专题9.6 压轴题题型训练（第九章 因式分解）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

专题9.6 压轴题题型训练 （第九章 因式分解） 【苏科版八下●新教材】 压轴题型一 已知因式分解的结果求参数 1．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 2．（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 3．阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 若时，则有， 将代入，得 ， 解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题． (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若可化为整式，求化简后的整式； (3)若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围． 压轴题型二 公因式 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）所得的结果是（　　） A． B．2100 C． D． 5．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 6．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 压轴题型三 提公因式法分解因式 7．（25-26七年级上·山东济南·月考）【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有__________（填序号）； ①    ②    ③    ④． (2)若关于m，n的代数式（）为对称式，则的值为__________； (3)在（2）的条件下，已知，且，求的值． 8．（25-26七年级上·山东临沂·月考）已知矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4． (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 9．下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 压轴题型四 判断能否用公式法分解因式 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 11．（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 压轴题型五 平方差公式分解因式 13．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）【提出问题】我们都知道，对于形如、以及形式的多项式可以直接利用公式进行分解因式，但对于不能直接用这些公式，且能够分解成两个一次因式乘积形式的多项式该如何分解呢？ 【分析问题】对于不能直接用完全平方公式进行分解的，且形如的多项式若改写成具有平方差或完全平方公式结构特征的式子也许就能因式分解． 例如；即先加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，最后使整个式子具备平方差公式的结构特征，再写成整式乘积的形式． 【解决问题】分解因式：①；②． 14．（25-26八年级上·山东日照·月考）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为，的两个正方形和长、宽分别为，的两个长方形拼成的一个大正方形． (1)利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1： ________；图2：________．（用字母，表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． (2)在（1）的条件下若，，分别求、的值． (3)已知，求的值． 拓展运用： (4)如图3，点是线段上一点，以，为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积（用，表示）． 15．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． 压轴题型六 完全平方公式分解因式 16．（25-26八年级上·山东烟台·期中）先阅读材料，再解答问题： 材料：若，求的值． 解：，即：， ∴，，∴ 根据你的观察，用本材料中的方法解决下列问题： (1)若，求的值 (2)已知，，求的值． 17．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式：． 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． 阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：①___________；②___________． (2)①求多项式的最大值；②若，试求的最小值． (3)①若，，，求的值；②已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 18．（25-26八年级上·江西南昌·月考）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______________（填代号）． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为________________． (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． (4)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 压轴题型七 综合运用公式法分解因式 19．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：分解因式． 原式． 例2：求的最大值． ， 故当时，的最大值为10． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)已知正数满足，求． 20．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 21．（25-26八年级上·山东青岛·期中）【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．用不同方式表示几何图形的面积可以得到一些等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．    【类比探究】 探究一、如图2，借助边长为的正方形探索平方差公式： （1）从一个边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的正方形，剩下的部分（阴影部分）的面积为； （2）若将阴影部分沿虚线剪开，分成①，②两个长方形，则长方形①的面积，长方形②的面积； （3）由，可以得到等式，将其右边提公因式，得用来分解因式的平方差公式：．    探究二：如图3，类比探究一，借助一个棱长为的大正方体完成以下探究： （1）在棱长为的大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，剩下的几何体的体积___________； （2）将剩下的几何体分割成①，②，③三个长方体，则长方体①的体积；长方体②的体积___________；长方体③的体积___________； （3）由可以得到将一个多项式进行因式分解的等式为___________．    【拓展应用】 利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 压轴题型八 综合提公因式和公式法分解因式 22．（2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）阅读下列材料，并解答问题： 分解因式时，细心观察这个式子就会发现前三项符合完全平方和公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后再提取公因式就可以完成对这个多项式的因式分解了，具体过程为： 这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)试用“分组分解法”分解因式：； (2)已知三个实数，满足，并且，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示，． 23．（24-25七年级上·北京·开学考试）因式分解： ． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 压轴题型九 因式分解在有理数简算中的应用 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解简便计算： (1)． (2)． 26．（24-25八年级下·浙江·月考）已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 ． 27．观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 第n个等式：______．（n为整数，且） 【尝试】 (1)根据以上规律，写出第4个等式：______； 【发现】 (2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式，并说明其正确性； 【应用】 (3)利用以上规律，直接写出的值为______． (4)利用以上规律，求的值． 压轴题型十 十字相乘法 28．（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）综合实践． 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位． 我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解． (1)多项式因式分解结果为__________； (2)多项式因式分解结果为__________； (3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解． 29．（25-26八年级上·江西南昌·月考）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：______； (2)若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 30．（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 解一些复杂的因式分解问题常用到“整体思想”，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用． 下面是小龙同学用“整体思想”对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小龙同学的解法中，第二步运用了因式分解的______； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)你认为小龙同学的结果正确吗？______（填“正确”或“不正确”），若不正确，请直接写出你认为正确的结果； (3)请你用“整体思想”对多项式进行因式分解． 压轴题型十一 分组分解法 31．（25-26八年级上·广西桂林·期中）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．若a，b为实数且满足，整式，求整式M的最小值为 ． 32．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 33．（25-26八年级上·福建泉州·期中）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【类比】（1）分解因式：； 【挑战】（2）若，都是正整数且满足，求的值； （3）若，为实数且满足，，求的最小值． 压轴题型十二 因式分解的应用 34．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）【综合与实践】在一次数学拼图实践活动中，数学兴趣小组为活动准备了如图1所示的三种A，B，C形状的纸片各若干张，纸片A，B分别是边长为a，的正方形，纸片C是长为b，宽为a的长方形． (1)若小忠同学用图1中x张纸片A，y张纸片B，z张纸片C拼成了一个面积为的长方形，求的值； (2)小义同学不仅用了图1中若干纸片，还自制了几张含边长为c的正方形及长方形纸片，然后拼成了图2边长为的正方形． ①观察图2的面积关系，写出含a，b，c的等量关系式； ②若，，根据①的结论，求的值； (3)小忠同学继续探索，用自制的8块积木拼成了如图3的棱长为的正方体，根据图3，写出的等式，若，，求的值． 35．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）探究与发现 背景：在因式分解中，我们学习了提公因式法和公式法．现在，我们来研究一类特殊多项式的计算规律． 观察：请计算下列各式的值： ① ② ③ ④ 发现：（1）观察以上计算结果，它们都是哪个数的倍数？请用一句话概括你的发现： ． 猜想：（2）如果用表示一个奇数（是正整数），那么它前面的一个奇数可以表示为．根据你的发现，请猜想： （结果请化简） 验证：（3）请用两种方法验证你（2）中的猜想： 方法一（直接计算）：展开计算和 ，然后相减． 方法二（因式分解）：使用平方差公式对 进行因式分解，然后计算． 应用：利用你发现的规律，快速计算： 36．（2025-2026学年上学期八年级数学期末考试试卷）数形结合是一种将抽象的数学概念与直观的图形相结合，帮助理解和解决数学问题的重要思想方法．《整式的乘法》这一章中，我们利用数形结合思想，体验并理解了整式乘法法则、平方差公式及完全平方公式等的几何意义．年级数学兴趣小组的同学们课后继续进行了如下的探究： 【探究一】如图1，卡片①是边长为的正方形．卡片②是边长为的正方形．卡片③是长和宽分别为，的长方形． （1）若已经选取4张卡片①，4张卡片③，则还应选取_____张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是_____（用含，的式子表示）； （2）选取4张卡片③在纸上按图2的方式进行拼图，可以得到中间阴影部分为正方形、若将阴影部分正方形的面积用两种不同的方法表示，则可验证等式：__________． 【探究二】如图3，该几何体由3个大小不同的长方体（如图4）组成，其中第一个长方体中，，．第二个长方体中，，第三个长方体中，． （3）若将图3的几何体的体积用两种不同的方法表示，则可验证等式：_____（将该等式表示为将一个多项式分解因式的形式）． （4）利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.6 压轴题题型训练 （第九章 因式分解） 【苏科版八下●新教材】 压轴题型一 已知因式分解的结果求参数 1．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【思路引导】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【完整解答】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 2．（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)， 【思路引导】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式． （2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式． 本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键． 【完整解答】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴ 解得 ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，． 3．阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 若时，则有， 将代入，得 ， 解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题． (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若可化为整式，求化简后的整式； (3)若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据题目所介绍的方法得到，再将代入，即可求解； （2）根据题意可知是多项式的一个因式，根据题目所介绍的方法得到，将代入，即可求得，将 代入原式即可求解； （3）根据题目所介绍的方法得到，分别将，代入，联立得到二元一次方程组，求解得到，，得到直线的解析式为，根据函数图象经过的象限进行求解即可． 【完整解答】（1）解：设， 若时，则有， 将代入得， 解得． （2）解：∵可化为整式， ∴是多项式的一个因式． 设， 若时，则有，得． ∴， ∴原式． （3）解：∵和是多项式的两个因式， 设， ∴若时，则有，得：． 若时，则有，得：． 解得，． ∴直线的解析式为：． ①当，即时，直线不经过第二象限，得 ∴，解得：． ②当，即时，，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 【考点再现】本题考查了一次函数的性质，因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 压轴题型二 公因式 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）所得的结果是（　　） A． B．2100 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了有理数的乘方运算，通过提取公因式，将原式化简为 ，然后利用负数的偶次幂为正的性质计算． 【完整解答】解：∵ 又∵（指数为偶数） ∴原式 故选A 5．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案． 【完整解答】解：， 故选：A． 【考点再现】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 6．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【思路引导】前3个小题直接提取公因式即可； 后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式． 【完整解答】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【考点再现】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为：及． 压轴题型三 提公因式法分解因式 7．（25-26七年级上·山东济南·月考）【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有__________（填序号）； ①    ②    ③    ④． (2)若关于m，n的代数式（）为对称式，则的值为__________； (3)在（2）的条件下，已知，且，求的值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)3 【思路引导】本题主要考查了分解因式，完全平方公式，同底数幂乘除法运算，幂的乘方运算，正确理解对称式的定义是解题的关键． （1）①根据同底数幂乘法运算法则得到，再根据对称式的定义判断即可；②根据幂的乘方运算法则得到，再根据对称式的定义判断即可；③再根据对称式的定义判断即可；④根据同底数幂除法运算法则得到，再根据对称式的定义判断即可； （2）根据对称式的定义可得，则可证明，根据，可得，据此可得答案； （3）根据（2）所求可得，则可求出的值，再根据完全平方公式可得答案． 【完整解答】（1）解：①， 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式， 因为， ∴， ∴代数式是对称式； ②， 代数式中两个字母交换位置，可得到代数式， ∵， ∴， ∴代数式是对称式； ③代数式中两个字母交换位置，可得到代数式， ∵， ∴代数式是对称式； ④， 代数式中两个字母交换位置，可得到代数式， ∵， ∴， ∴代数式不是对称式； 故答案为：①②③； （2）解：交换代数式中字母m、n的位置可得 ∵关于m，n的代数式为对称式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级上·山东临沂·月考）已知矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4． (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)28 (2)96 【思路引导】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先将变形为，然后把已知条件代入计算即可； （2）先将变形为，然后代入计算即可． 【完整解答】（1）解：矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4， ，． ． ． （2）由（1）得，，， ． 9．下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【思路引导】将提公因式2得，由x、y为整数，则为偶数，因为199为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将，整理得，即得出，由于实数a、b不相等，即得出a、b互为相反数，故可判断②；整理得，即得，即，故可判断③；由，得出，即可变形为，可以得出或，故可判断④． 【完整解答】∵， ∴如果x、y为整数，那么为偶数， ∵199为奇数， ∴不存在整数解，故①错误； ∴， ∵实数a、b不相等， ∴a、b互为相反数，故②正确； ∴，即，故③正确； ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴或，故④不一定正确． 综上可知正确的有②③． 故选B． 【考点再现】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键． 压轴题型四 判断能否用公式法分解因式 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【思路引导】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【完整解答】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 11．（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【完整解答】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 12．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【思路引导】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【完整解答】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 压轴题型五 平方差公式分解因式 13．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）【提出问题】我们都知道，对于形如、以及形式的多项式可以直接利用公式进行分解因式，但对于不能直接用这些公式，且能够分解成两个一次因式乘积形式的多项式该如何分解呢？ 【分析问题】对于不能直接用完全平方公式进行分解的，且形如的多项式若改写成具有平方差或完全平方公式结构特征的式子也许就能因式分解． 例如；即先加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，最后使整个式子具备平方差公式的结构特征，再写成整式乘积的形式． 【解决问题】分解因式：①；②． 【答案】 ① ② 【思路引导】本题考查因式分解，熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．①根据题干中所给例子分解即可；②先将原式提取公因式，再根据题干中所给例子分解即可． 【完整解答】解：① ； ② ． 14．（25-26八年级上·山东日照·月考）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为，的两个正方形和长、宽分别为，的两个长方形拼成的一个大正方形． (1)利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1： ________；图2：________．（用字母，表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． (2)在（1）的条件下若，，分别求、的值． (3)已知，求的值． 拓展运用： (4)如图3，点是线段上一点，以，为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积（用，表示）． 【答案】(1)， (2)， (3)4054 (4) 【思路引导】本题考查了整式的混合运算——化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； （4）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【完整解答】（1）解：图1：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为， ． 图2：左下角的正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：， ． 故答案为：，． （2）， 又，， ． ， 又， ． ． （3）设，， 则， ， ． ． （4）设，，则，， ． 15．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【思路引导】本题考查因式分解，完全平方公式的应用，平方的非负性，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）先分组，并根据完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）将化为，再根据平方的非负性，得到则，即可解答． 【完整解答】（1）解： ． （2）， ， ， ∴ 解得， ∴是等腰三角形． 压轴题型六 完全平方公式分解因式 16．（25-26八年级上·山东烟台·期中）先阅读材料，再解答问题： 材料：若，求的值． 解：，即：， ∴，，∴ 根据你的观察，用本材料中的方法解决下列问题： (1)若，求的值 (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查对于配完全平方公式的理解，偶次方的非负性，对已知式子进行正确的变形，根据题中给出的例子理解配完全平方公式要先找到平方项和中间项，是本题的解题关键，然后根据平方的非负性，得出几个非负数或者式子的和为0，那么这几个数或者式子分别为0． （1）先将原式进行变形可得，然后解得和，代入即可得出答案； （2）由可得，然后代入，再将等式左边整理成两个整式的平方和，然后根据偶次方的非负性求出b，c的值，然后可得a的值，再代入计算即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 即：； （2）解：∵， ∴， 把代入得：， 整理得：， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴， 则． 17．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式：． 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． 阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：①___________；②___________． (2)①求多项式的最大值；②若，试求的最小值． (3)①若，，，求的值；②已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 【答案】(1)①② (2)①② (3)①② 【思路引导】（1）①先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解；②在一次项后加上​，再减去，得到完全平方式后用平方差公式分解； （2）①先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值；②对和分别配方，构造完全平方式，再利用非负性求最小值； （3）① 将原式转化为，代入，，计算；②先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【完整解答】（1）解：① ； ② ． 答：①②． （2）解：① ， ，， 当，有最大值； ② ， 且， 当且，即，时， 取得最小值． 答：①②． （3）解：① ，，， ，，， ； ② ， ， ，即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 答：①②． 【考点再现】本题考查配方法的应用，因式分解，代数式的最值问题，三角形三边关系，代数恒等变形，通过添加和减去适当的项，构造完全平方式是解题关键． 18．（25-26八年级上·江西南昌·月考）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法， 下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______________（填代号）． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为________________． (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． (4)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1)C (2) (3) (4)见解析 【思路引导】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底． （1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式； （2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可； （3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可． （4）先整理原式，再令，整理原式，因为为正整数，得为正整数，即代数式的值一定是某个整数的平方． 【完整解答】（1）解：观察做题过程，得该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：， 故答案为：； （3）解：设． ． （4）解： ， 令， 原式 ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方． 压轴题型七 综合运用公式法分解因式 19．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：分解因式． 原式． 例2：求的最大值． ， 故当时，的最大值为10． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)已知正数满足，求． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值为； (3)12 【思路引导】本题考查了配方法，因式分解，偶次幂的非负性．解题的关键在于对理解题意并正确的求解． （1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得，，， ∴． 20．（25-26七年级上·上海·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 21．（25-26八年级上·山东青岛·期中）【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．用不同方式表示几何图形的面积可以得到一些等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．    【类比探究】 探究一、如图2，借助边长为的正方形探索平方差公式： （1）从一个边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的正方形，剩下的部分（阴影部分）的面积为； （2）若将阴影部分沿虚线剪开，分成①，②两个长方形，则长方形①的面积，长方形②的面积； （3）由，可以得到等式，将其右边提公因式，得用来分解因式的平方差公式：．    探究二：如图3，类比探究一，借助一个棱长为的大正方体完成以下探究： （1）在棱长为的大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，剩下的几何体的体积___________； （2）将剩下的几何体分割成①，②，③三个长方体，则长方体①的体积；长方体②的体积___________；长方体③的体积___________； （3）由可以得到将一个多项式进行因式分解的等式为___________．    【拓展应用】 利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 【答案】探究二：（1）；（2）；；（3）；【拓展应用】252 【思路引导】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键． （1）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案； （2）根据长方体的体积公式即可得； （3）根据（1）和（2）的结论，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案； （4）先利用完全平方公式求出，再根据（3）的结论即可得． 【完整解答】探究二：（1）； （2）；；     （3） 故答案为：（1）；（2）；；（3）； 【拓展应用】∵，，， ∴， ∴．     ， ． 压轴题型八 综合提公因式和公式法分解因式 22．（2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）阅读下列材料，并解答问题： 分解因式时，细心观察这个式子就会发现前三项符合完全平方和公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后再提取公因式就可以完成对这个多项式的因式分解了，具体过程为： 这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)试用“分组分解法”分解因式：； (2)已知三个实数，满足，并且，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示，． 【答案】(1) (2)①；②， 【思路引导】本题考查了分解因式的应用和平方根解方程，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据题意运用平方差公式法和提公因式法进行分解因式即可； （2）①将减去可得，再根据可得，再将其代入中进行求解即可；②将减去可得，根据可得，将代入可求出，进而即可求解． 【完整解答】（1）解：由题意得， ； （2）解：①由题意得， ， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 解得， 将代入中， 得 解得， ∴ ； ②由题意得， ， ∵， ∴ 解得． ∵，且， ∴ ∵， ∴， ∴． 将代入中， 得． ∴，． 23．（24-25七年级上·北京·开学考试）因式分解： ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查因式分解，原式根据分组分解、公式法、提公因式法进行因式分解即可． 【完整解答】解： ． 故答案为：． 24．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三边长满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【思路引导】本题考查了实际问题有意义的条件和等腰三角形的判定及因式分解在实际问题中的运用． 将原式变形为，因式分解后得到，可以得出，进而可以得出，得出的形状． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵、、是三角形的三边， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故选：A． 压轴题型九 因式分解在有理数简算中的应用 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解简便计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）（2）利用提公因式法因式分解后计算即可． 【完整解答】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 26．（24-25八年级下·浙江·月考）已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据，可得，进而得出，再根据，可得，最后根据得出答案． 【完整解答】解：∵， ∴， 即， 则． ∵， ∴， 可得． ∵， ∴， ∴， 即． ∴． 故答案为：． 27．观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 第n个等式：______．（n为整数，且） 【尝试】 (1)根据以上规律，写出第4个等式：______； 【发现】 (2)根据这个规律写出你猜想的第n个等式，并说明其正确性； 【应用】 (3)利用以上规律，直接写出的值为______． (4)利用以上规律，求的值． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)4045； (4)9800 【思路引导】（1）根据规律即可求解； （2）根据规律可以得到第n个等式为，再根据整式的运算即可证明结论正确性； （3）根据（2）的结论即可得到； （4）逆用规律将原式变形为，再去括号进行计算得到，利用平方差公式进行计算即可求解． 【完整解答】（1）解：根据以上规律，第4个等式为； 故答案为：； （2）解：根据这个规律猜想第n个等式为； 证明：， ∴猜想正确； （3）解：根据以上规律，； 故答案为：4045； （4）解： = ． 【考点再现】本题考查了平方差公式，整式的规律性问题，整式的运算，运用平方差公式进行因式分解简化计算等知识，理解题意，找出规律是解题关键． 压轴题型十 十字相乘法 28．（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）综合实践． 通过学习，我们知道：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，利用这种变形可以进行运算和推理，逐步领悟代数推理在数学学习中的重要地位． 我们发现：，反过来，多项式可以分解为，利用这种方法，可以对有些多项式进行因式分解． (1)多项式因式分解结果为__________； (2)多项式因式分解结果为__________； (3)我们知道：，可以多次运用上面的方法，对复杂的多项式进行因式分解，请对多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了因式分解． （1）仿照题干因式分解即可； （2）设，仿照题干因式分解即可； （3）根据将原多项式化为，整理得到，进而求解即可 【完整解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：设，则原式， 故答案为：； （3）解：∵ ∴ 29．（25-26八年级上·江西南昌·月考）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：______； (2)若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)或或或或或 【思路引导】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘匹配一次项，横向写出因式． （2）把展开，得出，，找出的所有整数拆分方式，即可得到整数的所有可能值． 【完整解答】（1）解： 故答案为． （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数， ∴ ， ∵，，，，，，， ，，，，， ∴整数p的所有可能值为或或或或或． 30．（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 解一些复杂的因式分解问题常用到“整体思想”，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用． 下面是小龙同学用“整体思想”对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小龙同学的解法中，第二步运用了因式分解的______； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)你认为小龙同学的结果正确吗？______（填“正确”或“不正确”），若不正确，请直接写出你认为正确的结果； (3)请你用“整体思想”对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不正确， (3) 【思路引导】本题考查了因式分解等知识，熟知因式分解相关知识，理解整体思想是解题关键． （1）根据完全平方公式法即可求解； （2）利用完全平方式分解彻底即可求解； （3）把看作一个整体，利用十字相乘法分解即可． 【完整解答】（1）解：小龙同学的解法中，第二步运用了完全平方公式分解因式． 故选：C （2）解：小龙的结果不正确，没有分解彻底． 设 原式 ； （3）解：把作为一个整体， ∴ ． 压轴题型十一 分组分解法 31．（25-26八年级上·广西桂林·期中）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．若a，b为实数且满足，整式，求整式M的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查整式的混合运算，分组分解法因式分解，配方法的运用，掌握以上知识，正确配方是关键． 由已知条件得到，代入整式中，通过配方法将转化为完全平方式与常数的和，进而利用非负性求最小值． 【完整解答】解：由，得， 代入，得： ， 对和分别配方：，， 代入得： ， 由于， 且，故， 当时，满足，且， 因此，整式的最小值为， 故答案为：． 32．（25-26八年级上·重庆·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，解题的关键是配方． ①通过配方结合平方的非负性判断；②通过代入条件化简方程，利用配方法求解验证；③通过配方得到表达式，分析整数解的存在性． 【完整解答】解：①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； ②：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即 ∴存在整数解（如 ，），使得，故③错误． 综上，只有①正确，正确个数为1． 故选：B． 33．（25-26八年级上·福建泉州·期中）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【类比】（1）分解因式：； 【挑战】（2）若，都是正整数且满足，求的值； （3）若，为实数且满足，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）8； （3）6 【思路引导】本题考查了分组分解法因式分解，能够读懂题意是解题的关键． （1）根据题干信息，利用分组分解法解答即可； （2）先将通过变形得到，然后得到，进而求出的值即可； （3）根据，得，代入，构造实数的非负性，求S的最小值． 【完整解答】解：（1）解： ． （2）解： ， ∵,, ∴, ∴, ∴, 解得， 故． （3）解：由，得， ∴ ， ∵， ∴，当且仅当时成立， ∴S的最小值为6． 压轴题型十二 因式分解的应用 34．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）【综合与实践】在一次数学拼图实践活动中，数学兴趣小组为活动准备了如图1所示的三种A，B，C形状的纸片各若干张，纸片A，B分别是边长为a，的正方形，纸片C是长为b，宽为a的长方形． (1)若小忠同学用图1中x张纸片A，y张纸片B，z张纸片C拼成了一个面积为的长方形，求的值； (2)小义同学不仅用了图1中若干纸片，还自制了几张含边长为c的正方形及长方形纸片，然后拼成了图2边长为的正方形． ①观察图2的面积关系，写出含a，b，c的等量关系式； ②若，，根据①的结论，求的值； (3)小忠同学继续探索，用自制的8块积木拼成了如图3的棱长为的正方体，根据图3，写出的等式，若，，求的值． 【答案】(1)13 (2)①；② (3)，630 【思路引导】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键： （1）将展开，求出的值，代入代数式进行计算即可； （2）①利用分割法表示出正方形的面积，即可得出等量关系式；②结合①中关系式利用整体代入法，进行求解即可； （3）根据分割法表示出正方体的体积，即可得出结果，将进行因式分解后，利用整体代入法进行计算即可． 【完整解答】（1）解：， ∵纸片A，纸片B，纸片C的面积分别为， ∴， ∴； （2）解：①由图形可知：； ②∵，， ∴， ∴； （3）解：由图可知：； ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 35．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）探究与发现 背景：在因式分解中，我们学习了提公因式法和公式法．现在，我们来研究一类特殊多项式的计算规律． 观察：请计算下列各式的值： ① ② ③ ④ 发现：（1）观察以上计算结果，它们都是哪个数的倍数？请用一句话概括你的发现： ． 猜想：（2）如果用表示一个奇数（是正整数），那么它前面的一个奇数可以表示为．根据你的发现，请猜想： （结果请化简） 验证：（3）请用两种方法验证你（2）中的猜想： 方法一（直接计算）：展开计算和 ，然后相减． 方法二（因式分解）：使用平方差公式对 进行因式分解，然后计算． 应用：利用你发现的规律，快速计算： 【答案】观察：① ② ③ ④ 发现：相邻两个奇数的平方差是8的倍数 猜想： 验证：见解析 应用： 【思路引导】本题主要考查平方差公式的应用以及因式分解． 观察和发现：先通过计算给定式子的值，观察规律得出相邻两个奇数的平方差是8的倍数这一发现； 验证：再根据发现对进行猜想并化简，最后用两种方法验证猜想，一种是直接展开计算，另一种是利用平方差公式因式分解计算． 应用：利用所找规律进行计算． 【完整解答】解：观察：①； ②； ③ ； ④； 发现：相邻两个奇数的平方差是8的倍数； 猜想：； 验证：方法一（直接计算）： 方法二（因式分解）： 应用： 解析与计算：原式共有10组“相邻奇数平方差”．每组都符合猜想公式．找出每一组对应的n值． 第一组 ：较大的奇数是，即，解得． 第二组：较大的奇数是，即，解得． 第三组：较大的奇数是，即，解得． ．．． 第十组：较大的奇数是，即，解得． 原式 ． 36．（2025-2026学年上学期八年级数学期末考试试卷）数形结合是一种将抽象的数学概念与直观的图形相结合，帮助理解和解决数学问题的重要思想方法．《整式的乘法》这一章中，我们利用数形结合思想，体验并理解了整式乘法法则、平方差公式及完全平方公式等的几何意义．年级数学兴趣小组的同学们课后继续进行了如下的探究： 【探究一】如图1，卡片①是边长为的正方形．卡片②是边长为的正方形．卡片③是长和宽分别为，的长方形． （1）若已经选取4张卡片①，4张卡片③，则还应选取_____张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是_____（用含，的式子表示）； （2）选取4张卡片③在纸上按图2的方式进行拼图，可以得到中间阴影部分为正方形、若将阴影部分正方形的面积用两种不同的方法表示，则可验证等式：__________． 【探究二】如图3，该几何体由3个大小不同的长方体（如图4）组成，其中第一个长方体中，，．第二个长方体中，，第三个长方体中，． （3）若将图3的几何体的体积用两种不同的方法表示，则可验证等式：_____（将该等式表示为将一个多项式分解因式的形式）． （4）利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 【答案】（1）1，；（2）；（3）；（4） 【思路引导】本题考查了利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键． （1）根据即可得解； （2）图2中阴影部分的面积的两种表示方法，即可得解； （3）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积或3个长方体的体积之和，即可求解； （4）由，可得，根据，代入求值即可． 【完整解答】解：（1）， 若已经选取4张卡片①，4张卡片③，则还应选取1张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是， 故答案为：1，； （2）图2中阴影部分的面积可看作是边长为的小正方形的面积，图2中阴影部分的面积也可看作是边长为的大正方形面积减去4个长方形的面积． 可以得一个多项式的因式分解为：， 故答案为：； （3）由几何体的体积为大正方体的体积减小正方体的体积得到的几何体的体积为， 由几何体的体积为3个长方体的体积之和，且3个长方体的高都可以看作，底面积分别看作、、， 体积为， ， 故答案为：； （4），， ， ， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $