6.2.3 向量的数乘运算（讲义）高一数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算 知识点一 向量的数乘运算 1、向量的数乘的定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、向量的数乘的几何意义 （1）当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这就意味着表示向量a的有向线段在原方向（λ＞1）或反方向（λ<－1）上伸长到原来的|λ|倍； （2）当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这就意味着表示向量a的有向线段在原方向（0<λ<1）或反方向（－1<λ<0）上缩短到原来的|λ|倍． 3、向量的数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb． 4、线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 即学即练下列各式计算正确的有（    ） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点二 向量共线定理 1、向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa． 2、向量共线的应用——求参 一般地，解决向量a，b共线的求参问题，可用两个不共线的向量（如e1，e2）表示向量a，b， 设b=λa(a≠0)，化成关于e1，e2的方程，由于e1，e2不共线，则解方程组即可 3、三点共线定理 已知平面内三点A,B,C，O为不同于A,B,C的任意一点，A,B,C三点共线当且仅当存在实数，使得，且． 即学即练（24-25高一下·江苏连云港·期中）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 题型01 向量的线性运算 遵循“先去括号、再数乘、后合并”的顺序，利用数乘运算律，合并同类向量（同向、反向向量），简化表达式． 典｜例｜精｜析 【例题1】（24-25高一下·上海普陀·月考）已知向量、，则等于______. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·四川遂宁·月考）若，则______. 【变式1-3】（24-25高一下·广东湛江·月考）（多选）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02 用已知向量表示相关向量 结合图形性质（中点、分点、平行关系），将未知向量转化为已知向量的线性组合（数乘+加、减法）；优先利用共线向量的数乘关系，找到基准向量，逐步推导未知向量表达式． 典｜例｜精｜析 【例题2】（24-25高一下·北京·月考）设D为所在平面内一点，则（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】（2026·江苏镇江·模拟预测）在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·陕西西安·模拟预测）在等腰梯形中，，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型03 向量共线及其应用 利用共线向量定理：非零向量a与b共线存在唯一实数λ，使b=λa；解题时，将两向量转化为同一基准向量的数乘形式，判断是否存在唯一λ，或利用共线条件求参数值． 典｜例｜精｜析 【例题3】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】（24-25高一下·广东广州·月考）已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（    ） A．-1 B． C．1或 D．-1或 【变式3-2】（24-25高一下·云南文山·月考）（多选）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（    ） A．且 B．存在相异实数，使 C．当时， D．已知梯形，其中 【变式3-3】（24-25高一下·河南郑州·月考）（多选）已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（    ） A． B． C． D． 题型04 三点共线及其应用 三点共线问题的证明及求解思路 1、证明三定共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据； 2、若三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据． 典｜例｜精｜析 【例题4】（24-25高一下·江苏南京·月考）设是不共线的两个平面向量，已知，．若 三点共线，则实数k的值为________． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】（24-25高一下·重庆·月考）已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式4-2】（24-25高一下·广东东莞·月考）已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则______. 【变式4-3】（24-25高一下·安徽·月考）设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为_____. 题型05 利用线性运算求解三角形面积比问题 利用向量数乘的几何意义（模的缩放），结合三角形面积公式（同底等高面积相等，底或高成比例则面积成比例）；通过向量共线关系，确定三角形底或高的比例，进而求出面积比． 典｜例｜精｜析 【例题5】在中，为三角形所在平面内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】（25-26高二上·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·重庆南岸·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·广西玉林·月考）已知为内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 题型06 向量共线定理的推论及应用 若点B在直线AC上，则存在实数λ，μ使（O为任意点）且反之亦然。解题时，利用推论建立方程，求解参数或证明点共线． 典｜例｜精｜析 【例题6】（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】（24-25高一下·广东·月考）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式6-3】（24-25高一下·广西河池·月考）在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算 知识点一 向量的数乘运算 1、向量的数乘的定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、向量的数乘的几何意义 （1）当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这就意味着表示向量a的有向线段在原方向（λ＞1）或反方向（λ<－1）上伸长到原来的|λ|倍； （2）当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这就意味着表示向量a的有向线段在原方向（0<λ<1）或反方向（－1<λ<0）上缩短到原来的|λ|倍． 3、向量的数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb． 4、线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 即学即练下列各式计算正确的有（    ） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】①③④正确，②错，因.故选：C 知识点二 向量共线定理 1、向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa． 2、向量共线的应用——求参 一般地，解决向量a，b共线的求参问题，可用两个不共线的向量（如e1，e2）表示向量a，b， 设b=λa(a≠0)，化成关于e1，e2的方程，由于e1，e2不共线，则解方程组即可 3、三点共线定理 已知平面内三点A,B,C，O为不同于A,B,C的任意一点，A,B,C三点共线当且仅当存在实数，使得，且． 即学即练（24-25高一下·江苏连云港·期中）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】向量与向量共线， 设，故，解得.故选：B 题型01 向量的线性运算 遵循“先去括号、再数乘、后合并”的顺序，利用数乘运算律，合并同类向量（同向、反向向量），简化表达式． 典｜例｜精｜析 【例题1】（24-25高一下·上海普陀·月考）已知向量、，则等于______. 【答案】 【解析】. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，故选：D 【变式1-2】（24-25高一下·四川遂宁·月考）若，则______. 【答案】 【解析】由， 得，即 【变式1-3】（24-25高一下·广东湛江·月考）（多选）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确.故选：ABD 题型02 用已知向量表示相关向量 结合图形性质（中点、分点、平行关系），将未知向量转化为已知向量的线性组合（数乘+加、减法）；优先利用共线向量的数乘关系，找到基准向量，逐步推导未知向量表达式． 典｜例｜精｜析 【例题2】（24-25高一下·北京·月考）设D为所在平面内一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以.故选：C. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】（2026·江苏镇江·模拟预测）在中，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设交于， 因为，， 所以，， 则,故选：A 【变式2-2】（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以.故选：B. 【变式2-3】（2025·陕西西安·模拟预测）在等腰梯形中，，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知在等腰梯形中，，如下图： ， ，故选：B 题型03 向量共线及其应用 利用共线向量定理：非零向量a与b共线存在唯一实数λ，使b=λa；解题时，将两向量转化为同一基准向量的数乘形式，判断是否存在唯一λ，或利用共线条件求参数值． 典｜例｜精｜析 【例题3】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，设，则， 即，解得，故选：C. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】（24-25高一下·广东广州·月考）已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（    ） A．-1 B． C．1或 D．-1或 【答案】B 【解析】因为向量，不共线，且向量，，与方向相反， 所以存在实数使， 则，即， 所以，整理得，解得或， 又，所以.故选：B. 【变式3-2】（24-25高一下·云南文山·月考）（多选）已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（    ） A．且 B．存在相异实数，使 C．当时， D．已知梯形，其中 【答案】AB 【解析】A．联立和消去向量可得出，且共线； B．都是非零向量，且都不为共线； C．当时，满足，此时对任意的向量都有得不出共线； D．与不一定平行，得不出共线．故选：AB. 【变式3-3】（24-25高一下·河南郑州·月考）（多选）已知是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，，故，即，故A正确； 对于B，因为，，则，故B正确； 对于C，，， 由于不共线，故，所以向量不平行，故C错误． 对于D，，故，此时，故D正确，故选：ABD． 题型04 三点共线及其应用 三点共线问题的证明及求解思路 1、证明三定共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据； 2、若三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据． 典｜例｜精｜析 【例题4】（24-25高一下·江苏南京·月考）设是不共线的两个平面向量，已知，．若 三点共线，则实数k的值为________． 【答案】 【解析】因三点共线，则存在，满足， 即，因是不共线的两个平面向量， 故可得，解得. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】（24-25高一下·重庆·月考）已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由，，，得， 由，，三点共线，得存在实数，使得，即， 因此，解得.故选：C 【变式4-2】（24-25高一下·广东东莞·月考）已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则______. 【答案】13 【解析】因为A，B，C三点共线，所以设， 即：， 所以，消去m得：. 【变式4-3】（24-25高一下·安徽·月考）设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】由题意，， 由三点共线，得， 所以存在唯一实数，使得，即， 又和不共线，所以，解得. 题型05 利用线性运算求解三角形面积比问题 利用向量数乘的几何意义（模的缩放），结合三角形面积公式（同底等高面积相等，底或高成比例则面积成比例）；通过向量共线关系，确定三角形底或高的比例，进而求出面积比． 典｜例｜精｜析 【例题5】在中，为三角形所在平面内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，在中，为三角形所在平面内一点，且， 取的中点，取靠近的三等分点， 可得， 由向量的平行四边形法则， 可得, 所以点在边的中位线上， 所以．故选：D. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】（25-26高二上·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得, 即, 令是的中点，则, 所以所以∥， 所以,即，故选D. 【变式5-2】（24-25高一下·重庆南岸·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点为，如下图所示： 易知， 又可得； 因此可得，即三点共线，且为线段的中点， 所以； 又，所以； 所以与的面积之比为.故选：C 【变式5-3】（24-25高一下·广西玉林·月考）已知为内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 即. 方法1：，即， 延长至点，令，即三点共线， 则. 方法2：由奔驰定理，，故.故选B： 题型06 向量共线定理的推论及应用 若点B在直线AC上，则存在实数λ，μ使（O为任意点）且反之亦然。解题时，利用推论建立方程，求解参数或证明点共线． 典｜例｜精｜析 【例题6】（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即.故选：C 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】（24-25高一下·广东·月考）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 则， 因为P、B、N三点共线，所以，解得.故选：D． 【变式6-2】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】设且， 则， 又，则， 由共线，则，可得， 所以.故选：B 【变式6-3】（24-25高一下·广西河池·月考）在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由，得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，取等号， 故的最小值为，故选：B 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $