6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 | 平面向量及其应用 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 明确目标 发展素养 1.能用坐标表示平面向量的数量积． 2.会表示两个向量的夹角． 3.能用坐标表示平面向量的条件垂直. 通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，提升数学运算、逻辑推理素养. 知识点　平面向量数量积的坐标表示 (一)教材梳理填空 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有： 坐标表示 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ 或|a|2＝x＋y 两点间 距离公式 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则|P1P2―→|＝ 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 夹角 cos θ＝＝ [微思考]　已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？ 提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向． 易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°.(×) (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0. (×) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．(×) 2．已知＝(3，－4)，则||等于(　　) A．3　　　　　　　　　 B．4 C. D．5 答案：D 3．若向量a＝(4,2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是(　　) A．12 B．3 C．－3　　 　D．－12 答案：D 4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a·b＝________，a与b夹角的余弦值为________． 答案：63　 题型一　向量数量积的坐标运算 【学透用活】 (1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)． (2)公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导． (3)若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． [典例1]　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上．若·＝，则·＝________. (2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. ①求a的坐标； ②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c. [解析]　(1)以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)． 可设F(x,2)，因为·＝(，0)·(x,2)＝x＝，所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝. 答案： (2)①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a＝(2,4)． ②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， ∴a(b·c)＝0a＝(0,0)，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)． 【对点练清】 1．已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝ (　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 解析：选B　因为a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)， 所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 2．已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：选C　∵＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)， ||＝1，∴＝1，解得t＝3， ∴＝(1,0)，∴·＝2×1＋3×0＝2. 题型二　向量模的问题 【学透用活】 [典例2]　(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　) A. B．2 C．5 D．50 (2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________． [解析]　(1)∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴|a－b|＝＝. (2)∵2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)， ∴|2a－b|＝ ＝＝， 当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋. [答案]　(1)A　(2)2＋ 【对点练清】 1．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．5 D．25 解析：选C　∵a＝(2,1)，∴a2＝5，又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为________． 解析：∵a＝(1,2)，b＝(－3,4)，∴c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)，∴|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝25λ2＋10λ＋5＝252＋4.当λ＝－时，|c|min＝2. 答案：－ 题型三　向量的夹角和垂直问题 【学透用活】 [典例3]　设平面上向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α≤90°)，b＝. (1)求a与b的夹角θ； (2)求证：a＋b与a－b垂直． [解]　(1)由题意知，|a|＝1，|b|＝1， a·b＝－cos α＋sin α，则cos θ＝＝＝－cos α＋sin α＝cos(120°－α)． ∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°－α，即两向量的夹角为120°－α. (2)证明：∵(a＋b)·(a－b) ＝· ＝＋ ＝cos2α－＋sin2α－＝1－－＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)． 【对点练清】 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 解析：选D　因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)·(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 2．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________． 解析：不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直 角坐标系， 则a＝(2，－1)，b＝(3,2)， 所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)，所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，|a＋b|＝，|a－b|＝，所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为＝－. 答案：－ 层级(一)　“四基”落实练 1．在△ABC中，C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则实数k的值是(　　) A．5　　　　　　　　 B．－5 C. D．－ 解析：选A　＝－＝(2－k,2)． ∵C＝90°，∴⊥，∴2(2－k)＋6＝0，解得k＝5. 2．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 解析：选B　∵cos A＝＝＝0，∴A＝.故选B. 3．已知a＝(1,2)，b＝(－1，)，则a·b＋|b|＝(　　) A．1 B．1＋ C．1＋2 D．2 解析：选C　因为a·b＝(1,2)·(－1，)＝－1＋2，|b|＝2，所以a·b＋|b|＝－1＋2＋2＝1＋2. 4．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　　) A．x＝－3是a⊥b的必要条件 B．x＝－3是a∥b的必要条件 C．x＝0是a⊥b的充分条件 D．x＝－1＋是a∥b的充分条件 解析：选C　a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确．a∥b⇔2x＋2＝x2⇔x2－2x－2＝0⇔x＝1±，故B，D错误． 5．(多选)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，a，b的夹角为θ，b方向上的单位向量为e.则 (　　) A．b＝(5,12) B．a·b＝16 C．cos θ＝ D．a在b上的投影向量为e 解析：选BCD　∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)． 又2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)， ∴a·b＝－20＋36＝16. 又|a|＝5，|b|＝13，∴cos θ＝＝. ∴a在b上的投影向量为e＝e. 6．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________. 解析：∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)， ∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4， |a|＝＝2，|b|＝＝10. ∴cos〈a，b〉＝＝＝－. 答案：－ 7.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D 被阴影遮住，找出D点的位置，计算·的值为________． 解析：以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以·＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11. 答案：11 8．已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)． (1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值； (2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值． 解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(1，－1)，所以2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)．所以cos θ＝＝＝. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝. (2)ka－b＝(k－1,2k＋1)，依题意(3,3)·(k－1,2k＋1)＝0，所以3k－3＋6k＋3＝0，所以k＝0. 层级(二)　能力提升练 1．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于(　　) A．16 B．12 C．8 D．－4 解析：选A　以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(4,0)，B(0,0)，C(0，6)，D(2,3)． 设E(0，t)，则·＝(2,3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0， ∴t＝，即E，∴·＝·(0,6)＝16. 2．在梯形ABCD中，∥，⊥，||＝2，||＝2||，若点P在线段BC上，则|＋3的最小值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选B　 如图，以点B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系． 设||＝d，则B(0,0)，A(0,2)，C(2d,0)，D(d,2)， 设P(p,0)，其中0≤p≤2d， 所以＝(2d－p,0)，＝(d－p,2)， 则＋3＝(5d－4p,6)， 所以|＋3＝≥6， 当且仅当5d＝4p， 即p＝时取等号． 所以|＋3的最小值是6. 3．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________. 解析：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系．可得A(2,0)，B(0,2)， P(1,1)，C(0,0)，则·＋·＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4. 答案：4 4．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． 解：(1)由题意知＝(3,5)，＝(－1,1)， 则＋＝(2,6)，－＝(4,4)． 所以|＋|＝2，|－|＝4. 故所求的两条对角线的长分别为2，4. (2)由题意知，＝(－2，－1)， －t＝(3＋2t,5＋t)． 由(－t)·＝0， 得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t＝－11，所以t＝－. 5．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)． (1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2， ∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2， 可得解得或 故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)． (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0， 整理得a·b＝－，∴cos θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π. 层级(三)　素养培优练 已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值． 解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， ∴＝(1,1)，＝(－3,3)．又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，即AB⊥AD. (2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝. 设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)， ∴得∴C点坐标为(0,5)．由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，∴·＝8＋8＝16>0，||＝2，||＝2.设与夹角为θ， 则cos θ＝＝＝>0， ∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 | 平面向量及其应用 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 明确目标 发展素养 1.能用坐标表示平面向量的数量积． 2.会表示两个向量的夹角． 3.能用坐标表示平面向量的条件垂直. 通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，提升数学运算、逻辑推理素养. 知识点　平面向量数量积的坐标表示 (一)教材梳理填空 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有： 坐标表示 数量积 a·b＝ 模 |a|＝ 或|a|2＝ 两点间 距离公式 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则|P1P2―→|＝ 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔ 夹角 cos θ＝＝ [微思考]　已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？ 提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向． 易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°.( ) (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0. ( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) 2．已知＝(3，－4)，则||等于(　　) A．3　　　　　　　　　 B．4 C. D．5 3．若向量a＝(4,2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是(　　) A．12 B．3 C．－3　　 　D．－12 4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a·b＝________，a与b夹角的余弦值为________． 题型一　向量数量积的坐标运算 【学透用活】 (1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)． (2)公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导． (3)若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． [典例1]　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上．若·＝，则·＝________. (2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. ①求a的坐标； ②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c. 【对点练清】 1．已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝ (　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 2．已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 题型二　向量模的问题 【学透用活】 [典例2]　(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　) A. B．2 C．5 D．50 (2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________． 【对点练清】 1．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．5 D．25 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为________． 题型三　向量的夹角和垂直问题 【学透用活】 [典例3]　设平面上向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α≤90°)，b＝. (1)求a与b的夹角θ； (2)求证：a＋b与a－b垂直． 【对点练清】 1．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 2．如图，在2 4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________． 层级(一)　“四基”落实练 1．在△ABC中，C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则实数k的值是(　　) A．5　　　　　　　　 B．－5 C. D．－ 2．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 3．已知a＝(1,2)，b＝(－1，)，则a·b＋|b|＝(　　) A．1 B．1＋ C．1＋2 D．2 4．(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(　　) A．x＝－3是a⊥b的必要条件 B．x＝－3是a∥b的必要条件 C．x＝0是a⊥b的充分条件 D．x＝－1＋是a∥b的充分条件 5．(多选)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，a，b的夹角为θ，b方向上的单位向量为e.则 (　　) A．b＝(5,12) B．a·b＝16 C．cos θ＝ D．a在b上的投影向量为e 6．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________. 7.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D 被阴影遮住，找出D点的位置，计算·的值为________． 8．已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)． (1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值； (2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值． 层级(二)　能力提升练 1．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于(　　) A．16 B．12 C．8 D．－4 2．在梯形ABCD中，∥，⊥，||＝2，||＝2||，若点P在线段BC上，则|＋3的最小值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________. 4．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． 5．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)． (1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 层级(三)　素养培优练 已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $