专题07 因式分解重难点题型汇编(九大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

专题07 因式分解重难点题型汇编 （九大题型） 【题型01：判断是否是因式分解】.............................................................................................1 【题型02：已知因式分解的结果求参数】.................................................................................2 【题型03：公因式】...................................................................................................................2 【题型04：提公因式法分解因式】............................................................................................2 【题型05：公式法分解因式】....................................................................................................3 【题型06：综合提公因式和公式法分解因式】..........................................................................3 【题型07：十字相乘法】...........................................................................................................3 【题型08：分组分解法】...........................................................................................................4 【题型09：因式分解的应用】....................................................................................................5 【题型01：判断是否是因式分解】 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型02：已知因式分解的结果求参数】 5．多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 6．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 7．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 8．若多项式可因式分解为，则的值为（） A． B． C． D． 9．若，则k的值是（    ） A．10 B． C． D．14 【题型03：公因式】 10．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 11．多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 12．多项式和的公因式是（    ） A． B．x C． D． 13．多项式的公因式是（    ） A．2 B． C． D． 14．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【题型04：提公因式法分解因式】 15．因式分解：_________； 16．分解因式：_______ 17．因式分解：______． 18．因式分解：____________． 19．因式分解：______． 【题型05：公式法分解因式】 20．因式分解：________． 21．因式分解：_____． 22．因式分解：_________． 23．因式分解：______． 24．因式分解：___________． 【题型06：综合提公因式和公式法分解因式】 25．因式分解：________． 26．分解因式：_____． 27．分解因式：________． 28．分解因式： ______． 29．因式分解：_____． 30．因式分解：________． 31．因式分解：______． 【题型07：十字相乘法】 32．分解因式：_____． 33．因式分解：_____． 34．因式分解：___________． 35．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 36．因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 【题型08：分组分解法】 37．把下列各式分解因式： (1)． (2)． 38．分解因式： (1)． (2)． (3)． 39．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【题型09：因式分解的应用】 40．我们已经知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法．但某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） 乙： （先分成两组）． ． 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组分解法．请结合甲、乙两名同学分解因式的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)若，求的值． (3)已知为等腰三角形的三边长，且，求的周长． 41．阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例：“两两分组”： 解： 原式 例：“三一分组” 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)因式分解： ； (2)已知，，是的三边长， 且满足．试判断的形状． 42．先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ， ， ，， ，． 问题： (1)若，求的值． (2)已知的三边长，，都是正整数，且满足，判断的形状． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 因式分解重难点题型汇编 （九大题型） 【题型01：判断是否是因式分解】.............................................................................................1 【题型02：已知因式分解的结果求参数】.................................................................................3 【题型03：公因式】...................................................................................................................5 【题型04：提公因式法分解因式】............................................................................................6 【题型05：公式法分解因式】....................................................................................................7 【题型06：综合提公因式和公式法分解因式】..........................................................................8 【题型07：十字相乘法】...........................................................................................................9 【题型08：分组分解法】...........................................................................................................12 【题型09：因式分解的应用】....................................................................................................14 【题型01：判断是否是因式分解】 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式； 逐一分析各选项是否符合因式分解的定义即可． 【详解】解：A、左边为单项式，右边是两个单项式的乘积，该变形是正确的，但因式分解是指将一个多项式分解为几个整式的乘积，故不符合题意； B、为分式，非整式，不符合因式分解的要求，故不符合题意； C、左边为多项式，右边为与的乘积，均为整式，符合因式分解的定义，故符合题意； D、右边为，仍包含加法运算，没有完全转化为积的形式，故不符合题意； 故选：C． 2．下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解的定义， 分解因式是指将多项式变形为几个整式的乘积形式，需满足左边为多项式，右边为整式乘积． 【详解】解：分解因式要求右边为整式乘积形式， 选项A：左边为多项式，右边为整式乘积，符合定义； 选项B：左边为整式平方，右边为多项式，是整式乘法； 选项C：右边为积与和的形式，不是因式分解； 选项D：左边为乘积，右边为多项式，是整式乘法； 故选：A． 3．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是指把一个多项式化为几个整式的积的形式． 根据因式分解的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：是整式的乘法运算，从整式的积转化为多项式，不符合因式分解定义； B选项：，将多项式转化为两个整式的积的形式，符合因式分解定义； C选项：，分解不彻底且计算错误，不符合因式分解的要求； D选项：，右边是整式的积加常数，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义； 故选：B． 4．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解）是解此题的关键． 根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．故原式不成立，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．，属于因式分解，故本选项符合题意； D．因式分解不彻底，故本选项不符合题意． 故选：C． 【题型02：已知因式分解的结果求参数】 5．多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 【详解】∵ 多项式可因式分解为，. ． 6．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 7．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】解：由题意得， ∴， 比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：A． 8．若多项式可因式分解为，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过展开因式分解后的表达式，与原多项式比较系数，即可求出的值． 【详解】解：∵多项式可因式分解为， ∴展开得：． 又∵原多项式为， ∴比较系数得：，． 因此的值为3． 故选：B． 9．若，则k的值是（    ） A．10 B． C． D．14 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式法则的应用，能正确根据法则进行计算是解此题的关键． 把等号右边利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应系数相等求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故选：B． 【题型03：公因式】 10．多项式中，各项的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的最大公因式． 根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次幂，结合选项判断即可． 【详解】解：∵多项式各项系数6、12、的绝对值的最大公约数是3，各项都含有的字母为a、b，a的最低次幂是2，b的最低次幂是1， ∴该多项式的最大公因式可以为， 故选：B 11．多项式中，各项的公因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【详解】解：∵ 各项系数的最大公约数是， ∵ 多项式各项都含有的相同字母为， ∵ 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 各项的公因式是． 故答案为：． 12．多项式和的公因式是（    ） A． B．x C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 将第二个多项式因式分解，提取公因式后得到，与第一个多项式对比，可知公因式为． 【详解】解：∵ ， ∵ 第一个多项式为， ∴二者的公因式为， 故选D． 13．多项式的公因式是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公因式的概念，解题关键是找出多项式各项系数的最大公因数与相同字母的最低次幂的乘积． 先找6和4的最大公因数是2，再看字母部分：两项都没有相同字母，因此公因式是2，据此判断选项． 【详解】解： 多项式的公因式是． 故选A． 14．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 通过观察表达式，发现与相等，因此两项均含有公因式． 【详解】解：， ∴ 原式． ∵ 两项都含有因式， ∴ 公因式是． 故选：C． 【题型04：提公因式法分解因式】 15．因式分解：_________； 【答案】 【详解】解： ． 16．分解因式：_______ 【答案】 【分析】确定原式公因式为，使用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 17．因式分解：______． 【答案】 【分析】利用提公因式法进行因式分解即可求解． 【详解】解：． 18．因式分解：____________． 【答案】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】解：． 19．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，准确找出多项式的公因式即可求解． 【详解】解： ． 【题型05：公式法分解因式】 20．因式分解：________． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得到结果． 【详解】解： ． 21．因式分解：_____． 【答案】 【分析】直接套用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 22．因式分解：_________． 【答案】 【分析】观察多项式的特征，其符合完全平方公式的形式，利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 23．因式分解：______． 【答案】 【分析】此题考查因式分解，利用完全平方公式分解因式即可，熟练掌握多项式特点进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为． 24．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型06：综合提公因式和公式法分解因式】 25．因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 26．分解因式：_____． 【答案】 【详解】解： ． 27．分解因式：________． 【答案】/ 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 28．分解因式： ______． 【答案】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式进行二次分解，即可得到结果． 【详解】解：． 29．因式分解：_____． 【答案】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用平方差公式继续分解，直至不能再分解为止． 【详解】解： ． 30．因式分解：________． 【答案】 【分析】观察多项式的各项，发现都含有公因数，先提取公因式得到；接着观察括号内的式子，它符合平方差公式的形式，再利用平方差公式进一步分解即可． 【详解】解： ． 31．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为． 【题型07：十字相乘法】 32．分解因式：_____． 【答案】 【分析】此题考查了十字相乘法的分解因式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．根据十字相乘法分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 33．因式分解：_____． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 34．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，通过十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 35．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 36．因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握十字相乘法进行因式分解． （1）利用十字相乘法进行因式分解； （2）利用十字相乘法进行因式分解； （3）利用十字相乘法进行因式分解； （4）利用十字相乘法进行因式分解； （5）利用十字相乘法进行因式分解； （6）利用十字相乘法进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【题型08：分组分解法】 37．把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式重新分组，通过配方法凑成两个完全平方式的差，再利用平方差公式进行分解； （2）先将式子分组，把用完全平方公式分解，再与剩余部分提取公因式． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查了分组分解法、平方差公式和完全平方公式的因式分解，解题关键是合理分组，先分解可分解的部分，再提取公因式完成整体分解． 38．分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的常用方法，包括分组分解法、完全平方公式和平方差公式，掌握观察式子结构，选择合适的分解方法，先分组或用完全平方，再用平方差公式是解题的关键． （1）分组分解，将前两项和后两项分别分组，提取公因式后再整体提取公因式； （2）先对前三项用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）先对前三项用完全平方公式，再用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 39．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组）（直接提公因式） 乙： （分成两组）（直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查用分组分解法分解因式，分组分解时往往还要用到提公因式法和公式法，首先观察给出的多项式，将多项式进行适当的分组，使分成的各组中有公因式或可以用公式分解；然后要再用提公因式法或公式法进行分解，注意因式分解要分解到不能分解为止． （1）把前两项和第四项结合后利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先对式子进行分组分解，把已知的两式相加得，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵，， ∴， ∴原式． 【题型09：因式分解的应用】 40．我们已经知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法．但某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） 乙： （先分成两组）． ． 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组分解法．请结合甲、乙两名同学分解因式的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)若，求的值． (3)已知为等腰三角形的三边长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分组分解法，因式分解的应用，等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）前两项一组，后两项一组，利用平方差公式法和提公因式法进行因式分解即可； （2）前两项一组，后两项一组，利用分组分解法进行因式分解后，整体代入法求值即可； （3）等式左边利用分组分解法，转化为两个完全平方的和的形式，根据非负性，求出的值，根据等腰三角形的定义，分类讨论进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴原式； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等腰三角形， ∴当时，，满足题意，此时等腰三角形的周长为； 当时，，不能构成三角形，不符合题意； 综上等腰三角形的周长为7． 41．阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例：“两两分组”： 解： 原式 例：“三一分组” 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)因式分解： ； (2)已知，，是的三边长， 且满足．试判断的形状． 【答案】(1)①；② (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题关键； （1）①两两分组进行因式分解；②三一分组进行因式分解； （2）移项后两两分组进行因式分解求得的关系即可． 【详解】（1）解：①原式 ； ②原式 ； （2）解：， ， ， ∴或， 即：或， ∴是等腰三角形． 42．先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ， ， ，， ，． 问题： (1)若，求的值． (2)已知的三边长，，都是正整数，且满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【分析】本题考查了配方法的应用、非负数的性质以及等边三角形的判定，掌握通过配方将代数式转化为非负数的和，利用非负数的性质求解未知数是解题的关键． （1）将代数式拆分为两个完全平方项的和，利用非负数的性质求出与的值，再计算； （2）对的代数式进行配方，结合绝对值的非负性求出三边长度，进而判断三角形形状． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， ． （2）解：， ， ， ，，， ， 是等边三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $