平面向量数量积的坐标表示 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ ( 思维导图 ) ( 常见 题型 ) 题型一 数量积的坐标运算 【例1】（1）向量，，则（ ） A．1 B． C．7 D．0 （2）已知向量，，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． （3）已知，，则在上的投影的数量为（ ） A． B． C． D． （4）已知向量，，若，则等于（ ） A． B． C． D． （5）设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围______. 题型二 巧建坐标解数量积 【例2】（1）如图，边长为1的等边△ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点， 则的取值范围是（　　） A．[﹣，0] B．[0，] C．[﹣，+∞） D．[﹣，0] （2）在中，，，为所在平面上任意一点，则 的最小值为（ ） A．1 B． C．－1 D．-2 题型三 数量积与三角函数综合运用 【例3】（1）已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. （2）向量，且，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 题型四 数量积与几何的综合运用 【例4】已知向量，，. （1）若点，，能够成三角形，求实数应满足的条件； （2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值. ( 巩固精练 ) 1．若则（ ） A．-5 B．5 C．-6 D．6 2．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ） A．1 B． C． D．-1 3．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，若，，则（ ） A．14 B．-14 C．10 D．6 5．向量，，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 6．已知向量,若,则( ) A．1 B． C． D． 7．已知向量，，将函数的图象沿轴向左平移 个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知是锐角，，，且，则为（ ） A．15° B．45° C．75° D．15°或75° 9．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 10．一个平行四边形的三个顶点坐标分别是、、，则第四个顶点的坐标不可 能是（ ） A． B． C． D． 11．（多选题）已知向量，，若，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．（多选题）设向量，，则（ ） A． B． C． D．与的夹角为 13．已知向量，，.若与垂直，则向量与的夹角的余 弦值是______. 14．已知向量，与向量 （1）当为何值时，； （2）当为何值时，求向量与向量的夹角； （3）求的最小值以及取得最小值时向量的坐标． 15．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且． （1）求； （2）若（，），求的值. 16．在平面直角坐标系中，已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求的值． 17．已知向量. （1）若，求tan2x的值； （2）若f（x）＝•，则函数f（x）的值域． 18．已知平面上三点，，. （1）若，求实数的值. （2）若是以为斜边的直角三角形，求实数的值. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ ( 思维导图 ) ( 常见 题型 ) 题型一 数量积的坐标运算 【例1】（1）向量，，则（ ） A．1 B． C．7 D．0 （2）已知向量，，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． （3）已知，，则在上的投影的数量为（ ） A． B． C． D． （4）已知向量，，若，则等于（ ） A． B． C． D． （5）设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围______. 【答案】（1）B（2）C（3）B（4）D（5） 【解析】（1）因为，，所以，故选：B. （2）设与的夹角为，则， 又，，即与的夹角是.故选：C （3）由题意知，，在上的投影的数量为，故选：B. （4）因为，所以，解得：，故选：D （5）因为与的夹角为钝角，且不反向， ， 即解得 当两向量反向时，存在使即，解得 所以的取值范围.故答案为：. 题型二 巧建坐标解数量积 【例2】（1）如图，边长为1的等边△ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点，则的 取值范围是（　　） A．[﹣，0] B．[0，] C．[﹣，+∞） D．[﹣，0] 【答案】A 【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下所示： 故可得，设点， 因为点在线段上，故可得. 故， 故当时，取得最小值， 当或时，取得最大值.故.故选：A. （2）在中，，，为所在平面上任意一点，则 的最小值为（ ） A．1 B． C．－1 D．-2 【答案】C 【解析】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设， ，，，， ∴， ∴当时，取得最小值． 故选：C． 题型三 数量积与三角函数综合运用 【例3】（1）已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. 【答案】（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值. 【解析】（1）因为，所以，于是， 又，所以； （2）. 因为，所以，从而 于是，当，即时，取到最大值2； 当，即时，取到最小值. （2）向量，且，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】由题意可得 ，即 ． ∴，故选A． 题型四 数量积与几何的综合运用 【例4】已知向量，，. （1）若点，，能够成三角形，求实数应满足的条件； （2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）已知向量，，， 若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线. ，，故知，∴实数时，满足条件. （2）若为直角三角形，且为直角，则，∴，解得. ( 巩固精练 ) 1．若则（ ） A．-5 B．5 C．-6 D．6 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A. 2．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ） A．1 B． C． D．-1 【答案】B 【解析】由题意，，，可得，则， 所以，， 所以向量在向量方向上的投影为.故选：B. 3．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得，， ∴.故选：D. 4．已知向量，，，若，，则（ ） A．14 B．-14 C．10 D．6 【答案】C 【解析】向量，，， ，可得，解得，， ，可得，解得， ，则．故选：． 5．向量，，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为与的夹角，，， 则，， 又，. 故选：. 6．已知向量,若,则( ) A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，整理得， 所以，故选：A. 7．已知向量，，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 将函数的图象向左平移个单位，得到， 该函数的图象关于原点对称，该函数是奇函数， ，，，，又，.故选：D. 8．已知是锐角，，，且，则为（ ） A．15° B．45° C．75° D．15°或75° 【答案】D 【解析】，，， ， 又，则， 或，解得15°或75°.故选：D 9．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若，则，即， 所以.故选：A 10．一个平行四边形的三个顶点坐标分别是、、，则第四个顶点的坐标不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点、、，设第四个顶点为，分以下三种情况讨论： ①若四边形为平行四边形，则，即， 即，解得，此时，点的坐标为； ②若四边形是平行四边形，则，则， 即，解得，此时，点的坐标为； ③若四边形为平行四边形，则，即， 即，解得，此时，点的坐标为. 综上所述，第四个顶点的坐标为或或，所以不可能是，故选：D. 11．（多选题）已知向量，，若，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】AC 【解析】因为向量，，所以， 若，则，即，解得或， 故A正确，B错； 当时，； 当时，； 故C正确，D错.故选：AC. 12．（多选题）设向量，，则（ ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】CD 【解析】因为，， 所以，所以，故A错误； 因为，，所以，又， 则，所以与不平行，故B错误； 又，故C正确； 又， 又与的夹角范围是，所以与的夹角为，故D正确.故选：CD. 13．已知向量，，.若与垂直，则向量与的夹角的余弦值是______. 【答案】 【解析】由已知，， ∵与垂直，∴，∴， ∴以．故答案为：． 14．已知向量，与向量 （1）当为何值时，； （2）当为何值时，求向量与向量的夹角； （3）求的最小值以及取得最小值时向量的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）最小值3，． 【解析】（1），，所以时，； （2）由题意，，所以； （3）由已知， 所以，所以时，取得最小值3，此时． 15．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且． （1）求； （2）若（，），求的值. 【答案】（1）14；（2）. 【解析】如图，分别以边，所在的直线为轴，轴， 点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，，. （1）∵，，∴. （2）∵，，， 由，得，∴解得∴. 16．在平面直角坐标系中，已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求的值． 【答案】（1）（2）． 【解析】（1）∵，∴，故，∴． （2）∵与的夹角为，∴，故， 又，∴，，即．故的值为． 17．已知向量. （1）若，求tan2x的值； （2）若f（x）＝•，则函数f（x）的值域． 【答案】（1）,（2） 【解析】（1）因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以. （2）， 因为，所以，所以， 所以. 18．已知平面上三点，，. （1）若，求实数的值. （2）若是以为斜边的直角三角形，求实数的值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由于，则， 解得. （2） 由题意得为直角，则. 即，故. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $