小升初奥数培优讲义专题17 多人多次相遇追及（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学·通用版

专题17 多人多次相遇追及 知识梳理 1.核心基础公式 所有行程问题均围绕基本关系式“路程=速度×时间”展开。针对相遇与追及问题，需熟练掌握以下两条核心公式： (1)相遇问题：路程和=速度和×相遇时间（对象相向而行，共同覆盖一段距离）。 (2)追及问题：路程差=速度差×追及时间（对象同向而行，快者比慢者多走一段距离）。 2.多人问题的处理策略 当出现三个或以上对象时，需通过“化繁为简”的思路，将复杂问题拆解为多个“两人相遇/追及”的环节： (1)分步分析法：抓住题目中的关键事件（如“甲与乙相遇”“甲追上丙”），单独提取涉及的两个对象，利用基础公式列式求解。 (2)画图辅助法：在直线上用不同符号标出各对象的起点、方向及相遇/追及点，直观呈现路程关系，避免逻辑混乱。 3.多次相遇的关键规律（直线两端出发） 当两个对象在两地间不断往返运动时，需掌握路程与相遇次数的关系（设全程为S）： (1)第一次相遇：共走1个全程（S），时间t₁=S÷速度和。 (2)第二次相遇：共走3个全程（3S），时间t₂=3S÷速度和（从出发到第二次相遇的总时间）。 (3)第N次相遇：共走(2N−1)个全程（(2N−1)S），时间tₙ=(2N−1)S÷速度和。 (4)规律本质：除第一次相遇外，后续每两次相遇之间，两个对象共走2个全程（2S）。 4.关键解题技巧 (1)设数法（份数法）：当题目未给出具体路程时，可设全程为速度的最小公倍数或简单整数（如1、100等），将抽象问题具体化。 (2)比例法：当时间一定时，路程比=速度比；当速度一定时，路程比=时间比，通过比例关系简化计算。 例题讲解 【典型例题1】 甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行。途中甲与乙相遇后，6分钟又与丙相遇。求东、西两村之间的距离。 【跟踪训练1】 甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从B地，乙、丙从A地同时出发相向而行。途中甲与乙相遇后，15分钟又与丙相遇。求A、B两地之间的距离。 【典型例题2】 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，4小时相遇。若两车每小时都少行1.8千米，则需要6小时才能相遇。求A、B两地的距离。 【跟踪训练2】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时相遇。若两人每小时都多行2千米，则只需2小时就能相遇。求A、B两地的距离。 【典型例题3】 甲、乙、丙三车同时从A地出发到B地。乙比丙晚出发10分钟，但出发后40分钟追上丙；甲比乙晚出发20分钟，出发后100分钟追上乙。若甲出发后追上丙，需要多少分钟？ 【跟踪训练3】 A、B、C三车同时从甲地出发去乙地。B车比C车晚出发5分钟，但出发后15分钟追上C车；A车比B车晚出发10分钟，出发后20分钟追上B车。若A车出发后追上C车，需要多少分钟？ 【典型例题4】 A、B两地相距240千米，客车从A地、货车从B地同时出发相向而行。第一次相遇时距A地90千米，相遇后继续前进，各自到达对方出发地后立即返回，第二次相遇时距B地多少千米？ 【跟踪训练4】 甲、乙两地相距180千米，快车从甲地、慢车从乙地同时出发相向而行。第一次相遇时距甲地100千米，相遇后继续前进，到达对方出发地后立即返回，第二次相遇时距乙地多少千米？ 提升练习 1. 甲、乙两车分别从相距 360 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 50 千米，乙车每小时行 40 千米。几小时后两车相遇？ 2. 兄妹两人同时从家去学校，哥哥每分钟走 80 米，妹妹每分钟走 50 米。如果家到学校的距离是 900 米，哥哥到校后立即原路返回，在返回途中与妹妹相遇。问：从出发到相遇经过了多少分钟？ 3. 甲、乙两车同时从 A 地出发前往 B 地，甲车每小时行 75 千米，乙车每小时行 60 千米。甲车到达 B 地后立即返回，在离 B 地 30 千米处与乙车相遇。求 A、B 两地的距离。 4. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，5 小时相遇。若两车每小时都少行 3 千米，则需要 6 小时才能相遇。求 A、B 两地的距离。 5. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，6 小时相遇。相遇后两车继续前行，甲又用了 4 小时到达 B 地。问：乙从相遇点到 A 地需要几小时？ 6. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。第一次相遇时距 A 地 80 千米，相遇后继续前进，到达对方出发地后立即返回，第二次相遇时距 B 地 50 千米。求 A、B 两地的距离。 7. 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 70 米，丙每分钟走 60 米。甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行。途中甲与乙相遇后，10 分钟又与丙相遇。求东、西两村之间的距离。 8. 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 90 米，乙每分钟走 75 米，丙每分钟走 60 米。甲、乙从 A 地，丙从 B 地同时相向出发。甲与丙相遇后 5 分钟，乙与丙相遇。求 A、B 两地的距离。 9. 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 120 米，乙每分钟走 100 米，丙每分钟走 80 米。甲从 A 村，乙、丙从 B 村同时出发相向而行。途中甲与乙相遇后，8 分钟又与丙相遇。求 A、B 两村的距离。 10. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，3 小时相遇。若两车每小时都多行 4 千米，则需要多少小时才能相遇？（已知 A、B 两地距离为 180 千米） 11. 甲、乙、丙三人同时从学校去体育馆。甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 50 米，丙每分钟走 40 米。甲出发 10 分钟后发现东西忘在学校，立即原速返回。甲取到东西后立即原速去体育馆，在离学校 120 米处追上了丙。问：此时乙距离学校多少米？ 12. 甲、乙、丙三车同时从 A 地出发到 B 地。乙比丙晚出发 6 分钟，但出发后 24 分钟追上丙；甲比乙晚出发 12 分钟，出发后 60 分钟追上乙。若甲出发后追上丙，需要多少分钟？ 13. A、B 两地相距 300 千米，快车从 A 地、慢车从 B 地同时出发相向而行。第一次相遇时距 A 地 180 千米，相遇后继续前进，到达对方出发地后立即返回，第二次相遇时距 A 地多少千米？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 多人多次相遇追及 知识梳理 1.核心基础公式 所有行程问题均围绕基本关系式“路程=速度×时间”展开。针对相遇与追及问题，需熟练掌握以下两条核心公式： (1)相遇问题：路程和=速度和×相遇时间（对象相向而行，共同覆盖一段距离）。 (2)追及问题：路程差=速度差×追及时间（对象同向而行，快者比慢者多走一段距离）。 2.多人问题的处理策略 当出现三个或以上对象时，需通过“化繁为简”的思路，将复杂问题拆解为多个“两人相遇/追及”的环节： (1)分步分析法：抓住题目中的关键事件（如“甲与乙相遇”“甲追上丙”），单独提取涉及的两个对象，利用基础公式列式求解。 (2)画图辅助法：在直线上用不同符号标出各对象的起点、方向及相遇/追及点，直观呈现路程关系，避免逻辑混乱。 3.多次相遇的关键规律（直线两端出发） 当两个对象在两地间不断往返运动时，需掌握路程与相遇次数的关系（设全程为S）： (1)第一次相遇：共走1个全程（S），时间t₁=S÷速度和。 (2)第二次相遇：共走3个全程（3S），时间t₂=3S÷速度和（从出发到第二次相遇的总时间）。 (3)第N次相遇：共走(2N−1)个全程（(2N−1)S），时间tₙ=(2N−1)S÷速度和。 (4)规律本质：除第一次相遇外，后续每两次相遇之间，两个对象共走2个全程（2S）。 4.关键解题技巧 (1)设数法（份数法）：当题目未给出具体路程时，可设全程为速度的最小公倍数或简单整数（如1、100等），将抽象问题具体化。 (2)比例法：当时间一定时，路程比=速度比；当速度一定时，路程比=时间比，通过比例关系简化计算。 例题讲解 【典型例题1】 甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行。途中甲与乙相遇后，6分钟又与丙相遇。求东、西两村之间的距离。 【详解】 设从出发到甲与乙相遇的时间为t分钟，则： 甲与乙相遇时，两人共走全程：全程S=(100+80)×t=180t。 从出发到甲与丙相遇的总时间为(t+6)分钟，此时两人共走全程：S=(100+75)×(t+6)=175(t+6)。 因全程S不变，可列方程：180t=175(t+6)。 1. 解方程求t： 180t=175t+1050 180t−175t=1050 5t=1050 t=210（分钟） 2. 计算全程S：S=180×210=37800（米）。 【答案】 东、西两村之间的距离是37800米。 【跟踪训练1】 甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从B地，乙、丙从A地同时出发相向而行。途中甲与乙相遇后，15分钟又与丙相遇。求A、B两地之间的距离。 【详解】 1. 设甲与乙相遇时间为t分钟，则全程S=(60+50)×t=110t。 2. 甲与丙相遇总时间为(t+15)分钟，全程S=(60+40)×(t+15)=100(t+15)。 3. 列方程：110t=100(t+15) 110t=100t+1500 10t=1500 t=150（分钟） 4. 计算S：S=110×150=16500（米）。 【答案】 A、B两地之间的距离是16500米。 【典型例题2】 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，4小时相遇。若两车每小时都少行1.8千米，则需要6小时才能相遇。求A、B两地的距离。 【分析】 1. 对比两次运动：第一次速度和为V₁，时间t₁=4小时；第二次速度和为V₂=V₁−1.8×2（两车各少1.8），时间t₂=6小时。全程S不变。 2. 列方程：S=V₁×4=（V₁−3.6）×6，解出V₁，再求S。 【详解】 1. 设原速度和为V千米/小时，则： 4V=（V−3.6）×6 4V=6V−21.6 2V=21.6 V=10.8（千米/小时） 2. 计算S：S=10.8×4=43.2（千米）。 【答案】 A、B两地相距43.2千米。 【跟踪训练2】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时相遇。若两人每小时都多行2千米，则只需2小时就能相遇。求A、B两地的距离。 【详解】 1. 设原速度和为V千米/小时，则： 3V=（V+4）×2（速度和共增加2×2=4） 3V=2V+8 V=8（千米/小时） 2. 计算S：S=8×3=24（千米）。 【答案】 A、B两地相距24千米。 【典型例题3】 甲、乙、丙三车同时从A地出发到B地。乙比丙晚出发10分钟，但出发后40分钟追上丙；甲比乙晚出发20分钟，出发后100分钟追上乙。若甲出发后追上丙，需要多少分钟？ 【分析】 1. 分步处理追及关系：题目涉及三组追及——“乙追丙”“甲追乙”“甲追丙”。需先通过“乙追丙”“甲追乙”的条件，求出三人的速度关系（或具体速度），再计算“甲追丙”的时间。 2. 设数简化：可设丙的速度为1单位/分钟，通过追及问题计算乙、甲的速度。 【详解】 1. 设丙的速度为1米/分钟。 2. 计算乙的速度：乙出发时，丙已走10分钟，领先1×10=10米。乙用40分钟追上丙，速度差=10÷40=0.25米/分钟。乙速=1+0.25=1.25米/分钟。 3. 计算甲的速度：甲出发时，乙已走20分钟，领先1.25×20=25米。甲用100分钟追上乙，速度差=25÷100=0.25米/分钟。甲速=1.25+0.25=1.5米/分钟。 4. 计算甲追丙的时间：甲出发时，丙已走10+20=30分钟，领先1×30=30米。速度差=1.5−1=0.5米/分钟。追及时间=30÷0.5=60（分钟）。 【答案】 甲出发后60分钟追上丙。 【跟踪训练3】 A、B、C三车同时从甲地出发去乙地。B车比C车晚出发5分钟，但出发后15分钟追上C车；A车比B车晚出发10分钟，出发后20分钟追上B车。若A车出发后追上C车，需要多少分钟？ 【详解】 1. 设C车速度为1米/分钟。 2. 计算B车速度：B出发时，C领先1×5=5米。B用15分钟追上C，速度差=5÷15=1/3米/分钟。B速=1+1/3=4/3米/分钟。 3. 计算A车速度：A出发时，B已走10分钟，领先(4/3)×10=40/3米。A用20分钟追上B，速度差=(40/3)÷20=2/3米/分钟。A速=4/3+2/3=2米/分钟。 4. 计算A追C的时间：A出发时，C已走5+10=15分钟，领先1×15=15米。速度差=2−1=1米/分钟。追及时间=15÷1=15（分钟）。 【答案】 A车出发后15分钟追上C车。 【典型例题4】 A、B两地相距240千米，客车从A地、货车从B地同时出发相向而行。第一次相遇时距A地90千米，相遇后继续前进，各自到达对方出发地后立即返回，第二次相遇时距B地多少千米？ 【分析】 1. 利用路程比=速度比：第一次相遇时，客车走90千米，货车走240−90=150千米，速度比=90:150=3:5。 2. 计算第二次相遇的总路程：从出发到第二次相遇，两车共走3个全程（3×240=720千米）。 3. 按速度比分配总路程：客车走的总路程=720×3/(3+5)=720×3/8=270千米。 4. 确定客车位置：客车从A出发，到B地（240千米）后返回，270−240=30千米，即距B地30千米。 【答案】 第二次相遇时距B地30千米。 【跟踪训练4】 甲、乙两地相距180千米，快车从甲地、慢车从乙地同时出发相向而行。第一次相遇时距甲地100千米，相遇后继续前进，到达对方出发地后立即返回，第二次相遇时距乙地多少千米？ 【详解】 1. 速度比：快车:慢车=100:(180−100)=100:80=5:4。 2. 到第二次相遇总路程：3×180=540千米。 3. 快车总路程：540×5/(5+4)=540×5/9=300千米。 4. 快车位置：从甲到乙180千米，返回300−180=120千米，即距乙地120千米。 【答案】 第二次相遇时距乙地120千米。 提升练习 1. 甲、乙两车分别从相距 360 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 50 千米，乙车每小时行 40 千米。几小时后两车相遇？ 【详解】 1. 分析：这是标准的相遇问题。路程和等于全程 360 千米。 2. 速度和： (千米/小时)。 3. 相遇时间：时间 = 路程和 ÷ 速度和 = (小时)。 【答案】 4 小时后两车相遇。 2. 兄妹两人同时从家去学校，哥哥每分钟走 80 米，妹妹每分钟走 50 米。如果家到学校的距离是 900 米，哥哥到校后立即原路返回，在返回途中与妹妹相遇。问：从出发到相遇经过了多少分钟？ 【详解】 1. 分析：从出发到相遇，两人合走了 2 个全程（哥哥去学校1个全程，返回时与妹妹相遇合走1个全程）。总路程和 = 米。 2. 速度和： (米/分钟)。 3. 时间： (分钟)。 【答案】 经过了 分钟（约 13分51秒）。 3. 甲、乙两车同时从 A 地出发前往 B 地，甲车每小时行 75 千米，乙车每小时行 60 千米。甲车到达 B 地后立即返回，在离 B 地 30 千米处与乙车相遇。求 A、B 两地的距离。 【详解】 1. 分析：从出发到相遇，两车共走了 2 个全程。相遇时甲比乙多走了 千米（甲到终点又返回30km，乙离终点还差30km）。 2. 速度差： (千米/小时)。 3. 相遇时间： (小时)。 4. 总路程（2个全程）： (千米)。 5. 全程距离： (千米)。 【答案】 A、B 两地相距 270 千米。 4. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，5 小时相遇。若两车每小时都少行 3 千米，则需要 6 小时才能相遇。求 A、B 两地的距离。 【详解】 1. 分析：设原速度和为 。根据路程相等列方程。 2. 列方程： （两车各少3千米，速度和少6千米）。 3. 解方程： (千米/小时)。 4. 计算距离： (千米)。 【答案】 A、B 两地相距 180 千米。 5. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，6 小时相遇。相遇后两车继续前行，甲又用了 4 小时到达 B 地。问：乙从相遇点到 A 地需要几小时？ 【详解】 1. 分析：利用比例法。相遇时，甲走了 6 小时的路程，乙需要走 6 小时。甲走完乙剩下的路程（即乙6小时的路程）用了 4 小时。 2. 速度比：甲速:乙速 = 乙走甲的路程时间 : 甲走乙的路程时间。即 甲速:乙速 = 6 : 4 = 3 : 2。 3. 乙的时间：相遇时甲走了 份路程，这段路程乙需要的时间 = (小时)。 【答案】 乙需要 9 小时。 6. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。第一次相遇时距 A 地 80 千米，相遇后继续前进，到达对方出发地后立即返回，第二次相遇时距 B 地 50 千米。求 A、B 两地的距离。 【详解】 1. 分析：第一次相遇，甲走了 80 千米。到第二次相遇，甲共走了 千米（3倍路程）。 2. 位置关系：甲走的 240 千米 = 1 个全程 + 50 千米（返回段）。 3. 计算全程：全程 = (千米)。 【答案】 A、B 两地相距 190 千米。 7. 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 70 米，丙每分钟走 60 米。甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行。途中甲与乙相遇后，10 分钟又与丙相遇。求东、西两村之间的距离。 【详解】 1. 分析：设甲乙相遇时间为 分钟。 2. 方程： 。 3. 计算： 。 4. 距离： (米)。 【答案】 两地距离是 21000 米（21 千米）。 8. 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 90 米，乙每分钟走 75 米，丙每分钟走 60 米。甲、乙从 A 地，丙从 B 地同时相向出发。甲与丙相遇后 5 分钟，乙与丙相遇。求 A、B 两地的距离。 【详解】 1. 分析：甲丙相遇后，乙丙相距 。这段距离乙丙用了 5 分钟走完。 2. 计算乙丙相遇时间： (米)。这是甲丙相遇时乙落后甲的距离。 3. 甲丙相遇时间： (分钟)。 4. 全程： (米)。 【答案】 A、B 两地相距 6750 米。 9. 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 120 米，乙每分钟走 100 米，丙每分钟走 80 米。甲从 A 村，乙、丙从 B 村同时出发相向而行。途中甲与乙相遇后，8 分钟又与丙相遇。求 A、B 两村的距离。 【详解】 1. 设甲乙相遇时间 。 2. 方程： 。 3. 计算： 。 4. 距离： (米)。 【答案】 A、B 两村距离是 17600 米。 10. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，3 小时相遇。若两车每小时都多行 4 千米，则需要多少小时才能相遇？（已知 A、B 两地距离为 180 千米） 【详解】 1. 原速度和： (千米/小时)。 2. 新速度和： (千米/小时)。 3. 新时间： (小时)。 【答案】 需要 小时（约 2小时39分）。 11. 甲、乙、丙三人同时从学校去体育馆。甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 50 米，丙每分钟走 40 米。甲出发 10 分钟后发现东西忘在学校，立即原速返回。甲取到东西后立即原速去体育馆，在离学校 120 米处追上了丙。问：此时乙距离学校多少米？ 【详解】 1. 分析：甲走了 10 分钟返回，到学校时丙已走 20 分钟（走了 800 米）。甲从学校再次出发追丙。 2. 追及时间： (分钟)。 3. 甲再次出发到追上丙总时间：40 分钟。此时总时间（从最初算起）为 分钟。 4. 乙走的距离： (米)。 【答案】 此时乙距离学校 3000 米。 12. 甲、乙、丙三车同时从 A 地出发到 B 地。乙比丙晚出发 6 分钟，但出发后 24 分钟追上丙；甲比乙晚出发 12 分钟，出发后 60 分钟追上乙。若甲出发后追上丙，需要多少分钟？ 【详解】 1. 设丙速为 1。 2. 乙速：丙先走 6 分钟，乙用 24 分钟追上。速度差 = 。乙速 = 。 3. 甲速：乙先走 12 分钟，领先 。甲用 60 分钟追上。速度差 = 。甲速 = 。 4. 甲追丙：甲出发时，丙已走 分钟，领先 18。速度差 = 。 5. 时间： (分钟)。 【答案】 需要 36 分钟。 13. A、B 两地相距 300 千米，快车从 A 地、慢车从 B 地同时出发相向而行。第一次相遇时距 A 地 180 千米，相遇后继续前进，到达对方出发地后立即返回，第二次相遇时距 A 地多少千米？ 【详解】 1. 速度比：快:慢 = 。 2. 到第二次相遇总路程： 千米。 3. 快车总路程： 千米。 4. 位置：快车从 A 出发，到 B (300km) 返回， 千米。即距 B 地 240 千米，距 A 地 千米。 【答案】 第二次相遇时距 A 地 60 千米。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $