小升初奥数培优讲义专题14 火车过桥与错车问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学·通用版

专题14 火车过桥与错车问题 知识梳理 1.火车过桥问题 基本概念：火车过桥是指从车头接触桥面开始，到车尾离开桥面结束。在此过程中，火车头所行驶的路程等于桥长与车长之和。 核心公式：过桥时间=（桥长+车长）÷车速；车速=（桥长+车长）÷过桥时间；桥长+车长=车速×过桥时间 特殊情况——火车完全在桥上：指从车尾上桥到车头开始下桥的时间段。此时火车行驶的路程为桥长与车长之差（即路程=桥长-车长）。 2.火车与人错身问题 与人相遇（相向）：将人视为一个点，两者路程和为火车车身长度。公式：错身时间=车长÷（车速+人速）。 追及人（同向）：两者路程差为火车车身长度。公式：追及时间=车长÷（车速-人速）。 3.火车与火车错车问题 相向错车（相遇）：两列火车从车头相遇到车尾完全分开，两者路程和为两车车身长度之和。公式：错车时间=（快车长+慢车长）÷（快车速+慢车速）。 同向超车（追及）：快车从追上慢车到完全超过，两者路程差为两车车身长度之和。公式：超车时间=（快车长+慢车长）÷（快车速-慢车速）。 4.解题策略 画图辅助：在分析复杂问题时，画出车头、车尾的起止位置，能直观地看出路程与长度的关系。 转化思维：对于火车与火车上的乘客错身，可将乘客视为具有所在火车速度的动点，其相对路程仍为对面火车的长度。 例题讲解 【典型例题1】 一列火车全长265米，每秒行驶25米，全车要通过一座985米长的大桥，需要多少秒钟？ 【跟踪训练1】 一列火车长200米，以每秒25米的速度驶过一座大桥，从车头上桥到车尾离桥，一共用了1分钟。求大桥的桥长是多少米？ 【典型例题2】 一列长180米的火车，以每秒25米的速度通过一条山洞，从车头进入山洞到车尾离开山洞共用时20秒。求山洞的长度。 【跟踪训练2】 一列火车开过一座长1200米的大桥，需要75秒钟，而火车开过路旁的电线杆只需15秒钟（即通过自身长度所需时间）。求火车的长度是多少米？ 【典型例题3】 有甲、乙两列火车，甲车长96米，每秒钟行驶26米，乙车长104米，每秒钟行驶24米。两车相向而行，从车头相遇到车尾分开，需要多少秒钟？ 【跟踪训练3】 快车车长190米，速度为每秒19米；慢车车长250米，速度为每秒15米。若两车同向齐头并进，快车超过慢车（从车头对齐到车尾分离）需要多少时间？ 提升练习 1. 一列火车长 300 米，每秒行驶 20 米，全车通过一座长 900 米的大桥，需要多少秒？ 2. 一列火车长 150 米，以每秒 25 米的速度通过一个山洞，从车头进洞到车尾出洞共用了 18 秒。求山洞的长度。 3. 一列火车通过 480 米的大桥需要 40 秒，通过 360 米的隧道需要 32 秒。求火车的长度和速度。 4. 一列火车长 180 米，每秒行 24 米。一个人在铁路旁边的小路上跑步，火车与人相向而行，从相遇到离开，火车经过这个人用了 5 秒钟。问这个人的速度是多少？ 5. 一列长 200 米的火车，以每秒 28 米的速度追上并完全超过一名骑自行车的人，共用了 25 秒。求自行车的速度。 6. 小明坐在一列长 150 米的火车上，以每秒 15 米的速度行驶。迎面开来一列货车，货车长 170 米，速度是每秒 11 米。请问两列火车从车头相遇到车尾完全离开需要多少秒？ 7. 有两列火车，客车长 220 米，每秒行 20 米；货车长 300 米，每秒行 16 米。两车同向行驶，从客车车头与货车车尾平齐（追上）开始，到客车车尾与货车车头平齐（完全超过）为止，共需要多少秒？ 8. 两列火车在双轨铁道上相向而行，一列火车长 168 米，每秒行 19 米；另一列火车长 184 米，每秒行 17 米。两车从车头相遇到车尾分开，共需多少秒？ 9. 快车长 180 米，每秒行 25 米；慢车长 270 米，每秒行 15 米。两车相向而行，错车而过时，坐在快车上的人看见慢车驶过窗口的时间是多少秒？ 10. 一列火车通过 530 米的桥需要 40 秒，以同样的速度通过 380 米的山洞需要 30 秒。求这列火车的速度及车长。 11. 一列火车通过一座长 700 米的大桥用了 2 分钟（120 秒）。已知这列火车每秒行 15 米，问这列火车有多长？ 12. 铁路桥长 1080 米，一列火车从车头上桥到车尾离桥共用了 100 秒钟。整列火车完全在桥上的时间是 80 秒钟。求这列火车的长度和速度。 13. 一列慢车车身长 120 米，车速是每秒 15 米；一列快车车身长 168 米，车速是每秒 20 米。慢车在前面行驶，快车从后面追上到完全超过需要多少秒？ 14. 一列火车通过 256 米的隧道要 30 秒，通过 196 米的大桥要 26 秒。求这列火车的长度。 15. 两列火车相向而行，甲车长 120 米，每秒行 18 米；乙车长 160 米，每秒行 14 米。两车从车头相遇到车尾分开共需要多少秒？如果两车同向而行，快车追上慢车到完全超过需要多少秒？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 火车过桥与错车问题 知识梳理 1.火车过桥问题 基本概念：火车过桥是指从车头接触桥面开始，到车尾离开桥面结束。在此过程中，火车头所行驶的路程等于桥长与车长之和。 核心公式：过桥时间=（桥长+车长）÷车速；车速=（桥长+车长）÷过桥时间；桥长+车长=车速×过桥时间 特殊情况——火车完全在桥上：指从车尾上桥到车头开始下桥的时间段。此时火车行驶的路程为桥长与车长之差（即路程=桥长-车长）。 2.火车与人错身问题 与人相遇（相向）：将人视为一个点，两者路程和为火车车身长度。公式：错身时间=车长÷（车速+人速）。 追及人（同向）：两者路程差为火车车身长度。公式：追及时间=车长÷（车速-人速）。 3.火车与火车错车问题 相向错车（相遇）：两列火车从车头相遇到车尾完全分开，两者路程和为两车车身长度之和。公式：错车时间=（快车长+慢车长）÷（快车速+慢车速）。 同向超车（追及）：快车从追上慢车到完全超过，两者路程差为两车车身长度之和。公式：超车时间=（快车长+慢车长）÷（快车速-慢车速）。 4.解题策略 画图辅助：在分析复杂问题时，画出车头、车尾的起止位置，能直观地看出路程与长度的关系。 转化思维：对于火车与火车上的乘客错身，可将乘客视为具有所在火车速度的动点，其相对路程仍为对面火车的长度。 例题讲解 【典型例题1】 一列火车全长265米，每秒行驶25米，全车要通过一座985米长的大桥，需要多少秒钟？ 【分析】 本题属于基础的火车过桥问题。火车完全通过大桥，意味着从车头上桥到车尾离桥，火车头行驶的总路程是桥长与车长之和。已知车速，直接套用公式即可。 【详解】 1. 计算总路程：桥长+车长=985+265=1250（米） 2. 计算时间：时间=路程÷速度=1250÷25=50（秒） 【答案】 需要50秒钟。 【跟踪训练1】 一列火车长200米，以每秒25米的速度驶过一座大桥，从车头上桥到车尾离桥，一共用了1分钟。求大桥的桥长是多少米？ 【分析】 已知时间、车速和车长，求桥长。先根据时间与速度算出总路程，再减去车长即为桥长。 【详解】 1. 单位换算：1分钟=60秒 2. 计算总路程：车速×时间=25×60=1500（米） 3. 计算桥长：总路程-车长=1500-200=1300（米） 【答案】 大桥的桥长是1300米。 【典型例题2】 一列长180米的火车，以每秒25米的速度通过一条山洞，从车头进入山洞到车尾离开山洞共用时20秒。求山洞的长度。 【分析】 此题是“过桥问题”的变种（过山洞）。解题逻辑与过桥一致，总路程=山洞长+车长。 【详解】 1. 计算总路程：车速×时间=25×20=500（米） 2. 计算山洞长：总路程-车长=500-180=320（米） 【答案】 山洞的长度是320米。 【跟踪训练2】 一列火车开过一座长1200米的大桥，需要75秒钟，而火车开过路旁的电线杆只需15秒钟（即通过自身长度所需时间）。求火车的长度是多少米？ 【分析】 通过电线杆的时间是火车通过自身长度的时间，可先求出车速；再利用过桥总时间与总路程求车长。 【详解】 1. 设车长为L，车速为V。 2. 通过电线杆：L=V×15 → V=L/15。 3. 通过大桥：L+1200=V×75。 4. 代入求解：将V=L/15代入上式得：L+1200=(L/15)×75 → L+1200=5L → 4L=1200 → L=300（米）。 【答案】 火车长300米。 【典型例题3】 有甲、乙两列火车，甲车长96米，每秒钟行驶26米，乙车长104米，每秒钟行驶24米。两车相向而行，从车头相遇到车尾分开，需要多少秒钟？ 【分析】 两车相向错车，路程和为两车车身长度之和，速度和为两车速度之和。 【详解】 1. 计算路程和：96+104=200（米） 2. 计算速度和：26+24=50（米/秒） 3. 计算错车时间：200÷50=4（秒） 【答案】 需要4秒钟。 【跟踪训练3】 快车车长190米，速度为每秒19米；慢车车长250米，速度为每秒15米。若两车同向齐头并进，快车超过慢车（从车头对齐到车尾分离）需要多少时间？ 【分析】 同向超车问题，路程差为两车车身长度之和，速度差为两车速度之差。 【详解】 1. 计算路程差（超车需多走的距离）：190+250=440（米） 2. 计算速度差：19-15=4（米/秒） 3. 计算超车时间：440÷4=110（秒） 【答案】 需要110秒钟。 提升练习 1. 一列火车长 300 米，每秒行驶 20 米，全车通过一座长 900 米的大桥，需要多少秒？ 【答案】 确定类型：火车过桥问题，总路程 = 桥长 + 车长。 计算总路程： (米) 计算时间：时间 = 总路程 速度 = (秒) 2. 一列火车长 150 米，以每秒 25 米的速度通过一个山洞，从车头进洞到车尾出洞共用了 18 秒。求山洞的长度。 【答案】 确定类型：过山洞问题，总路程 = 山洞长 + 车长。 计算总路程： (米) 计算山洞长：山洞长 = 总路程 - 车长 = (米) 3. 一列火车通过 480 米的大桥需要 40 秒，通过 360 米的隧道需要 32 秒。求火车的长度和速度。 【答案】 分析：两次行驶的时间差对应路程差（桥长差），车长不变。 计算速度： 路程差 = (米) 时间差 = (秒) 速度 = 路程差 时间差 = (米/秒) 计算车长（利用大桥数据）： 总路程 = (米) 车长 = 总路程 - 桥长 = (米) 4. 一列火车长 180 米，每秒行 24 米。一个人在铁路旁边的小路上跑步，火车与人相向而行，从相遇到离开，火车经过这个人用了 5 秒钟。问这个人的速度是多少？ 【答案】 确定类型：火车与人相向错身，路程和 = 车长。 计算速度和：速度和 = 路程 时间 = (米/秒) 计算人速：人速 = 速度和 - 车速 = (米/秒) 5. 一列长 200 米的火车，以每秒 28 米的速度追上并完全超过一名骑自行车的人，共用了 25 秒。求自行车的速度。 【答案】 确定类型：火车追及人，路程差 = 车长。 计算速度差：速度差 = 路程 时间 = (米/秒) 计算车速：自行车速 = 车速 - 速度差 = (米/秒) 6. 小明坐在一列长 150 米的火车上，以每秒 15 米的速度行驶。迎面开来一列货车，货车长 170 米，速度是每秒 11 米。请问两列火车从车头相遇到车尾完全离开需要多少秒？ 【答案】 确定类型：两列火车相向错车，路程和 = 两车长之和。 计算路程和： (米) 计算速度和： (米/秒) 计算时间： (秒) 或 秒 7. 有两列火车，客车长 220 米，每秒行 20 米；货车长 300 米，每秒行 16 米。两车同向行驶，从客车车头与货车车尾平齐（追上）开始，到客车车尾与货车车头平齐（完全超过）为止，共需要多少秒？ 【答案】 确定类型：同向超车（追及），路程差 = 两车长之和。 计算路程差： (米) 计算速度差： (米/秒) 计算时间： (秒) 8. 两列火车在双轨铁道上相向而行，一列火车长 168 米，每秒行 19 米；另一列火车长 184 米，每秒行 17 米。两车从车头相遇到车尾分开，共需多少秒？ 【答案】 确定类型：相向错车，路程和 = 两车长之和。 计算路程和： (米) 计算速度和： (米/秒) 计算时间： (秒) 9. 快车长 180 米，每秒行 25 米；慢车长 270 米，每秒行 15 米。两车相向而行，错车而过时，坐在快车上的人看见慢车驶过窗口的时间是多少秒？ 【答案】 分析：坐在快车上的人看慢车，慢车的长度就是相对路程，相对速度是速度和。 计算时间：时间 = 慢车长 速度和 = (秒) 10. 一列火车通过 530 米的桥需要 40 秒，以同样的速度通过 380 米的山洞需要 30 秒。求这列火车的速度及车长。 【答案】 分析：利用路程差求速度。 计算速度： 路程差 = (米) 时间差 = (秒) 速度 = (米/秒) 计算车长： 总路程（过桥） = (米) 车长 = (米) 11. 一列火车通过一座长 700 米的大桥用了 2 分钟（120 秒）。已知这列火车每秒行 15 米，问这列火车有多长？ 【答案】 计算总路程： (米) 计算车长：车长 = 总路程 - 桥长 = (米) 12. 铁路桥长 1080 米，一列火车从车头上桥到车尾离桥共用了 100 秒钟。整列火车完全在桥上的时间是 80 秒钟。求这列火车的长度和速度。 【答案】 分析： 车头上桥到车尾离桥：路程 = 桥长 + 车长。 完全在桥上：路程 = 桥长 - 车长。 设车长为 ，速度为 。 列方程： （式1） （式2） 解方程： 两式相加： (米/秒) 代入式2： (米) 13. 一列慢车车身长 120 米，车速是每秒 15 米；一列快车车身长 168 米，车速是每秒 20 米。慢车在前面行驶，快车从后面追上到完全超过需要多少秒？ 【答案】 确定类型：同向追及超车。 计算路程差： (米) 计算速度差： (米/秒) 计算时间： (秒) 14. 一列火车通过 256 米的隧道要 30 秒，通过 196 米的大桥要 26 秒。求这列火车的长度。 【答案】 计算速度： 路程差 = (米) 时间差 = (秒) 速度 = (米/秒) 计算车长（利用大桥数据）： 总路程 = (米) 车长 = (米) 15. 两列火车相向而行，甲车长 120 米，每秒行 18 米；乙车长 160 米，每秒行 14 米。两车从车头相遇到车尾分开共需要多少秒？如果两车同向而行，快车追上慢车到完全超过需要多少秒？ 【答案】 相向错车（相遇）： 路程和 = (米) 速度和 = (米/秒) 时间 = (秒) 同向超车（追及）： 假设甲车（18米/秒）追乙车（14米/秒）。 路程差 = (米) 速度差 = (米/秒) 时间 = (秒) 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $