小升初奥数培优讲义专题11 余数问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学·通用版

专题11 余数问题 知识梳理 1. 带余除法的基本公式 (1)核心公式：被除数÷除数=商……余数（0≤余数<除数） (2)变形公式：被除数=除数×商+余数 (3)推论：被除数−余数=除数×商（即除数是"被除数与余数差值"的约数） 2. 同余问题的三大模型（口诀法） (1)余同取余：若a÷m余r，a÷n余r，则a是[m,n]的倍数+r（[m,n]表示m与n的最小公倍数） (2)和同加和：若a÷m余p，a÷n余q，且m+p=n+q，则a是[m,n]的倍数+(m+p) (3)差同减差：若a÷m余p，a÷n余q，且m−p=n−q，则a是[m,n]的倍数−(m−p) 3. 余数的周期性 (1)核心思想：幂运算的余数具有周期性，可通过列举前几项寻找规律 (2)常见周期： (3)2n除以3的余数周期为2（2,1,2,1…） (4)3n除以4的余数周期为2（3,1,3,1…） 4. 中国剩余定理（逐级满足法） (1)适用场景：无明显规律的同余方程组 (2)解题步骤： ①　从最大除数开始列举满足条件的数 ②　逐级代入其他条件筛选 例题讲解 【典型例题1】 一个自然数去除73余13，去除184余4，去除220余10，求这个数最大是多少？ 【分析】 根据“被除数 - 余数 = 除数 × 商”，可知该数是(73 - 13)、(184 - 4)、(220 - 10)的公约数。 即求60、180、210的最大公约数。 【详解】 73 - 13 = 60 184 - 4 = 180 220 - 10 = 210 求 (60, 180, 210) 的最大公约数： 60 = 2²×3×5 180 = 2²×3²×5 210 = 2×3×5×7 公共部分：2×3×5 = 30 【答案】 30 【跟踪训练1】 把97个苹果和128个梨平均分给六（1）班学生，剩下7个苹果和8个梨，问班级最多有多少人？ 【详解】 分掉苹果：97 - 7 = 90 分掉梨：128 - 8 = 120 求(90, 120)的最大公约数。 90 = 2×3²×5；120 = 2³×3×5 → GCD = 2×3×5 = 30。 【答案】 30人 【典型例题2】 一个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，求这个数最小是多少？ 【分析】 观察发现：余数都比除数小1（差同）。 即：该数 + 1 能被3、4、5整除。 所以该数 + 1 = [3,4,5] 的最小公倍数。 【详解】 [3,4,5] = 60 所以该数 = 60 - 1 = 59。 验证：59 ÷ 3 = 19...2；59 ÷ 4 = 14...3；59 ÷ 5 = 11...4 。 【答案】 59 【跟踪训练2】 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余5，求这个数最小是多少？ 【详解】 同样为“差同”（余数均比除数小2）。 该数 + 2 是5、6、7的公倍数。 [5,6,7] = 210 该数 = 210 - 2 = 208。 【答案】 208 【典型例题3】 求 除以7的余数。 【分析】 利用余数的周期性（找规律）。 【详解】 计算 ÷ 7 的余数： → 余2 → 余4 → 余1 → 余2 → 余4 → 余1 周期为3（2, 4, 1）。 100 ÷ 3 = 33 余1。 对应周期中第1个数：余2。 【答案】 2 【跟踪训练3】 求 除以13的余数。 【详解】 找 ÷ 13 的余数周期： → 3 → 9 → 1（27-26=1） → 3（81÷13=6*13=78，余3） → 9 → 1 周期为3（3, 9, 1）。 2023 ÷ 3 = 674 余1 → 余3。 【答案】 3 【典型例题4】 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数16，且被除数、除数的和是877，求被除数和除数。 【分析】 设除数为x，则被除数 = 40x + 16。 根据和列方程。 【详解】 x + (40x + 16) = 877 41x + 16 = 877 41x = 861 x = 21 被除数 = 40×21 + 16 = 856。 【答案】 除数21，被除数856 【跟踪训练4】 甲、乙两数和为2018，甲除以乙商9余18，求甲、乙。 【详解】 设乙为x，则甲 = 9x + 18。 x + 9x + 18 = 2018 → 10x = 2000 → x = 200。 甲 = 9×200 + 18 = 1818。 【答案】 甲1818，乙200 提升练习 1. 一个自然数去除79余7，去除125余5，去除163余3。求这个自然数最大是多少？ 【详解】 根据“被除数 - 余数 = 除数 × 商”，可知该数是以下三个数的公约数： 1. 2. 3. 求 的最大公约数。 分解质因数： 公共部分： 。 所以最大公约数是 。 验证： ； ； 。正确。 【答案】 2. 把150块饼干和105颗糖果平均分给幼儿园大班的小朋友，结果饼干剩下6块，糖果剩下9颗。这个班最多有多少名小朋友？ 【详解】 分掉的饼干： （块） 分掉的糖果： （颗） 小朋友人数是 和 的公约数，且要求最多，即求最大公约数。 分解质因数： 最大公约数： 。 验证： （饼干多6块）； （糖果多9颗）。正确。 【答案】 人 3. 一个数去除233余5，去除159余3，去除101余5。求这个数最大是多少？ 【详解】 根据题意，该数是 的公约数。 即求 的最大公约数。 分解质因数： 公共质因数： 。 所以最大公约数是 。 验证： ； ； 。正确。 【答案】 4. 一个数除以5余4，除以6余5，除以7余6。求这个数最小是多少？ 【详解】 观察余数特征： 除以5余4，即差1（ ） 除以6余5，即差1（ ） 除以7余6，即差1（ ） 属于“差同”情况（差1）。 根据口诀“差同减差”，这个数加1后能被5, 6, 7整除。 求 的最小公倍数。 最小公倍数： 。 所以这个数最小是 。 验证： ； ； 。正确。 【答案】 5. 一个数除以8余6，除以10余8，除以12余10。求这个数最小是多少？ 【详解】 观察余数特征： 除以8余6，即差2（ ） 除以10余8，即差2（ ） 除以12余10，即差2（ ） 属于“差同”情况（差2）。 根据口诀“差同减差”，这个数加2后能被8, 10, 12整除。 求 的最小公倍数。 最小公倍数： 。 所以这个数最小是 。 验证： ； ； 。正确。 【答案】 6. 一个两位数除以3余2，除以4余3，除以5余4。求这个两位数是多少？ 【详解】 观察余数特征：均比除数小1（差同）。 即：这个数 + 1 能被 3, 4, 5 整除。 。 所以这个数 + 1 = 60。 这个数 = 。 验证： ； ； 。且59是两位数。正确。 【答案】 7. 求 除以3的余数。 【详解】 找 除以3的余数规律： ， 余 ， 余 ， 余 规律：任何次方除以3都余1。 所以余数是 。 【答案】 8. 求 除以6的余数。 【详解】 找 除以6的余数规律： ， 余 ， 余 规律：任何次方除以6都余1。 所以余数是 。 【答案】 9. 求 除以8的余数。 【详解】 找 除以8的余数规律： → 余 → 余 → 余 → 余 规律：奇数次方余3，偶数次方余1。 是偶数。 所以余数是 。 【答案】 10. 两个整数相除，商是15，余数是8，且被除数与除数的和是344。求被除数是多少？ 【详解】 设除数为 ，则被除数为 。 根据题意列方程： 4 被除数 = 。 验证： ； （ ， ）。正确。 【答案】 11. 甲、乙两数，甲数除以乙数商7余5，且甲数比乙数大89。求乙数是多少？ 【详解】 根据题意：甲 = 乙 。 又因为：甲 - 乙 = 89。 代入： 。 验证：甲 = ； ； 。正确。 【答案】 12.一个两位数除以7余5，除以8余2。求这个两位数最小是多少？ 解： 除以8余2的数：2, 10, 18, 26, 34, 42... 找除以7余5的数： 2÷7余2 10÷7余3 18÷7余4 26÷7余5（ ， ） 所以是26。 【答案】 13. 一个数除以4余1，除以6余3。求这个数最小是多少？ 【详解】 这道题可以用“逐级满足法”。 先列出除以6余3的数： 从中找除以4余1的数： 余3（不符合） 余1（符合） 所以最小是 。 验证： ； 。正确。 【答案】 14. 有一堆苹果，3个3个地数余2个，5个5个地数余4个，7个7个地数正好数完。求这堆苹果至少有多少个？ 【详解】 根据题意： 除以3余2 除以5余4 除以7余0 先看前两个：除以3余2，除以5余4。发现都是“差1”（差同）。 即：这个数 + 1 是 3 和 5 的公倍数。 。 所以这个数 + 1 = 15, 30, 45, 60... 这个数 = 14, 29, 44, 59... 从中找是7的倍数（除以7余0）的数： 14 ÷ 7 = 2...0（符合） 所以最小是 。 验证： ； ； 。正确。 【答案】 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 余数问题 知识梳理 1. 带余除法的基本公式 (1)核心公式：被除数÷除数=商……余数（0≤余数<除数） (2)变形公式：被除数=除数×商+余数 (3)推论：被除数−余数=除数×商（即除数是"被除数与余数差值"的约数） 2. 同余问题的三大模型（口诀法） (1)余同取余：若a÷m余r，a÷n余r，则a是[m,n]的倍数+r（[m,n]表示m与n的最小公倍数） (2)和同加和：若a÷m余p，a÷n余q，且m+p=n+q，则a是[m,n]的倍数+(m+p) (3)差同减差：若a÷m余p，a÷n余q，且m−p=n−q，则a是[m,n]的倍数−(m−p) 3. 余数的周期性 (1)核心思想：幂运算的余数具有周期性，可通过列举前几项寻找规律 (2)常见周期： (3)2n除以3的余数周期为2（2,1,2,1…） (4)3n除以4的余数周期为2（3,1,3,1…） 4. 中国剩余定理（逐级满足法） (1)适用场景：无明显规律的同余方程组 (2)解题步骤： ①　从最大除数开始列举满足条件的数 ②　逐级代入其他条件筛选 例题讲解 【典型例题1】 一个自然数去除73余13，去除184余4，去除220余10，求这个数最大是多少？ 【跟踪训练1】 把97个苹果和128个梨平均分给六（1）班学生，剩下7个苹果和8个梨，问班级最多有多少人？ 【典型例题2】 一个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，求这个数最小是多少？ 【跟踪训练2】 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余5，求这个数最小是多少？ 【典型例题3】 求 除以7的余数。 【跟踪训练3】 求 除以13的余数。 【典型例题4】 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数16，且被除数、除数的和是877，求被除数和除数。 【跟踪训练4】 甲、乙两数和为2018，甲除以乙商9余18，求甲、乙。 提升练习 1. 一个自然数去除79余7，去除125余5，去除163余3。求这个自然数最大是多少？ 2. 把150块饼干和105颗糖果平均分给幼儿园大班的小朋友，结果饼干剩下6块，糖果剩下9颗。这个班最多有多少名小朋友？ 3. 一个数去除233余5，去除159余3，去除101余5。求这个数最大是多少？ 4. 一个数除以5余4，除以6余5，除以7余6。求这个数最小是多少？ 5. 一个数除以8余6，除以10余8，除以12余10。求这个数最小是多少？ 6. 一个两位数除以3余2，除以4余3，除以5余4。求这个两位数是多少？ 7. 求 除以3的余数。 8. 求 除以6的余数。 9. 求 除以8的余数。 10. 两个整数相除，商是15，余数是8，且被除数与除数的和是344。求被除数是多少？ 11. 甲、乙两数，甲数除以乙数商7余5，且甲数比乙数大89。求乙数是多少？ 12.一个两位数除以7余5，除以8余2。求这个两位数最小是多少？ 13. 一个数除以4余1，除以6余3。求这个数最小是多少？ 14. 有一堆苹果，3个3个地数余2个，5个5个地数余4个，7个7个地数正好数完。求这堆苹果至少有多少个？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $