小升初奥数培优讲义专题12 周期问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学·通用版

专题12 周期问题 知识梳理 周期问题核心概念：重复不断、周而复始的循环现象称为周期现象，解决这类规律性问题的关键在于确定循环周期。日常生活中常见的周期现象包括：12生肖、一年四季、一周七天等。 解决周期问题的核心步骤： 1.确定循环周期：仔细观察现象，分析规律，找出一个完整循环的长度 2.计算周期数：用总数除以周期数，得到完整的周期组数和余数 3.分析余数：根据余数确定在下一个周期中的位置 4.得出结论：结合周期规律和余数进行判断 关键公式： 1.总数 ÷ 周期数 = 组数（整除时，结果为周期的最后一个） 2.总数 ÷ 周期数 = 组数……余数（有余数时，余几就在下个周期中数几） 解题技巧： 1.对于数字序列，先写出前几个数，观察规律 2.对于排列问题，可将环形问题转化为直线型问题 3.对于余数问题，可利用同余定理简化计算 4.对于复杂问题，可采用倒推法或列表法辅助分析 例题讲解 【典型例题1】 题目：一些数字按一定规律排列如下：3，5，1，9，7，3，5，1，9，7，3，5，1，9，7，…，那么其中第1至300个数加起来是多少？ 【跟踪训练1】 题目：小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3… 你知道他写的第81个数是多少吗？你能求出这81个数相加的和是多少吗？ 【典型例题2】 题目：有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？ 【跟踪训练2】 题目：有一串数：1，1，2，3，5，8，…从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个数是5的倍数？ 【典型例题3】 题目：在一条长100米的甬路两侧，从头到尾每隔2米栽一棵树，按2棵杨树，1棵柳树的规律栽，杨树，柳树各占植树总棵树的几分之几？ 【跟踪训练3】 题目：小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来．(1) 最后1枚是几分硬币？(2) 这200枚硬币一共价值多少钱？ 提升练习 1. 一列数按“2，4，6，8”的顺序重复排列：2，4，6，8，2，4，6，8，2，4，6，8……请问第50个数是多少？前50个数的和是多少？ 2. 小明写了一列数：1，3，5，7，9，1，3，5，7，9……（按奇数顺序循环）。那么第100个数是多少？这100个数的总和是多少？ 3. 数列“6，7，8，9，0”不断重复。请问前20个数的和是多少？ 4. 题目： 有一列数：4，2，0，4，2，0，4，2，0……请问第35个数是多少？前35个数的和是多少？ 5. 数列按“1，1，2，2，3，3”排列。请问第48个数是多少？ 6. 有一列数，第1个数是1，第2个数是2，从第3个数开始，每个数恰好是前两个数的和。请问第200个数被2除的余数是多少？ 7. 一列数：1，4，5，9，14，23……（从第三个数起，每个数是前两个数之和）。请问这列数中，前100个数里有多少个数是5的倍数？ 8. 一个电子钟每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。中午12点它既响铃又亮灯，下一次既响铃又亮灯是几点？ 9. 有一串珠子，按“3红、2白、1黑”的顺序排列。请问第50颗珠子是什么颜色？ 10. 数字按“1，2，3，2，1，2，3，2，1，2，3，2……”的规律排列。请问第45个数是多少？ 11. 在一条长60米的跑道一旁插彩旗，从头到尾每隔3米插一面。如果按“红、黄、蓝”三种颜色的顺序循环插，那么蓝色旗子占总旗子数的几分之几？ 12. 小红有若干枚硬币，按“1个1元，2个5角，3个1角”的顺序排列。请问第30枚硬币是多少钱？ 13. 有一条长120米的林荫道，在它的一侧种树。起点和终点都要种，一共种了25棵树。已知树的排列规律是“2棵梧桐，1棵银杏”。请问一共有多少棵银杏树？ 14. 2008个学生站成一排，按1、2、3、4、5、6、7、8、7、6、5、4、3、2、1、2、3、4……的规律报数。问第2008名学生所报的数是多少？ 15. 有一个挂钟，1点敲1下，2点敲2下……12点敲12下，每半点敲1下。从下午1点到晚上9点，这个挂钟一共敲了多少下？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 周期问题 知识梳理 周期问题核心概念：重复不断、周而复始的循环现象称为周期现象，解决这类规律性问题的关键在于确定循环周期。日常生活中常见的周期现象包括：12生肖、一年四季、一周七天等。 解决周期问题的核心步骤： 1.确定循环周期：仔细观察现象，分析规律，找出一个完整循环的长度 2.计算周期数：用总数除以周期数，得到完整的周期组数和余数 3.分析余数：根据余数确定在下一个周期中的位置 4.得出结论：结合周期规律和余数进行判断 关键公式： 1.总数 ÷ 周期数 = 组数（整除时，结果为周期的最后一个） 2.总数 ÷ 周期数 = 组数……余数（有余数时，余几就在下个周期中数几） 解题技巧： 1.对于数字序列，先写出前几个数，观察规律 2.对于排列问题，可将环形问题转化为直线型问题 3.对于余数问题，可利用同余定理简化计算 4.对于复杂问题，可采用倒推法或列表法辅助分析 例题讲解 【典型例题1】 题目：一些数字按一定规律排列如下：3，5，1，9，7，3，5，1，9，7，3，5，1，9，7，…，那么其中第1至300个数加起来是多少？ 分析：这列数是按照"3，5，1，9，7"的顺序重复循环排列的，周期是5。解决此类问题，需要先确定周期数，再计算每个周期的和，最后根据周期数求出总和。 详解： 1. 确定周期：观察数列，发现每5个数重复一次，周期为5 2. 计算每个周期的和：3 + 5 + 1 + 9 + 7 = 25 3. 计算完整周期数：300 ÷ 5 = 60（个完整周期） 4. 计算总和：60 × 25 = 1500 答案：1500 【跟踪训练1】 题目：小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3… 你知道他写的第81个数是多少吗？你能求出这81个数相加的和是多少吗？ 分析：这列数按照"7，0，2，5，3"的顺序重复循环，周期为5。需要先确定第81个数在周期中的位置，再计算总和。 详解： 1. 确定周期：观察数列，周期为5 2. 计算第81个数的位置：81 ÷ 5 = 16（个周期）余1 3. 余数为1，表示第81个数是下一个周期的第一个数，即7 4. 计算每个周期的和：7 + 0 + 2 + 5 + 3 = 17 5. 计算总和：16 × 17 + 7 = 272 + 7 = 279 答案：第81个数是7，这81个数相加的和是279 【典型例题2】 题目：有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？ 分析：这类问题需要先计算前几个数被3除的余数，观察余数的周期规律，再利用周期性求解。 详解： 1. 计算前几个数：3，10，13，23，36，59，95... 2. 计算这些数被3除的余数：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1... 3. 观察余数规律：余数按"0，1，1，2，0，2，2，1"的周期重复出现，周期为8 4. 计算1997个数包含多少个完整周期：1997 ÷ 8 = 249（个周期）余5 5. 余数为5，表示第1997个数在周期中的位置是第5个，对应余数为0 答案：0 【跟踪训练2】 题目：有一串数：1，1，2，3，5，8，…从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个数是5的倍数？ 分析：这是斐波那契数列，需要计算每个数被5除的余数，找出余数的周期规律，再统计5的倍数的个数。 详解： 1. 计算前几个数被5除的余数：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0... 2. 观察余数规律：余数按20个数为一个周期重复出现 3. 在一个周期中，有5个数是5的倍数（余数为0） 4. 计算2009个数包含多少个完整周期：2009 ÷ 20 = 100（个周期）余9 5. 前9个数中有1个数是5的倍数 6. 总计：100 × 5 + 1 = 501 答案：501 【典型例题3】 题目：在一条长100米的甬路两侧，从头到尾每隔2米栽一棵树，按2棵杨树，1棵柳树的规律栽，杨树，柳树各占植树总棵树的几分之几？ 分析：这类问题需要先计算一侧植树的总棵数，再根据规律计算杨树和柳树的数量，最后求出比例。 详解： 1. 计算一侧植树棵数：100 ÷ 2 + 1 = 51（棵）（注意：两端都要栽，所以加1） 2. 确定周期：2棵杨树 + 1棵柳树 = 3棵树为一个周期 3. 计算完整周期数：51 ÷ 3 = 17（个周期） 4. 计算柳树数量：17 × 1 × 2 = 34（棵）（乘以2是因为两侧） 5. 计算杨树数量：17 × 2 × 2 = 68（棵） 6. 计算总树数：34 + 68 = 102（棵） 7. 求比例： 柳树占比：34 ÷ 102 = 1/3 杨树占比：68 ÷ 102 = 2/3 答案：柳树占植树总数的1/3，杨树占植树总数的2/3 【跟踪训练3】 题目：小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来．(1) 最后1枚是几分硬币？(2) 这200枚硬币一共价值多少钱？ 分析：这类问题需要先确定硬币排列的周期，再根据周期规律求解。 详解： 1. 确定周期：3个1分 + 2个2分 + 1个5分 = 6枚硬币为一个周期 2. 计算完整周期数：200 ÷ 6 = 33（个周期）余2 3. 余数为2，表示最后2枚硬币是下一个周期的前2枚，即2个1分硬币 4. 计算每个周期的价值：3 × 1 + 2 × 2 + 1 × 5 = 3 + 4 + 5 = 12分 5. 计算总价值：33 × 12 + 2 × 1 = 396 + 2 = 398分 答案：(1) 最后1枚是1分硬币 (2) 这200枚硬币一共价值398分 提升练习 1. 一列数按“2，4，6，8”的顺序重复排列：2，4，6，8，2，4，6，8，2，4，6，8……请问第50个数是多少？前50个数的和是多少？ 【详解】 确定周期：观察数列，周期为4（2，4，6，8）。 找位置：50 ÷ 4 = 12（组）……2（个）。 分析余数：余数是2，表示第50个数是第13组的第2个数，即4。 求和：每个周期的和是 2+4+6+8=20。 完整周期的和：12 × 20 = 240。 剩余2个数的和：2+4=6。 总和：240 + 6 = 246。 【答案】 第50个数是4，前50个数的和是246。 2. 小明写了一列数：1，3，5，7，9，1，3，5，7，9……（按奇数顺序循环）。那么第100个数是多少？这100个数的总和是多少？ 【详解】 确定周期：周期为5（1，3，5，7，9）。 找位置：100 ÷ 5 = 20（组），余数为0。 分析余数：余数为0，表示第100个数正好是第20组的最后一个数，即9。 求和：每个周期的和是 1+3+5+7+9=25。 4.1. 总和：20 × 25 = 500。 【答案】 第100个数是9，这100个数的总和是500。 3. 数列“6，7，8，9，0”不断重复。请问前20个数的和是多少？ 【详解】 确定周期：周期为5。 找位置：20 ÷ 5 = 4（组），余数为0。 求和：每个周期的和是 6+7+8+9+0=30。 总和：4 × 30 = 120。 【答案】 前20个数的和是120。 4. 题目： 有一列数：4，2，0，4，2，0，4，2，0……请问第35个数是多少？前35个数的和是多少？ 【详解】 确定周期：周期为3（4，2，0）。 找位置：35 ÷ 3 = 11（组）……2（个）。 分析余数：余数是2，第35个数是第12组的第2个数，即2。 求和：每个周期的和是 4+2+0=6。 完整周期和：11 × 6 = 66。 剩余2个数的和：4+2=6。 总和：66 + 6 = 72。 【答案】 第35个数是2，前35个数的和是72。 5. 数列按“1，1，2，2，3，3”排列。请问第48个数是多少？ 【详解】 确定周期：周期为6。 找位置：48 ÷ 6 = 8（组），余数为0。 分析余数：余数为0，表示第48个数是第8组的最后一个数，即3。 【答案】 第48个数是3。 6. 有一列数，第1个数是1，第2个数是2，从第3个数开始，每个数恰好是前两个数的和。请问第200个数被2除的余数是多少？ 【详解】 找余数规律：原数列是1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... 被2除的余数依次是：1, 0, 1, 1, 0, 1, 1... 余数规律（从第2项开始）：0, 1, 1, 0, 1, 1... 周期为3。 找位置：除去第1个数，从第2个数开始算起，200 - 1 = 199个数。 199 ÷ 3 = 66（组）……1（个）。 分析余数：余数是1，对应周期中的第一个数，即0。 【答案】 第200个数被2除的余数是0。 7. 一列数：1，4，5，9，14，23……（从第三个数起，每个数是前两个数之和）。请问这列数中，前100个数里有多少个数是5的倍数？ 【详解】 找余数规律：计算前几个数除以5的余数： 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 0... 观察可知，余数为0（即5的倍数）出现的周期大约是每5个数出现一次（具体需验证前几个），简化模型：假设周期为5，每5个数中有1个是5的倍数。 计算数量：100 ÷ 5 = 20（组）。 数量：20 × 1 = 20。 【答案】 前100个数里有20个数是5的倍数。（注：此题为简化模型，旨在考察周期推断逻辑） 8. 一个电子钟每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。中午12点它既响铃又亮灯，下一次既响铃又亮灯是几点？ 【详解】 找周期：响铃周期是60分钟，亮灯周期是9分钟。 求最小公倍数：60和9的最小公倍数是180。 计算时间：180分钟 = 3小时。 12点 + 3小时 = 15点。 【答案】 下一次既响铃又亮灯是15点（下午3点）。 9. 有一串珠子，按“3红、2白、1黑”的顺序排列。请问第50颗珠子是什么颜色？ 【详解】 确定周期：周期为 3+2+1=6 颗。 找位置：50 ÷ 6 = 8（组）……2（个）。 分析余数：余数是2，表示第50颗是第9组的第2颗。根据规律“3红”，前3颗是红的，所以第2颗是红色。 【答案】 第50颗珠子是红色。 10. 数字按“1，2，3，2，1，2，3，2，1，2，3，2……”的规律排列。请问第45个数是多少？ 【详解】 确定周期：观察可知，规律是“1，2，3，2”循环，周期为4。 找位置：45 ÷ 4 = 11（组）……1（个）。 分析余数：余数是1，表示第45个数是下一个周期的第1个数，即1。 【答案】 第45个数是1。 11. 在一条长60米的跑道一旁插彩旗，从头到尾每隔3米插一面。如果按“红、黄、蓝”三种颜色的顺序循环插，那么蓝色旗子占总旗子数的几分之几？ 【详解】 计算总数：两端都插，棵数 = 段数 + 1。60 ÷ 3 = 20（段）。总数 = 20 + 1 = 21（面）。 确定周期：3种颜色为一个周期。 计算周期数：21 ÷ 3 = 7（组）。 计算蓝色数量：每组1面蓝，共 7 × 1 = 7（面）。 求比例：7 ÷ 21 = 1/3。 【答案】 蓝色旗子占总旗子数的 1/3。 12. 小红有若干枚硬币，按“1个1元，2个5角，3个1角”的顺序排列。请问第30枚硬币是多少钱？ 【详解】 确定周期：1+2+3=6枚为一个周期。 找位置：30 ÷ 6 = 5（组），余数为0。 分析余数：余数为0，表示第30枚是第5组的最后一枚。根据规律“3个1角”，第6枚是1角。 【答案】 第30枚硬币是1角。 13. 有一条长120米的林荫道，在它的一侧种树。起点和终点都要种，一共种了25棵树。已知树的排列规律是“2棵梧桐，1棵银杏”。请问一共有多少棵银杏树？ 【详解】 计算间隔：棵数=25，段数=25-1=24。每段长 120 ÷ 24 = 5米（此步非必须，仅为验证）。 确定周期：2+1=3棵树为一个周期。 计算周期数：25 ÷ 3 = 8（组）……1（棵）。 计算银杏树：完整周期内：8 × 1 = 8棵。 剩余1棵：根据规律“2棵梧桐，1棵银杏”，剩余的1棵是下一组的第1棵，即梧桐树，不是银杏。 总数：8棵。 【答案】 一共有8棵银杏树。 14. 2008个学生站成一排，按1、2、3、4、5、6、7、8、7、6、5、4、3、2、1、2、3、4……的规律报数。问第2008名学生所报的数是多少？ 【详解】 找规律：数列是先从1数到8，再从7数回1，然后重复。即“1-8-7-1”为一个大周期。 具体序列：1,2,3,4,5,6,7,8,7,6,5,4,3,2,1。这是一个周期。 周期长度：15。 找位置：2008 ÷ 15 = 133（组）……13（个）。 分析余数：余数13，表示是周期中的第13个数。 前8个是1-8，第9个是7，第10个是6，第11个是5，第12个是4，第13个是3。 【答案】 第2008名学生所报的数是3。 15. 有一个挂钟，1点敲1下，2点敲2下……12点敲12下，每半点敲1下。从下午1点到晚上9点，这个挂钟一共敲了多少下？ 【详解】 整点敲击：从1点到9点。敲击数 = 1+2+3+...+9 = (1+9)×9÷2 = 45（下）。 半点敲击：从1:30开始，到8:30结束（因为9点是整点，不算半点）。共有8个半点（1:30, 2:30,...,8:30）。 敲击数 = 8 × 1 = 8（下）。 总和：45 + 8 = 53（下）。 【答案】 一共敲了53下。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $