小升初奥数培优讲义专题21 盈亏问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学·通用版

专题21 盈亏问题 知识梳理 1. 什么是盈亏问题？ 把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。 (1)盈：如果物体还有剩余，叫做“盈”。 (2)亏：如果物体不够分，少了，叫做“亏”。 凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。 2. 核心解题思路 解决盈亏问题的关键在于 “比较” 。通过比较两种分配方案，找出总差额（总盈、总亏或盈加亏）与每份差额（两次分配数量的差）之间的对应关系。 3. 基本公式 (1)一盈一亏： (盈数 + 亏数) ÷ 两次每人分配数的差 = 份数（人数/房间数等） (2)双盈（两次都多）： (大盈 - 小盈) ÷ 两次每人分配数的差 = 份数 (3)双亏（两次都少）： (大亏 - 小亏) ÷ 两次每人分配数的差 = 份数 4. 进阶变形 (1)一盈一平：盈数 ÷ 两次分配差 = 份数 (2)一亏一平：亏数 ÷ 两次分配差 = 份数 (3)条件转化：有些题目不会直接给出“多几个”或“少几个”，而是通过“空出几个房间”、“少一辆车”等形式出现，需要先将这些条件转化为具体的“盈”或“亏”的数量。 例题讲解 【典型例题1】（基础型：一盈一亏） 几个小朋友分梨子，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6个。问有多少个小朋友？有多少个梨子？ 【跟踪训练1】 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动。如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖。这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？ 【典型例题2】（双盈型与条件转化） 明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元。那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？ 【跟踪训练2】 幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？ 【典型例题3】（进阶型：条件转化与隐藏盈亏） 人民路小学三、四、五年级的同学乘汽车去春游，如果每车坐45人，有10人不能坐车；如果每车多坐5人，又多出一辆汽车。一共有多少辆汽车？有多少名同学去春游？ 【跟踪训练3】 学校为新生分配宿舍。每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间。问宿舍有多少间？新生有多少人？ 【典型例题4】（倍数关系转化） 果树队上山种果树，所需栽的苹果树苗是梨树苗的2倍。如果梨树苗每人栽3棵，还余下2棵；苹果树苗每人栽7棵，则少6棵。问：果树专业队上山植树的有多少人？要栽多少棵苹果树和梨树？ 【跟踪训练4】 苹果的个数是梨子的2倍，梨子每人分3个，余2个；苹果每人分7个，少6个。那么人数、苹果数和梨数分别是多少？ 提升练习 1. 幼儿园老师给小朋友分饼干，如果每人分5块，还剩下8块；如果每人分7块，则少12块。问有多少个小朋友？有多少块饼干？ 2. 同学们去划船，如果每条船坐4人，则多出5人；如果每条船坐6人，则少7人。问共有多少条船？多少名同学？ 3. 学校买来一批书，如果每人发6本，还多10本；如果每人发8本，则少14本。问有多少个班级？多少本书？ 4. 某班同学去植树，如果每人种4棵，还剩12棵；如果每人种5棵，还剩3棵。问有多少名同学？多少棵树苗？ 5. 少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果每人挖6个树坑，还剩1个树坑。问有多少名少先队员？一共要挖多少个树坑？ 6. 学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。问三好学生有多少人？铅笔有多少支？ 7. 老师把一些练习本发给学生，如果每人发10本，则缺20本；如果每人发8本，则缺2本。问有多少名学生？多少本练习本？ 8. 有一些糖，每人分5块则多10块，如果每人分7块则刚好分完。问有多少人？多少块糖？ 9. 有一些苹果，每人分3个则少2个，如果每人分2个则刚好分完。问有多少人？多少个苹果？ 10. 同学们去划船，如果每条船坐5人，还有3人没有船坐；如果每条船坐6人，刚好坐满。问有多少条船？多少名同学？ 11. 学校分配宿舍，如果每个房间住3人，则多出20人；如果每个房间住5人，则空出4个房间。问宿舍有多少间？新生有多少人？ 12. 人民路小学同学去春游，如果每车坐40人，有15人不能坐车；如果每车多坐5人（即45人），则多出一辆汽车。问一共有多少辆汽车？有多少名同学？ 13. 某校安排新生宿舍，每个房间住4人，则多出20人；如果每个房间住6人，则多出2人。问宿舍有多少间？新生有多少人？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 盈亏问题 知识梳理 1. 什么是盈亏问题？ 把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。 (1)盈：如果物体还有剩余，叫做“盈”。 (2)亏：如果物体不够分，少了，叫做“亏”。 凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。 2. 核心解题思路 解决盈亏问题的关键在于 “比较” 。通过比较两种分配方案，找出总差额（总盈、总亏或盈加亏）与每份差额（两次分配数量的差）之间的对应关系。 3. 基本公式 (1)一盈一亏： (盈数 + 亏数) ÷ 两次每人分配数的差 = 份数（人数/房间数等） (2)双盈（两次都多）： (大盈 - 小盈) ÷ 两次每人分配数的差 = 份数 (3)双亏（两次都少）： (大亏 - 小亏) ÷ 两次每人分配数的差 = 份数 4. 进阶变形 (1)一盈一平：盈数 ÷ 两次分配差 = 份数 (2)一亏一平：亏数 ÷ 两次分配差 = 份数 (3)条件转化：有些题目不会直接给出“多几个”或“少几个”，而是通过“空出几个房间”、“少一辆车”等形式出现，需要先将这些条件转化为具体的“盈”或“亏”的数量。 例题讲解 【典型例题1】（基础型：一盈一亏） 几个小朋友分梨子，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6个。问有多少个小朋友？有多少个梨子？ 【分析】 这是一道标准的一盈一亏问题。 第一次每人分4个，多9个（盈）； 第二次每人分5个，少6个（亏）。 思考：为什么会从“多9个”变成“少6个”？是因为每人多分了（5-4）个。 总共需要的梨子差额是 9 + 6 = 15 个。这15个梨子正好分给了每个小朋友每人1个。 【详解】 小朋友的人数： (9 + 6) ÷ (5 - 4) = 15 ÷ 1 = 15（人） 梨子的数量（代入第一种情况）： 15 × 4 + 9 = 69（个） 或者代入第二种情况验证：15 × 5 - 6 = 69（个） 【答案】 有15个小朋友，有69个梨子。 【跟踪训练1】 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动。如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖。这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？ 【分析】 此题为“一盈一亏”。 方案一：每人4块，盈7块。 方案二：每人5块，亏2块。 总差额为 7 + 2 = 9 块，每人分配差额为 5 - 4 = 1 块。 【详解】 人数：(7 + 2) ÷ (5 - 4) = 9 ÷ 1 = 9（人） 砖数：9 × 4 + 7 = 43（块） 【答案】 这个班少先队有9个人，要搬的砖共有43块。 【典型例题2】（双盈型与条件转化） 明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元。那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？ 【分析】 这是一道“双盈”问题（两次都多出了钱）。 方案一：每人出8元，多8元（大盈）。 方案二：每人出7元，多4元（小盈）。 思考：为什么多出的钱变少了？因为每人少出了（8-7）元。 总差额是 8 - 4 = 4 元。 【详解】 同学人数： (8 - 4) ÷ (8 - 7) = 4 ÷ 1 = 4（人） 蛋糕价钱（代入第一种情况）： 4 × 8 - 8 = 24（元） 或者代入第二种情况验证：4 × 7 - 4 = 24（元） 【答案】 有4个同学去买蛋糕，蛋糕的价钱是24元。 【跟踪训练2】 幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？ 【分析】 这是一道“双亏”问题（两次都不够）。 方案一：每人6块，亏12块（小亏）。 方案二：每人9块，亏24块（大亏）。 总差额是 24 - 12 = 12 块，每人分配差额是 9 - 6 = 3 块。 【详解】 小朋友人数： (24 - 12) ÷ (9 - 6) = 12 ÷ 3 = 4（人） 糖的总数： 4 × 6 - 12 = 12（块） 或者：4 × 9 - 24 = 12（块） 【答案】 总共有12块糖。 【典型例题3】（进阶型：条件转化与隐藏盈亏） 人民路小学三、四、五年级的同学乘汽车去春游，如果每车坐45人，有10人不能坐车；如果每车多坐5人，又多出一辆汽车。一共有多少辆汽车？有多少名同学去春游？ 【分析】 这道题的难点在于第二句话“又多出一辆汽车”。我们需要将其转化为具体的“亏”数。 方案一：每车坐45人，多10人（盈10人）。 方案二：每车坐45+5=50人，“多出一辆汽车”意味着如果按照每车50人坐，最后一辆车是空的。换句话说，现有的人数比“坐满所有车”少了50人（亏50人）。 这就转化为了“一盈一亏”问题。 【详解】 汽车数量： (10 + 50) ÷ (50 - 45) = 60 ÷ 5 = 12（辆） 学生人数（代入第一种情况）： 12 × 45 + 10 = 540 + 10 = 550（人） 【答案】 一共有12辆汽车，有550名同学去春游。 【跟踪训练3】 学校为新生分配宿舍。每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间。问宿舍有多少间？新生有多少人？ 【分析】 同样需要转化条件。 方案一：每间住3人，多23人（盈23人）。 方案二：每间住5人，空出3个房间。这意味着实际入住的房间数比总房间数少3间。如果我们假设所有房间都住满5人，那么还需要补上这3个空房间的人数，即 3 × 5 = 15人。所以这是“亏15人”。 【详解】 宿舍间数： (23 + 15) ÷ (5 - 3) = 38 ÷ 2 = 19（间） 新生人数： 19 × 3 + 23 = 57 + 23 = 80（人） 或者验证方案二：(19 - 3) × 5 = 16 × 5 = 80（人） 【答案】 宿舍有19间，新生有80人。 【典型例题4】（倍数关系转化） 果树队上山种果树，所需栽的苹果树苗是梨树苗的2倍。如果梨树苗每人栽3棵，还余下2棵；苹果树苗每人栽7棵，则少6棵。问：果树专业队上山植树的有多少人？要栽多少棵苹果树和梨树？ 【分析】 这道题涉及两种树苗，且人数相同。为了使用盈亏问题公式，我们需要统一分配的对象。 已知苹果树苗是梨树苗的2倍。 我们可以把“梨树苗”的分配方案转化为“苹果树苗”的方案来进行比较。 原梨树方案：每人栽3棵梨树，余2棵梨树。 转化后的苹果树方案（对应上面）：既然苹果树是梨树的2倍，那么相当于每人栽 3×2=6 棵苹果树，余 2×2=4 棵苹果树。 现在题目变成了关于苹果树的盈亏问题： 方案一（转化后）：每人栽6棵，余4棵（盈4）。 方案二（原题）：每人栽7棵，少6棵（亏6）。 【详解】 人数： (4 + 6) ÷ (7 - 6) = 10 ÷ 1 = 10（人） 梨树苗数量： 10 × 3 + 2 = 32（棵） 苹果树苗数量： 32 × 2 = 64（棵） （或者用苹果树盈亏算：10 × 7 - 6 = 64 棵，结果一致） 【答案】 果树专业队有10人，要栽32棵梨树，64棵苹果树。 【跟踪训练4】 苹果的个数是梨子的2倍，梨子每人分3个，余2个；苹果每人分7个，少6个。那么人数、苹果数和梨数分别是多少？ 【分析】 利用倍数关系统一对象。将梨子的分配情况转化为苹果的分配情况。 梨子：每人3个，余2个。 转化为苹果（×2）：每人6个，余4个。 苹果原题：每人7个，少6个。 构成一盈一亏：盈4，亏6，分配差 7-6=1。 【详解】 人数：(4 + 6) ÷ (7 - 6) = 10（人） 梨子数：10 × 3 + 2 = 32（个） 苹果数：32 × 2 = 64（个） 【答案】 人数是10人，苹果数是64个，梨数是32个。 提升练习 1. 幼儿园老师给小朋友分饼干，如果每人分5块，还剩下8块；如果每人分7块，则少12块。问有多少个小朋友？有多少块饼干？ 【详解】 这是一道标准的一盈一亏问题。 盈数：8块 亏数：12块 每人分配差：7 - 5 = 2块 小朋友人数：(8 + 12) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10（人） 饼干总数：10 × 5 + 8 = 50 + 8 = 58（块） 【答案】 有10个小朋友，有58块饼干。 2. 同学们去划船，如果每条船坐4人，则多出5人；如果每条船坐6人，则少7人。问共有多少条船？多少名同学？ 【详解】 盈数：5人 亏数：7人 每船分配差：6 - 4 = 2人 船的数量：(5 + 7) ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6（条） 同学人数：6 × 4 + 5 = 24 + 5 = 29（人） 【答案】 共有6条船，29名同学。 3. 学校买来一批书，如果每人发6本，还多10本；如果每人发8本，则少14本。问有多少个班级？多少本书？ 【详解】 盈数：10本 亏数：14本 分配差：8 - 6 = 2本 班级数：(10 + 14) ÷ 2 = 24 ÷ 2 = 12（个） 书总数：12 × 6 + 10 = 72 + 10 = 82（本） 【答案】 有12个班级，82本书。 4. 某班同学去植树，如果每人种4棵，还剩12棵；如果每人种5棵，还剩3棵。问有多少名同学？多少棵树苗？ 【详解】 这是一道双盈问题。 大盈：12棵 小盈：3棵 每人分配差：5 - 4 = 1棵 同学人数：(12 - 3) ÷ 1 = 9 ÷ 1 = 9（人） 树苗总数：9 × 4 + 12 = 36 + 12 = 48（棵） 【答案】 有9名同学，48棵树苗。 5. 少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果每人挖6个树坑，还剩1个树坑。问有多少名少先队员？一共要挖多少个树坑？ 【详解】 大盈：3个 小盈：1个 分配差：6 - 5 = 1个 人数：(3 - 1) ÷ 1 = 2 ÷ 1 = 2（人） 树坑总数：2 × 5 + 3 = 10 + 3 = 13（个） 【答案】 有2名少先队员，一共要挖13个树坑。 6. 学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。问三好学生有多少人？铅笔有多少支？ 【详解】 这是一道双亏问题。 大亏：45支 小亏：7支 每人分配差：9 - 7 = 2支 三好学生人数：(45 - 7) ÷ 2 = 38 ÷ 2 = 19（人） 铅笔总数：19 × 9 - 45 = 171 - 45 = 126（支） 【答案】 三好学生有19人，铅笔有126支。 7. 老师把一些练习本发给学生，如果每人发10本，则缺20本；如果每人发8本，则缺2本。问有多少名学生？多少本练习本？ 【详解】 大亏：20本 小亏：2本 分配差：10 - 8 = 2本 学生人数：(20 - 2) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9（人） 练习本总数：9 × 10 - 20 = 90 - 20 = 70（本） 【答案】 有9名学生，70本练习本。 8. 有一些糖，每人分5块则多10块，如果每人分7块则刚好分完。问有多少人？多少块糖？ 【详解】 这是一道“一盈一平”问题。 盈数：10块 平：0 分配差：7 - 5 = 2块 人数：10 ÷ 2 = 5（人） 糖数：5 × 5 + 10 = 25 + 10 = 35（块） 【答案】 有5人，35块糖。 9. 有一些苹果，每人分3个则少2个，如果每人分2个则刚好分完。问有多少人？多少个苹果？ 【详解】 这是一道“一亏一平”问题。 亏数：2个 平：0 分配差：3 - 2 = 1个 人数：2 ÷ 1 = 2（人） 苹果数：2 × 2 = 4（个） 【答案】 有2人，4个苹果。 10. 同学们去划船，如果每条船坐5人，还有3人没有船坐；如果每条船坐6人，刚好坐满。问有多少条船？多少名同学？ 【详解】 盈数：3人 平：0 分配差：6 - 5 = 1人 船数：3 ÷ 1 = 3（条） 同学数：3 × 5 + 3 = 15 + 3 = 18（人） 【答案】 有3条船，18名同学。 11. 学校分配宿舍，如果每个房间住3人，则多出20人；如果每个房间住5人，则空出4个房间。问宿舍有多少间？新生有多少人？ 【详解】 难点在于将“空出4个房间”转化为“亏”。 方案一：盈20人。 方案二：空4间房，即亏 4 × 5 = 20人。 总差额：20 + 20 = 40人 分配差：5 - 3 = 2人 房间数：40 ÷ 2 = 20（间） 人数：20 × 3 + 20 = 60 + 20 = 80（人） 【答案】 宿舍有20间，新生有80人。 12. 人民路小学同学去春游，如果每车坐40人，有15人不能坐车；如果每车多坐5人（即45人），则多出一辆汽车。问一共有多少辆汽车？有多少名同学？ 【详解】 方案一：盈15人。 方案二：多出一辆车，即亏45人（因为多出的这辆车是空的，说明人不够坐满）。 总差额：15 + 45 = 60人 分配差：45 - 40 = 5人 汽车数：60 ÷ 5 = 12（辆） 同学数：12 × 40 + 15 = 480 + 15 = 495（人） 【答案】 一共有12辆汽车，495名同学。 13. 某校安排新生宿舍，每个房间住4人，则多出20人；如果每个房间住6人，则多出2人。问宿舍有多少间？新生有多少人？ 【详解】 这是一道“双盈”问题（多出的人即为盈）。 大盈：20人 小盈：2人 分配差：6 - 4 = 2人 房间数：(20 - 2) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9（间） 新生人数：9 × 4 + 20 = 36 + 20 = 56（人） 【答案】 宿舍有9间，新生有56人。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $