70（小时） 货车行驶的时间为：x / 50（小时） 3. 找等量关系列方程： 货车时间 - 客车时间 = 2 x/50 - x/70 = 2 4. 解方程： 通分，两边同乘350： 7x - 5x = 700 2x = 700 x = 350 5. 作答：甲、乙两地之间的距离是350千米。 【答案】 甲、乙两地之间的距离是350千米。 【典型例题3】 一列火车通过一座长1100米的铁路桥，测得火车从开始上桥到完全下桥共用130秒，整列火车完全在桥上的时间为90秒。求火车的速度和车长。 【分析】 这是“火车过桥”问题，属于分段行程问题。关键在于理解两种状态下火车行驶的路程。 1. 从开始上桥到完全下桥：火车行驶的路程 = 桥长 + 车长。 2. 整列火车完全在桥上：火车行驶的路程 = 桥长 - 车长。 题目中有两个未知量（速度和车长），需要设一个未知数，利用速度不变建立方程。 【详解】 1. 设未知数：设火车的车长为x米。 2. 表示相关量： 第一种情况路程：1100 + x（米），时间130秒，速度为 (1100 + x) / 130（米/秒） 第二种情况路程：1100 - x（米），时间90秒，速度为 (1100 - x) / 90（米/秒） 3. 找等量关系列方程： 火车速度不变，所以： (1100 + x) / 130 = (1100 - x) / 90 4. 解方程： 交叉相乘： 90(1100 + x) = 130(1100 - x) 99000 + 90x = 143000 - 130x 90x + 130x = 143000 - 99000 220x = 44000 x = 200 5. 求速度： 车长为200米，代入任一速度公式： 速度 = (1100 + 200) / 130 = 1300 / 130 = 10（米/秒） 6. 作答：火车的速度是10米/秒，车长是200米。 【答案】 火车的速度是10米/秒，车长是200米。 【跟踪训练3】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每小时5千米，乙的速度是每小时4千米。两人相遇后，甲继续前行，又用了2小时到达B地。求A、B两地之间的距离。 【分析】 这是一个“相遇后继续前行”的问题。关键在于利用相遇后的信息反推相遇前的情况。相遇后甲用2小时走完的路程，正是相遇前乙走过的路程。由此可以求出相遇时间，进而求出总路程。 【详解】 1. 设未知数：设两人从出发到相遇用了x小时。 2. 表示相关量： 相遇前，甲走的路程为：5x（千米） 相遇前，乙走的路程为：4x（千米） 相遇后，甲用2小时走完乙之前走的路程，即：5 × 2 = 10（千米） 3. 找等量关系列方程： 相遇后甲走的路程 = 相遇前乙走的路程 10 = 4x 4. 解方程： x = 2.5 5. 求总路程： 总路程 = 甲路程 + 乙路程 = 5x + 4x = 9x 9 × 2.5 = 22.5（千米） 6. 作答：A、B两地之间的距离是22.5千米。 【答案】 A、B两地之间的距离是22.5千米。 提升练习 1. 甲、乙两车分别从相距360千米的两地同时出发，相向而行。甲车速度是每小时70千米，乙车速度是每小时50千米。问经过几小时两车相遇？ 【详解】 设经过 小时两车相遇。 根据“甲路程 + 乙路程 = 总路程”，列方程： 【答案】 经过3小时两车相遇。 2. 小乐每分钟走70米，小云每分钟走65米。两人从一条长540米的马路两端同时出发，相向而行。问几分钟后两人还相距90米？ 【详解】 设 分钟后两人还相距90米。 此时两人共走了 米。 列方程： 【答案】 经过 分钟（即3分20秒）后两人还相距90米。 3. 一辆慢车从A地开往B地，每小时行40千米。开出5小时后，一辆快车以每小时90千米的速度也从A地开往B地。问快车出发后几小时能追上慢车？ 【详解】 设快车出发后 小时追上慢车。 慢车共行驶了 小时。 根据“快车路程 = 慢车路程”，列方程： 【答案】 快车出发后4小时能追上慢车。 4. 甲、乙两车同时同地出发去同一目的地，甲车每小时行45千米，乙车每小时行55千米。结果甲车比乙车迟到了2小时。求两地之间的距离。 【详解】 设两地距离为 千米。 根据“甲时间 - 乙时间 = 2”，列方程： 通分（495）： 【答案】 两地之间的距离是495千米。 5. 一列火车通过一座长800米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了50秒。已知火车的速度是每秒20米，求这列火车的车长。 【详解】 设火车车长为 米。 根据“路程 = 桥长 + 车长”，列方程： 【答案】 这列火车的车长是200米。 6. 一列长150米的火车，以每秒18米的速度通过一条长750米的隧道。问从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多少秒？ 【详解】 设需要 秒。 根据“路程 = 隧道长 + 车长”，列方程： 【答案】 共需要50秒。 7. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每小时6千米，乙的速度是每小时4千米。两人相遇后，乙又走了3小时到达A地。求A、B两地的距离。 【详解】 设两人相遇用了 小时。 相遇后乙走的路程（即甲之前走的路程）为 千米。 甲在相遇前也走了 千米。 列方程： 总距离为 千米。 【答案】 A、B两地的距离是20千米。 8. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发同向而行，乙在前，甲在后。甲车速度是每小时100千米，乙车速度是每小时60千米。经过5小时后，甲车仍未追上乙车，且此时两车相距100千米。求A、B两地的初始距离（甲在A，乙在B）。 【详解】 设初始距离（路程差）为 千米。 5小时后，甲比乙多走了 千米。 但此时还差100千米才追上，说明初始距离比多走的路程多100千米。 列方程： 【答案】 A、B两地的初始距离是300千米。 9 一架飞机所带的燃料最多可以用6小时。飞机去时顺风，每小时飞行1500千米；返回时逆风，每小时飞行1200千米。问这架飞机最多飞出多少千米就必须返回？ 【详解】 设飞机飞出 小时后必须返回，则返回需要 小时。 去时路程 = 返回路程。 列方程： 飞出距离为 千米。 【答案】 最多飞出4000千米就必须返回。 10. 一列火车通过一座长1200米的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共用了50秒。整列火车完全在隧道内的时间是30秒。求火车的车长和速度。 【详解】 设火车车长为 米。 速度 （过隧道全程） 速度 （完全在隧道内） 列方程： 交叉相乘： 速度 米/秒。 【答案】 火车车长300米，速度30米/秒。 11. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度比是3:2。相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%。当甲到达B地时，乙离A地还有14千米。求A、B两地的距离。 【详解】 设两地距离为 ，初始速度甲为 ，乙为 。 相遇时，甲走了 ，乙走了 。 变速后，甲速度为 ，乙速度为 。 甲走完乙剩下的 所用时间 。 在这段时间 内，乙走了 。 乙离A地的距离 = 甲之前走的 - 乙后来走的路程。 列方程： 化简（ 消掉）： 通分（90）： 【答案】 A、B两地的距离是45千米。 12. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，6小时后相遇。如果两车每小时都少行5千米，那么8小时后才能相遇。求A、B两地的距离。 【详解】 设两地距离为 千米，原速度和为 。 第一种情况： 。 第二种情况：速度和变为 （两车各少5千米）。 联立方程： 【答案】 A、B两地的距离是240千米。 13. 一辆汽车从A地开往B地，如果车速比原来提高 ，可以比原定时间提前1小时到达。求原定到达B地的时间。 【详解】 设原定速度为 ，原定时间为 小时。 路程 。 提速后速度为 ，时间为 。 路程不变： 消掉 ： 【答案】 原定到达B地的时间是6小时。 14. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，若相向而行，5小时后相遇；若同向而行（乙在前），15小时后甲追上乙。已知甲的速度是每小时12千米，求乙的速度。 【详解】 设乙的速度为 千米/小时。 相向（路程和）： 。 同向（路程差）： 。 联立方程： 【答案】 乙的速度是每小时6千米。 15. 小明从家到学校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟；如果每分钟走70米，就可以提前1分钟到校。求小明从家到学校的准确时间是多少分钟？ 【详解】 设准确时间为 分钟。 第一种情况路程： 。 第二种情况路程： 。 路程相等： 【答案】 小明从家到学校的准确时间是11分钟。 16. 一列快车长180米，每秒行25米；一列慢车长270米，每秒行20米。两车相向而行，从车头相遇到车尾离开需要多少秒？ 【详解】 设需要 秒。 相向而行的路程和 = 快车长 + 慢车长。 速度和 = 米/秒。 列方程： 【答案】 从车头相遇到车尾离开需要10秒。 17. A、B两地相距200千米。甲车从A地出发，每小时行40千米；乙车从B地出发，每小时行60千米。如果两车同时出发，同向而行（甲在前），几小时后两车相距100千米？（考虑两种情况） 【详解】 设 小时后。 情况一：乙车还没追上甲车，两车相距100千米（距离缩短了100千米）。 情况二：乙车追上甲车并超过，两车相距100千米（乙比甲多走300千米）。 【答案】 5小时后（未追上时）或15小时后（超过后）两车相距100千米。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 列方程解行程问题 知识梳理 1.核心思想 (1)设未知数：根据题目要求，选择一个合适的量设为未知数（通常设所求量为x）。 (2)找等量关系：这是列方程的关键。行程问题中最基本的等量关系是“路程=速度×时间”。在此基础上，相遇问题中“甲路程+乙路程=总路程”，追及问题中“快者路程-慢者路程=初始距离”。 (3)列方程：用含有未知数的代数式表示相关量，根据等量关系列出方程。 (4)解方程并检验：求出未知数的值，并检验其是否符合题意。 2.基本公式回顾 (1)基础关系：路程 = 速度 × 时间 (2)相遇问题（相向而行）：路程和 = 速度和 × 相遇时间 (3)追及问题（同向而行）：路程差 = 速度差 × 追及时间 3.解题步骤 (1)第一步：审题与画图。仔细阅读题目，画出行程示意图，标出已知条件和未知量。 (2)第二步：设未知数。通常设题目所求的量为x，有时为了方便，也可以设中间量为x。 (3)第三步：表示相关量。用含x的代数式表示出题目中的其他相关量（如路程、时间、速度）。 (4)第四步：找等量关系列方程。根据图示和题意，找到一个能连接所有量的等量关系，列出方程。 (5)第五步：解方程并作答。解出x的值，并写出完整的答案。 例题讲解 【典型例题1】 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米，3小时后两车相遇。求A、B两地之间的距离。 【跟踪训练1】 小云和小林分别从相距4.5公里的两地同时出发，相向而行。小云每分钟骑200米，小林每分钟骑250米。问经过多少分钟两人相遇？ 【典型例题2】 小明从家出发去学校，每分钟走60米。他出发10分钟后，爸爸发现他忘了带作业，立刻骑自行车以每分钟200米的速度去追。问爸爸出发后多少分钟能追上小明？ 【跟踪训练2】 一辆客车和一辆货车同时从甲地开往乙地，客车每小时行70千米，货车每小时行50千米。结果客车比货车早到2小时。求甲、乙两地之间的距离。 【典型例题3】 一列火车通过一座长1100米的铁路桥，测得火车从开始上桥到完全下桥共用130秒，整列火车完全在桥上的时间为90秒。求火车的速度和车长。 【跟踪训练3】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每小时5千米，乙的速度是每小时4千米。两人相遇后，甲继续前行，又用了2小时到达B地。求A、B两地之间的距离。 提升练习 1. 甲、乙两车分别从相距360千米的两地同时出发，相向而行。甲车速度是每小时70千米，乙车速度是每小时50千米。问经过几小时两车相遇？ 2. 小乐每分钟走70米，小云每分钟走65米。两人从一条长540米的马路两端同时出发，相向而行。问几分钟后两人还相距90米？ 3. 一辆慢车从A地开往B地，每小时行40千米。开出5小时后，一辆快车以每小时90千米的速度也从A地开往B地。问快车出发后几小时能追上慢车？ 4. 甲、乙两车同时同地出发去同一目的地，甲车每小时行45千米，乙车每小时行55千米。结果甲车比乙车迟到了2小时。求两地之间的距离。 5. 一列火车通过一座长800米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了50秒。已知火车的速度是每秒20米，求这列火车的车长。 6. 一列长150米的火车，以每秒18米的速度通过一条长750米的隧道。问从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多少秒？ 7. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每小时6千米，乙的速度是每小时4千米。两人相遇后，乙又走了3小时到达A地。求A、B两地的距离。 8. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发同向而行，乙在前，甲在后。甲车速度是每小时100千米，乙车速度是每小时60千米。经过5小时后，甲车仍未追上乙车，且此时两车相距100千米。求A、B两地的初始距离（甲在A，乙在B）。 9 一架飞机所带的燃料最多可以用6小时。飞机去时顺风，每小时飞行1500千米；返回时逆风，每小时飞行1200千米。问这架飞机最多飞出多少千米就必须返回？ 10. 一列火车通过一座长1200米的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共用了50秒。整列火车完全在隧道内的时间是30秒。求火车的车长和速度。 11. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度比是3:2。相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%。当甲到达B地时，乙离A地还有14千米。求A、B两地的距离。 12. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，6小时后相遇。如果两车每小时都少行5千米，那么8小时后才能相遇。求A、B两地的距离。 13. 一辆汽车从A地开往B地，如果车速比原来提高 ，可以比原定时间提前1小时到达。求原定到达B地的时间。 14. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，若相向而行，5小时后相遇；若同向而行（乙在前），15小时后甲追上乙。已知甲的速度是每小时12千米，求乙的速度。 15. 小明从家到学校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟；如果每分钟走70米，就可以提前1分钟到校。求小明从家到学校的准确时间是多少分钟？ 16. 一列快车长180米，每秒行25米；一列慢车长270米，每秒行20米。两车相向而行，从车头相遇到车尾离开需要多少秒？ 17. A、B两地相距200千米。甲车从A地出发，每小时行40千米；乙车从B地出发，每小时行60千米。如果两车同时出发，同向而行（甲在前），几小时后两车相距100千米？（考虑两种情况） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $