小升初奥数培优讲义专题09 分解质因数的巧用（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学·通用版

专题09 分解质因数的巧用 知识梳理 1.核心概念 (1)质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。 (2)分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 (3)注意：1既不是质数也不是合数，因此1不能作为质因数。 2.基本方法 (1)短除法：从最小的质数（2, 3, 5...）开始除起，一直除到商是质数为止，最后将所有除数和商写成连乘形式。 (2)树枝分解法：将合数拆分为两个因数的乘积，若因数仍为合数则继续拆分，直到所有分支末端都是质数。 3.高频考点与公式 (1)求因数个数：若 ，则 的因数总个数为 。 (2)求最大公因数与最小公倍数： ①　最大公因数：取所有公共质因数的最低次幂之积。 ②　最小公倍数：取所有质因数（公有与独有）的最高次幂之积。 (3)完全平方数特征：分解质因数后，所有质因数的指数均为偶数。 例题讲解 【典型例题1】 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁（即四个连续自然数），而他们年龄的乘积是5040。那么，这四个学生的年龄分别是多少？ 【分析】 本题已知四个连续自然数的乘积，要求这四个数。直接猜测比较困难，我们可以利用分解质因数的方法，将5040分解成质因数的乘积，然后将这些质因数重新组合，拼成四个连续的整数。 【详解】 第一步：对5040进行分解质因数。 即： 第二步：将质因数组合成四个连续自然数。 观察质因数，其中有一个较大的质数7，它不可能由其他小质数合成，所以7一定是其中一个年龄。 那么这四个连续自然数中必然包含7。可能的组合有： 4, 5, 6, 7 5, 6, 7, 8 6, 7, 8, 9 7, 8, 9, 10 我们来验证一下： 若包含7, 8, 9, 10： ； ； ； 。 它们的乘积为： ，正好等于5040。 【答案】 这四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。 【跟踪训练1】 三个连续自然数的乘积是17550，那么这三个自然数的和是多少？ 【分析】 与例题1类似，先将17550分解质因数，再将其重组为三个连续自然数。 【详解】 第一步：分解质因数。 第二步：重组。 观察质因数，最大的质数是13，所以这三个数应该在13附近。 尝试组合： 乘积正好是 。 所以这三个数是25, 26, 27。 第三步：求和。 。 【答案】 78 【典型例题2】 小聪的妹妹参加了中学数学竞赛，妹妹告诉小聪：“我得的名次、岁数和分数乘起来是2910，而且我的分数很高。”你知道妹妹的名次、岁数和分数各是多少吗？ 【分析】 这是一个典型的“数字谜”类问题。我们需要将2910分解质因数，然后根据实际生活常识（如中学生的年龄范围、竞赛分数的范围、名次通常是较小的整数）来筛选组合。 【详解】 第一步：分解质因数。 即： 第二步：逻辑推理与组合。 这里有四个质因数：2, 3, 5, 97。 关于97：97是一个大质数。它不可能是年龄（人不可能97岁还在上中学），也不太可能是名次（除非参赛人数极少，但通常竞赛名次靠前是个位数或两位数）。最合理的解释是，97是分数（满分100分，97分是高分，符合“分数很高”的描述）。 关于年龄：剩下的因数是2, 3, 5。妹妹是中学生，年龄一般在12-15岁之间。 单独看：2岁、3岁、5岁都不可能。 组合看： 岁（偏小，一般是小学四年级）； 岁（不可能）； 岁（符合中学生年龄）。 所以，年龄应该是15岁（即 ）。 关于名次：剩下的因数只有2了。所以名次是第2名。 验证： 。符合题意。 【答案】 妹妹的名次是第2名，岁数是15岁，分数是97分。 【跟踪训练2】 张伟今年参加学校举行的数学竞赛，他说：“我的得分、名次和我的年龄连乘积正好是2328。”那么张伟今年多少岁？ 【分析】 同样先分解质因数，再根据“小学生/初中生”的年龄特征进行判断。 【详解】 第一步：分解质因数。 即： 第二步：组合分析。 同样出现了大质数97，极大概率是分数。 剩下的质因数是 。 张伟参加竞赛，通常是小学高年级或初中生，年龄在10-14岁左右。 组合剩下的因数： （偏小） （符合六年级或初一学生年龄） （太小） 如果年龄是12岁（ ），那么名次就是剩下的2。 验证： 。 【答案】 张伟今年12岁。 【典型例题3】 已知一个自然数 的标准分解式是 ，请问 一共有多少个因数？ 【分析】 这道题考查分解质因数的一个重要应用——求因数个数公式。 公式：如果一个数 ，那么它的因数个数就是指数加1后的乘积，即 。 【详解】 的质因数分解式为： 质因数2的指数是3，对应项为 质因数3的指数是2，对应项为 质因数5的指数是1，对应项为 因数总个数 = 【答案】 24个 【跟踪训练3】 求自然数360的因数个数，并求出360的所有因数之和。 【分析】 第一问利用因数个数公式；第二问利用因数和公式：所有因数的和等于各质因数幂次和的乘积。即若 ，则因数和 。 【详解】 第一步：分解360。 第二步：求因数个数。 指数分别是3, 2, 1。 个数 = 个。 第三步：求因数之和。 2的幂次和： 3的幂次和： 5的幂次和： 总和 = 【答案】 因数个数为24个，因数之和为1170。 提升练习 1. 三个连续偶数的乘积是480，求这三个偶数的和。 【详解】 首先将480分解质因数： 因为是连续偶数，必含有质因数2。 观察质因数，尝试组合： 4. 是质数，必须包含在其中一个数里。 5. 也是质数。 尝试包含 的组合： 6.若三个数为 ： 乘积： ，符合。 这三个数是6, 8, 10。 求和： 。 【答案】 24 2. 两个连续自然数的乘积是306，这两个数的差是多少？ 【详解】 分解306： 观察最大的质因数17，它必须是其中一个数。 那么另一个数可能是16或18。 （不对） （正确）。 ，正好符合分解式。 两个连续自然数是17和18。 它们的差永远是1。 【答案】 1 3. 四个连续自然数的乘积是11880，其中最大的那个数是多少？ 【详解】 分解11880： 观察质因数11，它必须是其中一个数。 可能的组合包含11： ： 缺少一个3（因为分解式中有 ）。 ： 合并： ，完全符合。 最大的数是12。 【答案】 12 4. 一个长方体的长、宽、高都是整厘米数，且它们的乘积是1995，已知长方体的高是奇数且大于10厘米。求高是多少厘米？ 【详解】 分解1995： 质因数为：3, 5, 7, 19。 已知高是奇数且>10。 可能的奇数组合： (>10, 符合) (>10, 符合) (>10, 符合) (本身>10, 符合) 题目没有更多限制，但通常此类题只有一个合理的因数符合“高”的特征（即不能太大，否则长宽会是1）。 如果高是35，则长宽乘积为 ，长宽可以是3和19，成立。 如果高是19，则长宽乘积为 ，长宽可以是15和7，成立。 注意：此题多解，但若按常规“高”是最大维度，或者题目隐含唯一解，通常取最大的质因数或特定组合。 但根据标准分解，最合理的答案是取19（因为它是单独的大质数，通常作为高）。 验证： ，若高=19，长=15，宽=7，成立。 【答案】 19 5. 某校举行数学竞赛，小明说：“我的名次、分数和年龄的乘积是2522。”已知小明是六年级学生，且分数在90分以上。请问小明得了第几名？ 【详解】 分解2522： 先除以2： 。 1261需要试除： （因为 ）。 所以： 。 分数在90分以上，必然是97。 剩下的 。 26需要拆分为“名次”和“年龄”。 小明是六年级，年龄约12岁。 。 若年龄是13岁，名次是2。 若年龄是26岁（不可能），名次是1。 所以年龄是13岁（六年级可能），名次是第2名。 【答案】 第2名 6. 一个房间的长、宽和高度（单位：米）都是整数，且它们的乘积是2310。如果房间的高度是质数，那么这个房间的高可能是多少米？（写出所有可能） 【详解】 分解2310： 高度是质数，那么高度只能是上述分解式中的单个质因数。 即高度可能是：2, 3, 5, 7, 11。 这些都是质数，且剩下的因数可以组成整数的长和宽。 所以所有可能的高度就是这5个质因数。 【答案】 2米、3米、5米、7米或11米 7. 一个长方体的表面积是52平方厘米，体积是24立方厘米。已知长宽高都是整数，求长方体的长宽高。 【详解】 体积 。 表面积 ，即 。 分解24： 。 找三个整数，积为24，两两乘积和为26。 枚举： ： （太大）。 ： 。 ： 。 ： 。 ： 。 ： 。符合！ 所以长宽高是2, 3, 4。 【答案】 2厘米、3厘米、4厘米 8. 求自然数 的因数一共有多少个？ 【详解】 分解180： 因数个数公式： 【答案】 18个 9. 求自然数 的所有因数的个数。 【详解】 直接应用公式： 指数分别为4和2。 个数 = 。 【答案】 15个 10. 求自然数 的所有因数之和。 【详解】 分解100： 因数和公式： 的幂次和： 的幂次和： 总和： 。 【答案】 217 11. 已知一个数 ，求 的所有因数的和。 【详解】 的幂次和： 的幂次和： 的幂次和： 总和： 。 先算 ，再 。 【答案】 936 12. 一个数减去12后是一个完全平方数，这个数加上13后也是一个完全平方数。求这个数。 【详解】 设这个数为 。 两式相减： 25的分解： ：则 。解得 。 ：则 。解得 （ 时 ， 是平方数，也成立，但通常考虑正整数）。 若 ，则 。 验证： 。正确。 若 ，则 。 。也正确。 通常取较大的解。 【答案】 156（或12） 13. 两个数的最大公因数是6，最小公倍数是72。如果其中一个数是18，另一个数是多少？ 【详解】 利用公式：两数乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数。 设另一个数为 。 验证（用分解质因数法）： 最大公因数：取公共最低次幂 。 最小公倍数：取最高次幂 。 符合。 【答案】 24 14. 一个长方形的周长是24米，长和宽都是整米数。如果长和宽的最大公因数是3，那么这个长方形的面积最大是多少平方米？ 【详解】 周长24米，则长+宽=12米。 长和宽都是3的倍数（因为最大公因数是3）。 设长= ，宽= ，且 和 互质（最大公因数为1）。 则 ，即 。 互质的正整数对 满足 ： （1和3互质）。 （2和2不互质，最大公因数是2，舍去）。 所以只有 （或反之）。 长= 米，宽= 米。 面积= 平方米。 【答案】 27平方米 15. 一个自然数有12个因数，这个数最小是多少？ 【详解】 因数个数为12。 12的分解方式决定了质因数的指数形式： ，对应形式 。最小为 。 ，对应形式 。最小为 。 ，对应形式 。最小为 。 ，对应形式 。最小为 。 比较 。 最小的是 60。 【答案】 60 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 分解质因数的巧用 知识梳理 1.核心概念 (1)质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。 (2)分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 (3)注意：1既不是质数也不是合数，因此1不能作为质因数。 2.基本方法 (1)短除法：从最小的质数（2, 3, 5...）开始除起，一直除到商是质数为止，最后将所有除数和商写成连乘形式。 (2)树枝分解法：将合数拆分为两个因数的乘积，若因数仍为合数则继续拆分，直到所有分支末端都是质数。 3.高频考点与公式 (1)求因数个数：若 ，则 的因数总个数为 。 (2)求最大公因数与最小公倍数： ①　最大公因数：取所有公共质因数的最低次幂之积。 ②　最小公倍数：取所有质因数（公有与独有）的最高次幂之积。 (3)完全平方数特征：分解质因数后，所有质因数的指数均为偶数。 例题讲解 【典型例题1】 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁（即四个连续自然数），而他们年龄的乘积是5040。那么，这四个学生的年龄分别是多少？ 【跟踪训练1】 三个连续自然数的乘积是17550，那么这三个自然数的和是多少？ 【典型例题2】 小聪的妹妹参加了中学数学竞赛，妹妹告诉小聪：“我得的名次、岁数和分数乘起来是2910，而且我的分数很高。”你知道妹妹的名次、岁数和分数各是多少吗？ 【跟踪训练2】 张伟今年参加学校举行的数学竞赛，他说：“我的得分、名次和我的年龄连乘积正好是2328。”那么张伟今年多少岁？ 【典型例题3】 已知一个自然数 的标准分解式是 ，请问 一共有多少个因数？ 【跟踪训练3】 求自然数360的因数个数，并求出360的所有因数之和。 提升练习 1. 三个连续偶数的乘积是480，求这三个偶数的和。 2. 两个连续自然数的乘积是306，这两个数的差是多少？ 3. 四个连续自然数的乘积是11880，其中最大的那个数是多少？ 4. 一个长方体的长、宽、高都是整厘米数，且它们的乘积是1995，已知长方体的高是奇数且大于10厘米。求高是多少厘米？ 5. 某校举行数学竞赛，小明说：“我的名次、分数和年龄的乘积是2522。”已知小明是六年级学生，且分数在90分以上。请问小明得了第几名？ 6. 一个房间的长、宽和高度（单位：米）都是整数，且它们的乘积是2310。如果房间的高度是质数，那么这个房间的高可能是多少米？（写出所有可能） 7. 一个长方体的表面积是52平方厘米，体积是24立方厘米。已知长宽高都是整数，求长方体的长宽高。 8. 求自然数 的因数一共有多少个？ 9. 求自然数 的所有因数的个数。 10. 求自然数 的所有因数之和。 11. 已知一个数 ，求 的所有因数的和。 12. 一个数减去12后是一个完全平方数，这个数加上13后也是一个完全平方数。求这个数。 13. 两个数的最大公因数是6，最小公倍数是72。如果其中一个数是18，另一个数是多少？ 14. 一个长方形的周长是24米，长和宽都是整米数。如果长和宽的最大公因数是3，那么这个长方形的面积最大是多少平方米？ 15. 一个自然数有12个因数，这个数最小是多少？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $