小升初奥数培优讲义专题16 环形跑道的行程问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学·通用版

专题16 环形跑道的行程问题 知识梳理 环形跑道问题本质上是相遇问题与追及问题在封闭曲线上的特殊应用。由于跑道首尾相连，路程差或路程和往往包含整数圈的长度。 1.基本公式回顾 相遇问题：两人（或物体）从同一地点或不同地点出发，相向而行。 相遇路程和 = 速度和 × 相遇时间 追及问题：两人（或物体）从同一地点或不同地点出发，同向而行。 追及路程差 = 速度差 × 追及时间 2.环形跑道的特殊性 同时同地出发 相向而行（相遇）：第一次相遇时，两人的路程和 = 1 圈长度。之后每多相遇一次，路程和增加 1 圈。 同向而行（追及）：第一次追上时，速度快的比速度慢的多跑 1 圈（路程差 = 1 圈）。之后每多追上一次，路程差增加 1 圈。 同时异地出发（相距一段弧长） 相向而行：第一次相遇时，路程和 = 初始相距的弧长（不一定是一整圈，但若求在原点相遇则需考虑整圈）。 同向而行：第一次追及，路程差 = 初始相距的弧长（若快者在后）。 3.核心技巧 比例法：在相同时间内，路程比 = 速度比。这在求解相遇点位置时非常高效。 份数法：设一圈的长度为速度和或速度差的最小公倍数，或者设为 1 份，利用份数关系解题。 多次相遇/追及：第 次相遇（相向），总路程和 = 圈长；第 次追上（同向），总路程差 = 圈长。 例题讲解 【典型例题1】（同地同向追及） 甲、乙两人在周长为 400 米的环形跑道上赛跑，甲的速度是每秒 6 米，乙的速度是每秒 4 米。 （1）若两人同时同地出发，同向而跑，多少秒后甲第一次追上乙？ （2）若两人同时同地出发，背向而跑，多少秒后两人第一次相遇？ 【分析】 （1）追及问题：甲要追上乙，必须比乙多跑整整一圈（400米）。 （2）相遇问题：两人背向而行，合起来跑完一圈（400米）即相遇。 【详解】 （1）追及时间：路程差 ÷ 速度差 = （秒）。 （2）相遇时间：路程和 ÷ 速度和 = （秒）。 【答案】 （1）200秒后甲第一次追上乙。 （2）40秒后两人第一次相遇。 【跟踪训练1】 小张和小李在周长为 300 米的环形跑道上散步，小张每分钟走 60 米，小李每分钟走 40 米。两人从同一地点同时出发，同向而行，经过多少分钟小张第二次追上小李？ 【分析】 第二次追上意味着小张比小李多跑了 2 圈（ 米）。 【详解】 速度差： （米/分）。 路程差（2圈）： （米）。 时间： （分钟）。 【答案】 经过 30 分钟小张第二次追上小李。 【典型例题2】（同地出发，多次相遇与位置） 甲、乙两人在周长为 200 米的圆形跑道上跑步，甲的速度是 5 米/秒，乙的速度是 3 米/秒。两人从同一点同时出发，背向而行。 （1）出发后第几分钟两人第 4 次相遇？ （2）第 4 次相遇时，甲一共跑了多少米？ 【分析】 （1） 第 4 次相遇，意味着两人跑的总路程之和为 4 个跑道周长（ 米）。先算出相遇一次的时间，再乘以 4；或者直接用总路程和除以速度和。 （2） 算出第 4 次相遇时的总时间，再乘以甲的速度。 【详解】 （1） 速度和： （米/秒）。 总路程和（4次）： （米）。 时间： （秒）= 分钟（即 1 分 40 秒）。 （2） 甲跑的路程： （米）。 【答案】 （1）出发后 100 秒（1分40秒）两人第 4 次相遇。 （2）第 4 次相遇时，甲跑了 500 米。 【跟踪训练2】 甲、乙两人在 400 米的环形跑道上跑步，甲每分钟跑 120 米，乙每分钟跑 80 米，两人从同地同时同向出发。问：甲第 3 次追上乙时，甲跑了多少米？ 【分析】 第 3 次追上，甲比乙多跑 3 圈（1200 米）。设时间为 ，则 。 【详解】 速度差： （米/分）。 路程差（3圈）： （米）。 时间： （分钟）。 甲跑的路程： （米）。 【答案】 甲跑了 3600 米。 【典型例题3】（异地出发，结合比例求解） 甲、乙两人在圆形跑道上训练，他们同时从同一地点出发，反向而行，5 分钟后相遇。已知甲跑一圈要 8 分钟，问乙跑一圈要几分钟？ 【分析】 方法一（份数法）：设一圈路程为 1。甲的速度为 。相遇时，两人路程和为 1，时间为 5 分钟。根据“路程和 = 速度和 × 时间”，可求出速度和，进而求出乙的速度，最后求乙的时间。 方法二（比例法）：5 分钟内甲跑了 圈，则乙跑了 圈。乙跑 圈用了 5 分钟，跑 1 圈用时为 。 【详解】 方法一： 速度和： 。 乙的速度： 。 乙的时间： （分钟）。 方法二： 甲 5 分钟跑的路程： 。 乙 5 分钟跑的路程： 。 乙跑一圈时间： （分钟）。 【答案】 乙跑一圈要 分钟（即 13分20秒）。 【跟踪训练3】 环形场地的周长为 1800 米，甲、乙两人同时从同地出发练习跑步（甲快乙慢），如果反向而行，30 分钟后相遇；如果同向而行，150 分钟后甲第一次追上乙。求甲、乙两人的速度各是多少？ 【分析】 反向：速度和 × 30 = 1800。 同向：速度差 × 150 = 1800。 联立这两个方程，解出速度和与速度差，利用和差问题公式求出各自速度。 【详解】 速度和： （米/分）。 速度差： （米/分）。 甲的速度（大数）： （米/分）。 乙的速度（小数）： （米/分）。 【答案】 甲的速度是 36 米/分，乙的速度是 24 米/分。 【典型例题4】（环形跑道上的多次相遇与位置判断） 甲、乙两人在周长为 400 米的环形跑道上练习长跑，甲每分钟跑 120 米，乙每分钟跑 80 米。两人从同一起点同时同地出发，同向而行。问：第几次追及时，追及点正好是原来的出发点？ 【分析】 思路：追及点在出发点，意味着甲跑的路程必须是 400 米的整数倍（即甲跑了整数圈）。 步骤： 先求追及一次的时间： （分）。 在 10 分钟内，甲跑了 米（即 3 圈）。 这说明每追上 1 次，甲跑 3 圈，正好回到起点。 结论：每一次追及都在起点。（若计算结果不是整数，则需找最小公倍数，例如若甲每次追及跑1.5圈，则第2次追及（跑3圈）才会回起点）。 【详解】 追及一次时间： （分）。 甲在 10 分钟跑的路程： （米）。 1200 米包含的圈数： （圈），正好是整数。 【答案】 第 1 次追及时，追及点就是原来的出发点（实际上每次追及都在出发点）。 【跟踪训练4】 甲、乙两人在圆形水池边散步，甲走一圈要 12 分钟，乙走一圈要 15 分钟。 （1）如果两人同时同地出发，背向而行，几分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而行，甲多少分钟后第一次追上乙？ 【分析】 （1）相遇：路程和（1圈）÷ 速度和。 （2）追及：路程差（1圈）÷ 速度差。 技巧：设一圈路程为 12 和 15 的最小公倍数 60 份，简化计算。 【详解】 设一圈为 60 份： 甲速度： （份/分）。 乙速度： （份/分）。 （1）相遇时间： （分钟）。 （2）追及时间： （分钟）。 【答案】 （1） 分钟（6分40秒）后相遇。 （2）60 分钟后甲第一次追上乙。 提升练习 1. 甲、乙两人在周长为 300 米的环形跑道上跑步，甲每秒跑 7 米，乙每秒跑 5 米。若两人同时同地出发，背向而行，多少秒后两人第一次相遇？ 【详解】 1. 分析类型：背向而行属于相遇问题。 2. 确定路程和：第一次相遇，两人合跑的路程和正好是 1 圈，即 300 米。 3. 计算速度和： (米/秒)。 4. 计算时间：时间 = 路程和 ÷ 速度和 = (秒)。 5.【答案】 25 秒后两人第一次相遇。 2. 在一个周长为 500 米的圆形水池周围，小明和小红同时从同一点出发，同向而行。小明每分钟走 80 米，小红每分钟走 70 米。小明多少分钟后第一次追上小红？ 【详解】 1. 分析类型：同向而行属于追及问题。 2. 确定路程差：第一次追上，速度快的比慢的多跑 1 圈，即 500 米。 3. 计算速度差： (米/分)。 4. 计算时间：时间 = 路程差 ÷ 速度差 = (分钟)。 【答案】 50 分钟后小明第一次追上小红。 3. 甲、乙两人在 400 米的环形跑道上赛跑，甲每分钟跑 150 米，乙每分钟跑 130 米。两人从同一地点同时同向出发。问：经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【详解】 1. 速度差： (米/分)。 2. 路程差：1 圈 = 400 米。 3. 时间： (分钟)。 【答案】 经过 20 分钟甲第一次追上乙。 4. 一个圆形人工湖的周长是 600 米，小张和小王两人同时从同一点反向绕湖边行走。小张每分钟走 70 米，小王每分钟走 50 米。问：多少分钟后两人第二次相遇？ 【详解】 1. 速度和： (米/分)。 2. 路程和（第2次相遇）：相遇 2 次，两人合跑 2 圈。 (米)。 3. 时间： (分钟)。 【答案】 10 分钟后两人第二次相遇。 5. 甲、乙两人在周长为 200 米的圆形跑道上练习跑步。甲跑一圈需要 4 分钟，乙跑一圈需要 5 分钟。两人同时同地同向出发，多少分钟后甲第一次追上乙？ 【详解】 1. 计算速度： 甲速： (米/分)。 乙速： (米/分)。 2. 速度差： (米/分)。 3. 追及时间： (分钟)。 【答案】 20 分钟后甲第一次追上乙。 6. 小明和小华在周长为 360 米的环形跑道上散步。小明走一圈需要 18 分钟，小华走一圈需要 12 分钟。两人同时同地背向而行，几分钟后两人第一次相遇？ 【详解】 1. 计算速度： 小明速度： (米/分)。 小华速度： (米/分)。 2. 速度和： (米/分)。 3. 相遇时间： (分钟)。或者写成分数 分钟。 【答案】 7.2 分钟（或 7分12秒）后两人第一次相遇。 7. 甲、乙两人在 400 米的环形跑道上跑步，甲每分钟跑 200 米，乙每分钟跑 160 米。两人从同一地点同时同向出发。问：甲第 5 次追上乙时，乙跑了多少米？ 【详解】 1. 速度差： (米/分)。 2. 路程差（第5次追上）：追上 5 次，甲比乙多跑 5 圈。 (米)。 3. 时间： (分钟)。 4. 乙跑的路程： (米)。 【答案】 乙跑了 8000 米。 8. 甲、乙两人在周长为 300 米的圆形跑道上赛跑，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。两人同时同地背向出发。问：第 3 次相遇时，甲一共跑了多少米？ 【详解】 1. 速度和： (米/秒)。 2. 路程和（第3次）： (米)。 3. 时间： (秒)。 4. 甲跑的路程： (米)。 【答案】 甲一共跑了 540 米。 9. 甲、乙两人在周长为 240 米的环形跑道上练习长跑。甲跑一圈要 10 分钟，乙跑一圈要 12 分钟。两人从同一点同时同向出发。问：甲第 2 次追上乙时，甲跑了多少米？ 【详解】 1. 计算速度： 甲速： (米/分)。 乙速： (米/分)。 2. 速度差： (米/分)。 3. 路程差（第2次）： (米)。 4. 时间： (分钟)。 5. 甲跑的路程： (米)。 【答案】 甲跑了 2880 米。 10. 甲、乙两人在周长为 500 米的环形跑道上跑步，甲每分钟跑 150 米，乙每分钟跑 100 米。两人从同一地点同时出发，同向而行。问：第几次追上时，追及点正好回到出发点？ 【详解】 1. 追及一次的时间： (分钟)。 2. 甲在 10 分钟跑的路程： (米)。 3. 甲跑的圈数： (圈)。 4. 结论：因为 3 是整数，说明每追上 1 次，甲正好跑回出发点。所以第 1 次追上时就在出发点。 【答案】 第 1 次追上时。 11. 甲、乙两人在 400 米的环形跑道上练习竞走，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米。两人同时同地同向出发。问：当甲第 4 次追上乙时，乙走了多少圈？ 【详解】 1. 速度差： (米/分)。 2. 路程差（第4次）： (米)。 3. 时间： (分钟)。 4. 乙走的路程： (米)。 5. 乙走的圈数： (圈)。 【答案】 乙走了 16 圈。 12. 甲、乙两人在周长为 600 米的圆形广场散步，甲每分钟走 75 米，乙每分钟走 60 米。两人从同一地点同时出发，背向而行。问：第 5 次相遇时，两人共走了多少米？ 【详解】 1. 第 5 次相遇的总路程：相遇 5 次，两人合跑 5 圈。 2. 总路程： (米)。 【答案】 两人共走了 3000 米。 13. 甲、乙两人在圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而行，6 分钟后相遇。已知甲跑一圈要 10 分钟，问乙跑一圈要几分钟？ 【详解】 1. 方法（份数法）：设一圈路程为 10 和 6 的最小公倍数 30 份（方便计算）。 2. 甲的速度： (份/分)。 3. 速度和： (份/分)。 4. 乙的速度： (份/分)。 5. 乙的时间： (分钟)。 【答案】 乙跑一圈要 15 分钟。 14. 环形场地的周长为 1200 米，甲、乙两人同时从同地出发练习跑步。如果反向而行，4 分钟后相遇；如果同向而行，20 分钟后甲第一次追上乙。求甲、乙两人的速度各是多少？ 【详解】 1. 根据反向求速度和： (米/分)。 2. 根据同向求速度差： (米/分)。 3. 求甲速（大数）： (米/分)。 4. 求乙速（小数）： (米/分)。 【答案】 甲的速度是 180 米/分，乙的速度是 120 米/分。 15. 甲、乙两人在周长为 480 米的环形跑道上跑步。甲跑一圈要 16 分钟，乙跑一圈要 12 分钟。两人同时同地同向出发，问：多少分钟后乙第一次追上甲？ 【详解】 1. 计算速度： 甲速： (米/分)。 乙速： (米/分)。 2. 速度差： (米/分)。 3. 追及时间： (分钟)。 【答案】 48 分钟后乙第一次追上甲。 16. 甲、乙两人在圆形跑道上跑步，甲跑一圈要 8 分钟。现在两人同时同地出发，同向而行，12 分钟后甲第一次追上乙。问：乙跑一圈要几分钟？ 【详解】 1. 分析：12 分钟甲追上乙，说明甲比乙多跑 1 圈。 2. 甲 12 分钟跑的圈数： (圈)。 3. 乙 12 分钟跑的圈数：因为甲比乙多跑 1 圈，所以乙跑了 (圈)。 4. 乙跑一圈的时间： (分钟)。 【答案】 乙跑一圈要 24 分钟。 17. 甲、乙两人在周长为 360 米的环形跑道上练习竞走，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 45 米。两人同时同地背向出发。问：第几次相遇时，甲正好回到出发点？ 【详解】 1. 相遇一次的时间： (分钟)。 2. 甲走一圈的时间： (分钟)。 3. 思路：需要找到一个时间 ，它既是相遇时间的倍数，又是甲跑一圈时间的倍数（即找最小公倍数）。 4. 计算： 甲走一圈需 6 分钟。 每次相遇需 分钟。 设第 次相遇时甲回到原点： (即刚好是甲走一圈的时间)。 解得 (不是整数，说明一圈不行)。 5. 找最小公倍数（分数形式）： 相遇周期： ，甲周期： 。 24 和 42 的最小公倍数是 168。 (分钟)。 6. 相遇次数： (次)。 【答案】 第 7 次相遇时。 18. 甲、乙两人在周长为 200 米的圆形跑道上练习跑步。甲每分钟跑 100 米，乙每分钟跑 60 米。两人同时同地同向出发。问：第几次追上时，追及点正好是原来的出发点？ 【详解】 1. 追及一次的时间： (分钟)。 2. 甲在 5 分钟跑的路程： (米)。 3. 甲跑的圈数： (圈)。 4. 分析：每追上 1 次，甲跑 2.5 圈。要回到出发点，甲跑的总圈数必须是整数。 5. 计算： (圈，整数)。所以需要追上 2 次。 【答案】 第 2 次追上时。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 环形跑道的行程问题 知识梳理 环形跑道问题本质上是相遇问题与追及问题在封闭曲线上的特殊应用。由于跑道首尾相连，路程差或路程和往往包含整数圈的长度。 1.基本公式回顾 相遇问题：两人（或物体）从同一地点或不同地点出发，相向而行。 相遇路程和 = 速度和 × 相遇时间 追及问题：两人（或物体）从同一地点或不同地点出发，同向而行。 追及路程差 = 速度差 × 追及时间 2.环形跑道的特殊性 同时同地出发 相向而行（相遇）：第一次相遇时，两人的路程和 = 1 圈长度。之后每多相遇一次，路程和增加 1 圈。 同向而行（追及）：第一次追上时，速度快的比速度慢的多跑 1 圈（路程差 = 1 圈）。之后每多追上一次，路程差增加 1 圈。 同时异地出发（相距一段弧长） 相向而行：第一次相遇时，路程和 = 初始相距的弧长（不一定是一整圈，但若求在原点相遇则需考虑整圈）。 同向而行：第一次追及，路程差 = 初始相距的弧长（若快者在后）。 3.核心技巧 比例法：在相同时间内，路程比 = 速度比。这在求解相遇点位置时非常高效。 份数法：设一圈的长度为速度和或速度差的最小公倍数，或者设为 1 份，利用份数关系解题。 多次相遇/追及：第 次相遇（相向），总路程和 = 圈长；第 次追上（同向），总路程差 = 圈长。 例题讲解 【典型例题1】（同地同向追及） 甲、乙两人在周长为 400 米的环形跑道上赛跑，甲的速度是每秒 6 米，乙的速度是每秒 4 米。 （1）若两人同时同地出发，同向而跑，多少秒后甲第一次追上乙？ （2）若两人同时同地出发，背向而跑，多少秒后两人第一次相遇？ 【跟踪训练1】 小张和小李在周长为 300 米的环形跑道上散步，小张每分钟走 60 米，小李每分钟走 40 米。两人从同一地点同时出发，同向而行，经过多少分钟小张第二次追上小李？ 【典型例题2】（同地出发，多次相遇与位置） 甲、乙两人在周长为 200 米的圆形跑道上跑步，甲的速度是 5 米/秒，乙的速度是 3 米/秒。两人从同一点同时出发，背向而行。 （1）出发后第几分钟两人第 4 次相遇？ （2）第 4 次相遇时，甲一共跑了多少米？ 【跟踪训练2】 甲、乙两人在 400 米的环形跑道上跑步，甲每分钟跑 120 米，乙每分钟跑 80 米，两人从同地同时同向出发。问：甲第 3 次追上乙时，甲跑了多少米？ 【典型例题3】（异地出发，结合比例求解） 甲、乙两人在圆形跑道上训练，他们同时从同一地点出发，反向而行，5 分钟后相遇。已知甲跑一圈要 8 分钟，问乙跑一圈要几分钟？ 【跟踪训练3】 环形场地的周长为 1800 米，甲、乙两人同时从同地出发练习跑步（甲快乙慢），如果反向而行，30 分钟后相遇；如果同向而行，150 分钟后甲第一次追上乙。求甲、乙两人的速度各是多少？ 【典型例题4】（环形跑道上的多次相遇与位置判断） 甲、乙两人在周长为 400 米的环形跑道上练习长跑，甲每分钟跑 120 米，乙每分钟跑 80 米。两人从同一起点同时同地出发，同向而行。问：第几次追及时，追及点正好是原来的出发点？ 【跟踪训练4】 甲、乙两人在圆形水池边散步，甲走一圈要 12 分钟，乙走一圈要 15 分钟。 （1）如果两人同时同地出发，背向而行，几分钟后相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同向而行，甲多少分钟后第一次追上乙？ 提升练习 1. 甲、乙两人在周长为 300 米的环形跑道上跑步，甲每秒跑 7 米，乙每秒跑 5 米。若两人同时同地出发，背向而行，多少秒后两人第一次相遇？ 2. 在一个周长为 500 米的圆形水池周围，小明和小红同时从同一点出发，同向而行。小明每分钟走 80 米，小红每分钟走 70 米。小明多少分钟后第一次追上小红？ 3. 甲、乙两人在 400 米的环形跑道上赛跑，甲每分钟跑 150 米，乙每分钟跑 130 米。两人从同一地点同时同向出发。问：经过多少分钟甲第一次追上乙？ 4. 一个圆形人工湖的周长是 600 米，小张和小王两人同时从同一点反向绕湖边行走。小张每分钟走 70 米，小王每分钟走 50 米。问：多少分钟后两人第二次相遇？ 5. 甲、乙两人在周长为 200 米的圆形跑道上练习跑步。甲跑一圈需要 4 分钟，乙跑一圈需要 5 分钟。两人同时同地同向出发，多少分钟后甲第一次追上乙？ 6. 小明和小华在周长为 360 米的环形跑道上散步。小明走一圈需要 18 分钟，小华走一圈需要 12 分钟。两人同时同地背向而行，几分钟后两人第一次相遇？ 7. 甲、乙两人在 400 米的环形跑道上跑步，甲每分钟跑 200 米，乙每分钟跑 160 米。两人从同一地点同时同向出发。问：甲第 5 次追上乙时，乙跑了多少米？ 8. 甲、乙两人在周长为 300 米的圆形跑道上赛跑，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。两人同时同地背向出发。问：第 3 次相遇时，甲一共跑了多少米？ 9. 甲、乙两人在周长为 240 米的环形跑道上练习长跑。甲跑一圈要 10 分钟，乙跑一圈要 12 分钟。两人从同一点同时同向出发。问：甲第 2 次追上乙时，甲跑了多少米？ 10. 甲、乙两人在周长为 500 米的环形跑道上跑步，甲每分钟跑 150 米，乙每分钟跑 100 米。两人从同一地点同时出发，同向而行。问：第几次追上时，追及点正好回到出发点？ 11. 甲、乙两人在 400 米的环形跑道上练习竞走，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米。两人同时同地同向出发。问：当甲第 4 次追上乙时，乙走了多少圈？ 12. 甲、乙两人在周长为 600 米的圆形广场散步，甲每分钟走 75 米，乙每分钟走 60 米。两人从同一地点同时出发，背向而行。问：第 5 次相遇时，两人共走了多少米？ 13. 甲、乙两人在圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而行，6 分钟后相遇。已知甲跑一圈要 10 分钟，问乙跑一圈要几分钟？ 14. 环形场地的周长为 1200 米，甲、乙两人同时从同地出发练习跑步。如果反向而行，4 分钟后相遇；如果同向而行，20 分钟后甲第一次追上乙。求甲、乙两人的速度各是多少？ 15. 甲、乙两人在周长为 480 米的环形跑道上跑步。甲跑一圈要 16 分钟，乙跑一圈要 12 分钟。两人同时同地同向出发，问：多少分钟后乙第一次追上甲？ 16. 甲、乙两人在圆形跑道上跑步，甲跑一圈要 8 分钟。现在两人同时同地出发，同向而行，12 分钟后甲第一次追上乙。问：乙跑一圈要几分钟？ 17. 甲、乙两人在周长为 360 米的环形跑道上练习竞走，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 45 米。两人同时同地背向出发。问：第几次相遇时，甲正好回到出发点？ 18. 甲、乙两人在周长为 200 米的圆形跑道上练习跑步。甲每分钟跑 100 米，乙每分钟跑 60 米。两人同时同地同向出发。问：第几次追上时，追及点正好是原来的出发点？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $