小升初奥数培优讲义专题13 相遇与追及问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学·通用版

专题13 相遇与追及问题 知识梳理 行程问题是奥数中的重点和难点，核心在于理解运动物体之间的位置关系和数量关系。相遇与追及是行程问题中最基础的两种模型。 1. 基本公式 所有行程问题都围绕以下基本公式展开： 2. 相遇问题（相向而行） 当两个物体从两地同时出发，相向而行，直到相遇。 核心逻辑：两者共同走完了全程。 速度关系：速度和（ ）。 基本公式： 路程和 = 速度和 × 相遇时间 相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和 速度和 = 路程和 ÷ 相遇时间 3. 追及问题（同向而行） 当两个物体同向运动，快者追慢者，直到追上。 核心逻辑：快者比慢者多走的路程等于初始距离差。 速度关系：速度差（ ）。 基本公式： 路程差 = 速度差 × 追及时间 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差 速度差 = 路程差 ÷ 追及时间 4. 特殊场景 环形跑道： 同向：追及问题。每追上一次，快者比慢者多跑一圈。 背向：相遇问题。每相遇一次，两人合起来跑了一圈。 多次相遇（直线两端出发）： 第一次相遇：共走 1 个全程。 第二次相遇：共走 3 个全程。 第 次相遇：共走 个全程。 例题讲解 【典型例题1】基础相遇问题 甲、乙两车分别从相距 450 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车的速度是 60 千米/小时，乙车的速度是 40 千米/小时。请问两车几小时后相遇？ 【跟踪训练1】 小明和小红家相距 840 米。两人同时从家出发，相向而行。小明每分钟走 80 米，小红每分钟走 60 米。问几分钟后两人相遇？ 【典型例题2】基础追及问题 一辆客车以 50 千米/小时的速度从甲地出发。2 小时后，一辆轿车从同一地点出发去追赶客车，轿车的速度是 75 千米/小时。请问轿车几小时后能追上客车？ 【跟踪训练2】 小王骑自行车每小时行 15 千米，小李步行每小时行 5 千米。两人同时从某地出发背向而行，2 小时后小李返回追赶小王。问小李几小时后能追上小王？ 【典型例题3】多人相遇（结合方程） 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 75 米。甲从东村，乙、丙从西村同时出发，相向而行。在途中，甲与乙相遇后，过了 6 分钟，甲又与丙相遇。求东、西两村之间的距离。 【跟踪训练3】 A、B、C 三地在一条直线上，B 在 A、C 之间。甲、乙两人同时从 A、B 出发去往 C 地。甲的速度是 60 米/分，乙的速度是 40 米/分。甲到达 C 地 10 分钟后，乙也到达 C 地。已知 AB 相距 400 米，求 BC 的距离。 【典型例题4】环形跑道问题 一个圆形操场跑道周长 400 米，甲、乙两人从同一地点同时出发，同向而行。甲的速度是 250 米/分，乙的速度是 150 米/分。请问甲第一次追上乙需要几分钟？如果他们背向而行，第一次相遇需要几分钟？ 【跟踪训练4】 甲、乙、丙三人沿着 600 米的环形跑道从同一地点同时同方向出发。甲速度 250 米/分，乙速度 200 米/分，丙速度 150 米/分。问经过几分钟，甲第一次同时追上乙和丙？ 提升练习 1. 甲、乙两城相距 540 千米。两辆汽车同时从两城相对开出，甲车每小时行 65 千米，乙车每小时行 55 千米。几小时后两车相遇？ 2. 一只猎狗发现前方 120 米处有一只野兔。野兔立即以每秒 10 米的速度逃跑，猎狗以每秒 14 米的速度追赶。猎狗多久能追上野兔？ 3. A、B 两地相距 4800 米。小明从 A 地出发，每分钟走 60 米。小明出发 20 分钟后，小强从 B 地出发，相向而行，小强每分钟走 90 米。小强出发后多久与小明相遇？ 4. 一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行 40 千米。开出 3 小时后，一辆快车也从甲地开往乙地，每小时行 64 千米。快车几小时后能追上慢车？ 5. 甲、乙两人分别从相距 18 千米的 A、B 两地同时出发，同向而行（乙在前，甲在后）。甲骑自行车每小时行 14 千米，乙步行每小时行 5 千米。甲几小时后能追上乙？ 6. 在一个周长为 800 米的圆形湖边，小红和小芳同时从同一地点出发。如果背向而行，4 分钟后相遇；如果同向而行，20 分钟后小红第一次追上小芳。求小红和小芳的速度各是多少？ 7. 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 70 米，丙每分钟走 60 米。甲从 A 地，乙和丙从 B 地同时相向而行。甲先遇到乙，过了 5 分钟后，甲又遇到丙。求 A、B 两地的距离。 8. 一个 600 米的环形跑道，小明和小华同时同地起跑。小明跑一圈需要 4 分钟，小华跑一圈需要 6 分钟。 (1) 如果两人同向而行，几分钟后小明第一次追上小华？ (2) 如果两人背向而行，几分钟后两人第一次相遇？ 9. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 50 千米，4 小时后两车相遇。如果两车要在 A、B 两地的中点相遇，那么甲车需要提前几小时出发？ 10. 甲、乙、丙三人同时从东村去西村。甲骑摩托车每小时行 40 千米，乙骑自行车每小时行 15 千米，丙步行每小时行 5 千米。甲出发后 3 小时遇到乙，再过几小时甲能追上丙？ 11. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行。出发时甲、乙的速度比是 5:4。相遇后，甲的速度减少了 20%，乙的速度增加了 20%。当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10 千米。求 A、B 两地的距离。 12. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车行完全程要 6 小时，乙车行完全程要 8 小时。两车相遇时，正好在距离 A、B 两地中点 24 千米的地方。求 A、B 两地的距离。 13. 一个 300 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地同向出发。甲跑一圈需 4 分钟，乙跑一圈需 5 分钟。请问出发后多少分钟，甲比乙多跑 2 圈？ 14. 一辆货车以每小时 45 千米的速度从城市 A 出发前往城市 B。1 小时后，一辆摩托车也从城市 A 出发，沿同一路线追赶货车，摩托车的速度是每小时 60 千米。请问摩托车出发后几小时能追上货车？ 15. 在一个周长为 500 米的环形湖边，小张和小赵同时从同一地点出发。如果两人背向而行，5 分钟后相遇；如果两人同向而行，25 分钟后小张第一次追上小赵。求小张和小赵的速度各是多少？ 16. 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 90 米，乙每分钟走 75 米，丙每分钟走 60 米。甲从东村，乙和丙从西村同时出发，相向而行。在途中，甲先遇到乙，过了 4 分钟后，甲又遇到丙。求东、西两村之间的距离。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 相遇与追及问题 知识梳理 行程问题是奥数中的重点和难点，核心在于理解运动物体之间的位置关系和数量关系。相遇与追及是行程问题中最基础的两种模型。 1. 基本公式 所有行程问题都围绕以下基本公式展开： 2. 相遇问题（相向而行） 当两个物体从两地同时出发，相向而行，直到相遇。 核心逻辑：两者共同走完了全程。 速度关系：速度和（ ）。 基本公式： 路程和 = 速度和 × 相遇时间 相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和 速度和 = 路程和 ÷ 相遇时间 3. 追及问题（同向而行） 当两个物体同向运动，快者追慢者，直到追上。 核心逻辑：快者比慢者多走的路程等于初始距离差。 速度关系：速度差（ ）。 基本公式： 路程差 = 速度差 × 追及时间 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差 速度差 = 路程差 ÷ 追及时间 4. 特殊场景 环形跑道： 同向：追及问题。每追上一次，快者比慢者多跑一圈。 背向：相遇问题。每相遇一次，两人合起来跑了一圈。 多次相遇（直线两端出发）： 第一次相遇：共走 1 个全程。 第二次相遇：共走 3 个全程。 第 次相遇：共走 个全程。 例题讲解 【典型例题1】基础相遇问题 甲、乙两车分别从相距 450 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车的速度是 60 千米/小时，乙车的速度是 40 千米/小时。请问两车几小时后相遇？ 【分析】 这是一个标准的相遇问题。已知路程和（AB距离）和两车的速度，直接套用“相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和”即可。 【详解】 1. 计算速度和： (千米/小时) 2. 计算相遇时间： (小时) 【答案】 两车 4.5 小时后相遇。 【跟踪训练1】 小明和小红家相距 840 米。两人同时从家出发，相向而行。小明每分钟走 80 米，小红每分钟走 60 米。问几分钟后两人相遇？ 【分析】 同上，利用相遇时间公式。 【详解】 1. 速度和： (米/分钟) 2. 相遇时间： (分钟) 【答案】 6 分钟后两人相遇。 【典型例题2】基础追及问题 一辆客车以 50 千米/小时的速度从甲地出发。2 小时后，一辆轿车从同一地点出发去追赶客车，轿车的速度是 75 千米/小时。请问轿车几小时后能追上客车？ 【分析】 追及问题的关键是找到“路程差”。客车先走了 2 小时，这段路程就是追及开始时的路程差。 【详解】 1. 计算路程差（客车先行距离）： (千米) 2. 计算速度差： (千米/小时) 3. 计算追及时间： (小时) 【答案】 轿车 4 小时后能追上客车。 【跟踪训练2】 小王骑自行车每小时行 15 千米，小李步行每小时行 5 千米。两人同时从某地出发背向而行，2 小时后小李返回追赶小王。问小李几小时后能追上小王？ 【分析】 这题分两步：第一步，两人背向而行 2 小时，拉开了距离；第二步，小李返回追小王，此时拉开的距离即为追及的路程差。 【详解】 1. 计算2小时后的距离（路程差）： 两人背向而行的速度和： (千米/小时) 距离： (千米) 2. 计算追及时的速度差： (千米/小时) （小王仍在向前，小李回头追） 3. 计算追及时间： (小时) 【答案】 小李 4 小时后能追上小王。 【典型例题3】多人相遇（结合方程） 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 75 米。甲从东村，乙、丙从西村同时出发，相向而行。在途中，甲与乙相遇后，过了 6 分钟，甲又与丙相遇。求东、西两村之间的距离。 【分析】 这是一道典型的“多人相遇”问题。核心在于利用两次相遇的时间差来建立等量关系。 设甲与乙相遇的时间为 分钟。 则甲与丙相遇的时间为 分钟。 无论甲和谁相遇，东西两村的总距离是不变的。利用总距离相等列方程。 【详解】 1. 设甲乙相遇时间为 。 甲乙相遇时，路程和（总距离）为： 。 2. 甲丙相遇时间为 。 甲丙相遇时，路程和（总距离）为： 。 3. 列方程： 4. 计算总距离： (米) 【答案】 东、西两村之间的距离是 37800 米（即 37.8 千米）。 【跟踪训练3】 A、B、C 三地在一条直线上，B 在 A、C 之间。甲、乙两人同时从 A、B 出发去往 C 地。甲的速度是 60 米/分，乙的速度是 40 米/分。甲到达 C 地 10 分钟后，乙也到达 C 地。已知 AB 相距 400 米，求 BC 的距离。 【分析】 甲乙都是去 C 地，甲比乙快，且甲先到。关键在于时间差。甲走完全程（AB+BC）的时间比乙走 BC 的时间少 10 分钟。 【详解】 1. 设 BC 距离为 米。 2. 甲走完全程时间： 3. 乙走 BC 时间： 4. 列方程（乙比甲多用10分钟）： 5. 解方程： 通分（公分母120）： 展开： 合并： 【答案】 BC 的距离是 2000 米。 【典型例题4】环形跑道问题 一个圆形操场跑道周长 400 米，甲、乙两人从同一地点同时出发，同向而行。甲的速度是 250 米/分，乙的速度是 150 米/分。请问甲第一次追上乙需要几分钟？如果他们背向而行，第一次相遇需要几分钟？ 【分析】 环形跑道问题的特殊性： 同向（追及）：路程差 = 1 圈长度。 背向（相遇）：路程和 = 1 圈长度。 【详解】 1. 同向追及： 速度差： (米/分) 追及时间： (分钟) 2. 背向相遇： 速度和： (米/分) 相遇时间： (分钟) 【答案】 同向第一次追上需 4 分钟；背向第一次相遇需 1 分钟。 【跟踪训练4】 甲、乙、丙三人沿着 600 米的环形跑道从同一地点同时同方向出发。甲速度 250 米/分，乙速度 200 米/分，丙速度 150 米/分。问经过几分钟，甲第一次同时追上乙和丙？ 【分析】 要甲同时追上乙和丙，意味着甲比乙多跑整数圈，且甲比丙多跑整数圈。我们需要分别计算甲追上乙的时间和甲追上丙的时间，然后求这两个时间的最小公倍数。 【详解】 1. 甲追乙的时间： 速度差： (米/分) 时间： (分钟) 2. 甲追丙的时间： 速度差： (米/分) 时间： (分钟) 3. 求最小公倍数：12 和 6 的最小公倍数是 12。 【答案】 经过 12 分钟，甲第一次同时追上乙和丙。 提升练习 1. 甲、乙两城相距 540 千米。两辆汽车同时从两城相对开出，甲车每小时行 65 千米，乙车每小时行 55 千米。几小时后两车相遇？ 【详解】 确定类型：相向而行，属于相遇问题。 找数据：路程和 = 540 千米；速度和 = 65 + 55 = 120 (千米/小时)。 套公式：相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和 = 540 ÷ 120。 【答案】 4.5 小时后两车相遇。 2. 一只猎狗发现前方 120 米处有一只野兔。野兔立即以每秒 10 米的速度逃跑，猎狗以每秒 14 米的速度追赶。猎狗多久能追上野兔？ 【详解】 确定类型：同向运动，属于追及问题。 找数据：路程差 = 120 米；速度差 = 14 - 10 = 4 (米/秒)。 套公式：追及时间 = 路程差 ÷ 速度差 = 120 ÷ 4。 【答案】 猎狗需要 30 秒能追上野兔。 3. A、B 两地相距 4800 米。小明从 A 地出发，每分钟走 60 米。小明出发 20 分钟后，小强从 B 地出发，相向而行，小强每分钟走 90 米。小强出发后多久与小明相遇？ 【详解】 分析：小明先走的 20 分钟拉开了距离，剩下的距离由两人共同走完。 计算剩余路程：小明先行路程 = 60 × 20 = 1200 (米)。 剩余路程 = 4800 - 1200 = 3600 (米)。 计算相遇时间：速度和 = 60 + 90 = 150 (米/分)。 相遇时间（小强出发后）= 3600 ÷ 150。 【答案】 小强出发后 24 分钟与小明相遇。 4. 一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行 40 千米。开出 3 小时后，一辆快车也从甲地开往乙地，每小时行 64 千米。快车几小时后能追上慢车？ 【详解】 找路程差：慢车先行 3 小时，路程差 = 40 × 3 = 120 (千米)。 找速度差：64 - 40 = 24 (千米/小时)。 计算追及时间：120 ÷ 24。 【答案】 快车 5 小时后能追上慢车。 5. 甲、乙两人分别从相距 18 千米的 A、B 两地同时出发，同向而行（乙在前，甲在后）。甲骑自行车每小时行 14 千米，乙步行每小时行 5 千米。甲几小时后能追上乙？ 【详解】 路程差：18 千米。 速度差：14 - 5 = 9 (千米/小时)。 追及时间：18 ÷ 9。 【答案】 甲 2 小时后能追上乙。 6. 在一个周长为 800 米的圆形湖边，小红和小芳同时从同一地点出发。如果背向而行，4 分钟后相遇；如果同向而行，20 分钟后小红第一次追上小芳。求小红和小芳的速度各是多少？ 【详解】 背向（相遇）：速度和 = 路程 ÷ 时间 = 800 ÷ 4 = 200 (米/分)。 同向（追及）：速度差 = 路程 ÷ 时间 = 800 ÷ 20 = 40 (米/分)。 和差问题： 小红速度（大数）= (速度和 + 速度差) ÷ 2 = (200 + 40) ÷ 2 = 120 (米/分)。 小芳速度（小数）= (速度和 - 速度差) ÷ 2 = (200 - 40) ÷ 2 = 80 (米/分)。 【答案】 小红速度 120 米/分，小芳速度 80 米/分。 7. 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 70 米，丙每分钟走 60 米。甲从 A 地，乙和丙从 B 地同时相向而行。甲先遇到乙，过了 5 分钟后，甲又遇到丙。求 A、B 两地的距离。 【详解】 设甲乙相遇时间为 分钟。 根据总距离相等列方程： 甲乙相遇时总距离： 。 甲丙相遇时总距离： 。 解方程： 计算距离： (米)。 【答案】 A、B 两地的距离是 10500 米。 8. 一个 600 米的环形跑道，小明和小华同时同地起跑。小明跑一圈需要 4 分钟，小华跑一圈需要 6 分钟。 (1) 如果两人同向而行，几分钟后小明第一次追上小华？ (2) 如果两人背向而行，几分钟后两人第一次相遇？ 【详解】 先求速度： 小明速度：600 ÷ 4 = 150 (米/分)。 小华速度：600 ÷ 6 = 100 (米/分)。 同向（追及）： 速度差：150 - 100 = 50 (米/分)。 追及时间：600 ÷ 50 = 12 (分钟)。 背向（相遇）： 速度和：150 + 100 = 250 (米/分)。 相遇时间：600 ÷ 250 = 2.4 (分钟)。 【答案】 (1) 12 分钟；(2) 2.4 分钟（或 2分24秒）。 9. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 40 千米，乙车每小时行 50 千米，4 小时后两车相遇。如果两车要在 A、B 两地的中点相遇，那么甲车需要提前几小时出发？ 【详解】 计算总距离：速度和 × 时间 = (40+50) × 4 = 360 (千米)。 计算中点位置：中点距离 A 或 B 为 360 ÷ 2 = 180 (千米)。 计算各自到中点的时间： 乙车到中点时间：180 ÷ 50 = 3.6 (小时)。 甲车到中点时间：180 ÷ 40 = 4.5 (小时)。 计算时间差：甲车比乙车多用的时间即为需要提前出发的时间：4.5 - 3.6 = 0.9 (小时)。 【答案】 甲车需要提前 0.9 小时（即 54 分钟）出发。 10. 甲、乙、丙三人同时从东村去西村。甲骑摩托车每小时行 40 千米，乙骑自行车每小时行 15 千米，丙步行每小时行 5 千米。甲出发后 3 小时遇到乙，再过几小时甲能追上丙？ 【详解】 求东西村距离（利用甲乙相遇）： 甲乙相遇时间 = 3 小时。 速度和 = 40 + 15 = 55 (千米/小时)。 路程和（总距离）= 55 × 3 = 165 (千米)。 求甲追丙的时间： 这是一个追及问题（同向），路程差 = 165 千米。 速度差 = 40 - 5 = 35 (千米/小时)。 追及时间 = 165 ÷ 35 = 33/7 ≈ 4.71 (小时)。 求“再过几小时”：题目问的是“遇到乙后，再过几小时追上丙”。 甲总共用了 33/7 小时追上丙。 已经用了 3 小时。 还需时间 = 33/7 - 3 = 33/7 - 21/7 = 12/7 (小时)。 【答案】 再过 小时（约 1小时43分）甲能追上丙。 11. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行。出发时甲、乙的速度比是 5:4。相遇后，甲的速度减少了 20%，乙的速度增加了 20%。当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10 千米。求 A、B 两地的距离。 【详解】 设份数：设全程为 9 份（甲走 5 份，乙走 4 份）。 分析速度变化： 原速度比：甲:乙 = 5:4。 变速后：甲 = 5 × (1-20%) = 4；乙 = 4 × (1+20%) = 4.8。 变速后速度比：4 : 4.8 = 5 : 6。 分析剩余路程： 相遇后，甲要走乙剩下的 4 份路程，乙要走甲剩下的 5 份路程。 利用时间相等： 甲走完 4 份的时间 = （份数单位）。 在这段时间内，乙走了：速度 × 时间 = 份。 计算剩余距离： 乙原本需要走 5 份，实际走了 4.8 份，还剩 0.2 份。 题目说还剩 10 千米，即 0.2 份 = 10 千米。 1 份 = 50 千米。 求全程：9 份 × 50 千米。 【答案】 A、B 两地的距离是 450 千米。 12. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车行完全程要 6 小时，乙车行完全程要 8 小时。两车相遇时，正好在距离 A、B 两地中点 24 千米的地方。求 A、B 两地的距离。 【详解】 设总距离为 。 求速度比：时间比 6:8 = 3:4，速度比反比为 4:3。 分析相遇点： 速度比 4:3，说明相遇时甲走了全程的 ，乙走了 。 中点位置是 。 甲走的距离比中点多： 。 这个 对应的路程是题目中的 24 千米。 计算总距离： 。 【答案】 A、B 两地的距离是 336 千米。 13. 一个 300 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地同向出发。甲跑一圈需 4 分钟，乙跑一圈需 5 分钟。请问出发后多少分钟，甲比乙多跑 2 圈？ 【详解】 求速度：甲速 = 300 ÷ 4 = 75 米/分；乙速 = 300 ÷ 5 = 60 米/分。 确定追及距离：多跑 2 圈 = 300 × 2 = 600 米。 求速度差：75 - 60 = 15 米/分。 计算时间：追及时间 = 路程差 ÷ 速度差 = 600 ÷ 15。 【答案】 出发后 40 分钟，甲比乙多跑 2 圈。 14. 一辆货车以每小时 45 千米的速度从城市 A 出发前往城市 B。1 小时后，一辆摩托车也从城市 A 出发，沿同一路线追赶货车，摩托车的速度是每小时 60 千米。请问摩托车出发后几小时能追上货车？ 【详解】 确定类型： 两车同向而行，属于追及问题。 找路程差： 货车先走了 1 小时，这段距离就是追及开始时的路程差。 路程差 = (千米) 找速度差： 速度差 = (千米/小时) 套公式： 追及时间 = 路程差 速度差 追及时间 = (小时) 【答案】 (小时) 15. 在一个周长为 500 米的环形湖边，小张和小赵同时从同一地点出发。如果两人背向而行，5 分钟后相遇；如果两人同向而行，25 分钟后小张第一次追上小赵。求小张和小赵的速度各是多少？ 【详解】 分析背向（相遇）： 背向而行时，路程和 = 1 圈长度。 速度和 = 路程 时间 = (米/分) 分析同向（追及）： 同向而行时，路程差 = 1 圈长度。 速度差 = 路程 时间 = (米/分) 和差问题求解： 小张速度（较快者）= (速度和 + 速度差) 2 = (米/分) 小赵速度（较慢者）= (速度和 - 速度差) 2 = (米/分) 【答案】小张速度（较快者） (米/分) 小赵速度（较慢者）(米/分) 16. 甲、乙、丙三人，甲每分钟走 90 米，乙每分钟走 75 米，丙每分钟走 60 米。甲从东村，乙和丙从西村同时出发，相向而行。在途中，甲先遇到乙，过了 4 分钟后，甲又遇到丙。求东、西两村之间的距离。 【详解】 设未知数： 设甲与乙相遇的时间为 分钟。 列方程依据： 无论甲和谁相遇，东西两村的总距离是不变的。 甲乙相遇时，总距离 = 甲丙相遇时，时间为 分钟，总距离 = 建立方程： 解方程： 计算总距离： 总距离 = (米) 【答案】 (米) 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $