专题06 正方形重难点题型汇编（九大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

专题06 正方形重难点题型汇编 （九大题型） 【题型1 利用正方形的性质求角度】....................................................................................1 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】.........................................................................2【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】.........................................................................4 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】...............................................................5 【题型5 正方形的判定证明】.............................................................................................6 【题型6 正方形的性质与判定综合】..................................................................................8 【题型7 求正方形形中最值问题】.....................................................................................9 【题型8 正方形中“十字架”模型】.................................................................................11 【题型9 正方形中“半角”模型】.....................................................................................12 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．如图，是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形中，若是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 5．在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形内一点，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 6．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为144，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，四边形是正方形，点在上，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，边长为12的正方形中，点E是的中点，点F在上，且．则的长为（   ） A．15 B．16 C． D． 9．如图，正方形的边长为8，点E是的中点，垂直平分且分别交，于点H，G，则的长为(　　) A． B．1 C． D．2 10．如图， 正方形 的边长为 分别在 上， 且 与 相交于点 ． 则 的长为（　　） A．1.4 B．2.4 C．2.5 D．3 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 11．如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 12．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．36 B．32 C．16 D． 13．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 14．如图，正方形的边长为，以为斜边在正方形的外部作等腰直角三角形，连接、，则的周长为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在正方形中，点是上一动点（不与，重合），对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点与点，交，于点与点，若正方形的边长是2，则四边形的周长是（   ） A．2 B． C．4 D． 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 17．如图，正方形的边长为，的坐标为，平行于轴，则点的坐标为(      )    A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为，点B的坐标为，点E为对角线的交点，点F与点E关于y轴对称，则点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点为对角线的交点，则点的坐标为______． 【题型5 正方形的判定证明】 21．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 22．菱形的对角线、相交于，下列条件能判断菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 23．如图所示，在中，，平分，，，求证：四边形是正方形． 24．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 25．如图，在 中， 平分 平分 的外角 ，过点A作 垂足为M， 垂足为N，连接交于点O． (1)求证：； (2)当线段和满足什么条件时，四边形为正方形． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 26．如图，正方形，点为对角线上一个动点．为边上一点，且 (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 27．如图，点E是正方形的边上的一点，的平分线交的延长线于点F，交于点G． (1)若，求的长； (2)求证：． 28．问题与情境：如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点A的对应点为点，延长交于点，连接． 猜想证明（1）试判断四边形的形状，并说明理由； 解决问题（2）如图，若，且正方形的边长为，求的长． 29．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【题型7 求正方形形中最值问题】 30．如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 31．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 32．如图，正方形的边长为8，点在正方形内，是等边三角形，在对角线上有一动点，则的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D． 33．如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 34．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点P．连接，线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 35．如图，正方形的边长为，O是对角线上一动点（点O与端点B，D不重合），于点M，于点N，连接，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【题型8 正方形中“十字架”模型】 36.（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    37.如图，正方形，点分别在上，与相交于点O．记． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，边长，，求线段的长． 【题型9 正方形中“半角”模型】 38.已知四边形是正方形，M、N分别是边，上的动点，正方形的边长为． (1)如图①，O是正方形对角线的交点，若，求四边形的面积； (2)如图②，若，求的周长． 39．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 正方形重难点题型汇编 （九大题型） 【题型1 利用正方形的性质求角度】....................................................................................1 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】.........................................................................6【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】.........................................................................10 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】...............................................................15 【题型5 正方形的判定证明】.............................................................................................20 【题型6 正方形的性质与判定综合】..................................................................................24 【题型7 求正方形形中最值问题】.....................................................................................31 【题型8 正方形中“十字架”模型】.................................................................................37 【题型9 正方形中“半角”模型】.....................................................................................42 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．如图，是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、等边对等角，解题关键是根据正方形的性质得出． 由正方形性质得出，，再根据等边对等角即可得解． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ． 故选：． 2．如图，正方形中，若是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质可得到，的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C 3．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．根据正方形的性质及直角三角形的特征可得，再根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ∵， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 4．如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及直角三角形的角关系；掌握利用边相等转化为角相等，结合外角性质与直角三角形内角和进行角度推导是解题的关键．解题时通过正方形与等边三角形的边、角性质，结合等腰三角形判定及直角三角形角的关系，逐步推导即可得出所求角的度数． 【详解】如图，延长过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 5．在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形内一点，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理即逆定理． 利用旋转法构造全等三角形，根据勾股定理得到，证明，即可解决问题． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接， 则，，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且， ． 故选：A． 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 6．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为144，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查旋转性质、全等三角形的性质、正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握旋转性质，得出是解答的关键． 由旋转性质得，再根据全等三角形的性质得到，进而求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：． 故选：B． 7．如图，四边形是正方形，点在上，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，由正方形的性质可知，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，，即， 在中，， 故选：A ． 8．如图，边长为12的正方形中，点E是的中点，点F在上，且．则的长为（   ） A．15 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，作出合理辅助线并证明全等是解题关键． 过点作的垂线，垂足为，连接，根据正方形的性质得出直角和相等的边，证明和，得出相等的边，假设，表示出相关的边长，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵，, ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 假设，则，， 根据勾股定理得， 即， 解得， ∴, 故选：A． 9．如图，正方形的边长为8，点E是的中点，垂直平分且分别交，于点H，G，则的长为(　　) A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，正方形的性质，勾股定理等，连接，根据线段垂直平分线性质可得，根据正方形的性质可得，根据点E是的中点求得，设的长为x，则的长为，根据勾股定理即可求得的值． 【详解】解：在边长为8的正方形中，连接， 垂直平分， ， ∵点E是的中点， ， 设的长为x，则的长为， 在和中，， 即， 整理得，， 即． 故选：B． 10．如图， 正方形 的边长为 分别在 上， 且 与 相交于点 ． 则 的长为（　　） A．1.4 B．2.4 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键；利用正方形的性质及已知可证明，则可得，再利用勾股定理求出，利用面积相等即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 故选：B． 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 11．如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y， 根据题意，得，，， 故， 故， 故剩余图形的面积为， 故选：C． 12．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．36 B．32 C．16 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理解三角形等知识点，熟练掌握判定的方法是解题的关键． 过点作于点，于点，证出，得到，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】过点作于点，于点，如图所示： ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴正方形的面积为：， ∴， 故选：C． 13．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，，，则，，，，所以，因为，所以，可证明，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形，，对角线相交于点， ，，，， ，，，， ， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 14．如图，正方形的边长为，以为斜边在正方形的外部作等腰直角三角形，连接、，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，掌握相关的知识是解题关键．过作于点，交于点，根据正方形的性质得，由等腰直角三角形得，从而得，在中，由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点， 四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的周长为， 故选：A． 15．如图，在正方形中，点是上一动点（不与，重合），对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点与点，交，于点与点，若正方形的边长是2，则四边形的周长是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查出正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，四边形的周长，先根据四边形的性质得，，，进而得和是等腰直角三角形，，，即可计算四边形的周长． 【详解】解：方形的边长是2， ，，， 又 ，， 和是等腰直角三角形， ，， 四边形的周长， ， ， ． 故选：B． 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，同角的余角相等，坐标与图形，过作轴于点，过作轴于点，则，则，又四边形是正方形，得，，然后证明，所以，，因为点的坐标为，点的坐标为，所以，，，利用线段和差即可求出点的坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 17．如图，正方形的边长为，的坐标为，平行于轴，则点的坐标为(      )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的边长加上点的横坐标得到点的横坐标，正方形的边长加上点的纵坐标得到点的纵坐标，从而得解． 【详解】解：正方形的边长为，点的坐标为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为，点B的坐标为，点E为对角线的交点，点F与点E关于y轴对称，则点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作DH⊥y轴于H，根据正方形的性质得到AD＝AB，∠DAB＝90°，DE＝BE，根据余角的性质得到∠ADH＝∠BAO，根据全等三角形的性质得到AH＝OB＝4，DH＝OA＝2，求得E（3，3），于是得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0）， ∴OA＝2，OB＝4， 过D作DH⊥y轴于H，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°，DE＝BE， ∵∠AHD＝∠AOB＝90°， ∴∠DAH+∠AHD＝∠AHD+∠BAO＝90°， ∴∠ADH＝∠BAO， ∴△ADH≌△BAO（AAS）， ∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝2， ∴OH＝6， ∴D（2，6）， ∵点E是BD的中点，点B的坐标为（4，0）， ∴点E的坐标是（，）, ∴E（3，3）， ∵点F与点E关于y轴对称， 点F的坐标为（﹣3，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关于y轴对称的点的坐标，正确的作出辅助线是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，点的坐标，连接，根据正方形的性质得到，，，再根据顶点在第四象限求解即可． 【详解】解：连接， ∵正方形的顶点， ∴，，， ∵顶点在第四象限， ∴顶点的坐标是， 故选：A． 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点为对角线的交点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】过点作轴于，根据正方形的性质可得，，，根据余角的性质得，再由全等三角形的性质得到，，即可求得点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，， 过点作轴于， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， 点的坐标为， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型5 正方形的判定证明】 21．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，平分， 又∵， ∴四边形是菱形； A：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； B：四边形是菱形，当时，四边形是正方形，故该选项符合题意； C：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； D：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意． 故选：B ． 22．菱形的对角线、相交于，下列条件能判断菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，据此结合菱形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意； B、，可得，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意； C、，本身是菱形具有的性质，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意； D、，由菱形的性质可得，则，则，能证明菱形是正方形，符合题意； 故选：D． 23．如图所示，在中，，平分，，，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，等边对等角，正方形的判定． 先根据角平分线的性质定理得到，，进而求出，，，得到，，得到，即可证明四边形是正方形． 【详解】证明：∵，平分， ∴，， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴ ∴且， ∴四边形是正方形． 24．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 25．如图，在 中， 平分 平分 的外角 ，过点A作 垂足为M， 垂足为N，连接交于点O． (1)求证：； (2)当线段和满足什么条件时，四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，以及正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解答本题的关键． （1）证明四边形是矩形即可得出； （2）根据正方形的判定方法可知，当时，四边形为正方形． 【详解】（1）∵ 平分 平分 的外角 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）当时，四边形为正方形，理由； ∵四边形是矩形，， ∴四边形为正方形． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 26．如图，正方形，点为对角线上一个动点．为边上一点，且 (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边． （1）连接，根据正方形的性质得到，，进而证明，得到，，根据四边形内角和得到，进而得到，根据等角对等边得到，即可证明； （2）作交于点，交于点，可知四边形为正方形．证明，得到，，进而求出，根据计算即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ， 在和中，， （）， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，作交于点，交于点，可知四边形为正方形． ， ， ， 又，， （）， ，， ， ． ． ∴ ． 27．如图，点E是正方形的边上的一点，的平分线交的延长线于点F，交于点G． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）求出，设，则， ，在中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可； （2）根据平行线性质得出， 证，推出 ，求出，推出即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， 平分， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，即； （2）证明：如图，延长到点M，使， 连结， 四边形是正方形， ， ， 平分， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，用了方程思想． 28．问题与情境：如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点A的对应点为点，延长交于点，连接． 猜想证明（1）试判断四边形的形状，并说明理由； 解决问题（2）如图，若，且正方形的边长为，求的长． 【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析；（2） 【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； （2）过点作于点，则，，由“”可证≌，可得，进而判断出，即可求解． 【详解】解：（1）结论：四边形是正方形， 理由：如图中， 是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ，， 又， ， 四边形是矩形， 由旋转可知：， 四边形是正方形； （2）如图中，过点作于点， 则，， ， ， 四边形是正方形， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ≌， ， 由旋转可知：， 由（1）可知：四边形是正方形， ， ， ∴， ， 在中，， 根据勾股定理得，， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形． 29．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键． 【题型7 求正方形形中最值问题】 30．如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．利用正方形对角线的对称性，将转化为，将的最小值转化成即可得到答案． 【详解】解：连接，设与交于点， 正方形， 点与点关于对称， ， ， 即在与的交点上时，最小，为的长度， 中，，，， ． 故选B． 31．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接、、，则四边形周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 32．如图，正方形的边长为8，点在正方形内，是等边三角形，在对角线上有一动点，则的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质和轴对称一最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键． 设与交于点，连接，由于点B与D关于对称，此时最小，而是等边的边，，由正方形的边长为8，从而得出结果． 【详解】解∶设与交于点，连接， 四边形为正方形， ，且平分． 点B与D关于对称， ． 最小． 正方形的边长为8，是等边三角形， ． 故选∶B． 33．如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可得，则，．延长至G，使，则G点与A点关于直线对称，连接交于， 此时的长就是的最小值．求出的长即可得解． 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及将军饮马．正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴, ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长至G，使，则G点与A点关于直线对称， 连接交于，连接， 则， 此时，的值最小，最小值为的长， ∵,， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 34．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点P．连接，线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取的中点O，连接，则（定值）， 根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段的值最小， 在中，由勾股定理得， 的最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到的中点的距离是定值是解题的关键． 35．如图，正方形的边长为，O是对角线上一动点（点O与端点B，D不重合），于点M，于点N，连接，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形以及矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，准确计算是解题的关键． 连接，证四边形是矩形，可得，当动点运动到时，根据“垂线段最短” ，可知点到点的距离最小，则此时长度的值最小，证明此时△是等腰直角三角形，据此即可求得答案 ． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，即取最小值时，最小， ∴当时，最短， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：A． 【题型8 正方形中“十字架”模型】 36.（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）7 【分析】（1）过点作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，证明，得出； （2）作，垂足为，根据勾股定理得．根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）过点作，垂足为，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ． （2）作，垂足为，如图所示： 由（1）知， 在中，由勾股定理，得： ． 将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点，折痕为， ， 由（1）可知， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 37.如图，正方形，点分别在上，与相交于点O．记． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，边长，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的值为． 【分析】（1）作平行四边形，通过证得，即可证得结论； （2）过点作交于点，则四边形是平行四边形，得出根据勾股定理求得，进而求得，作，交延长线于，通过证，证得，，，继而证得，证得，从而证得，设则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得． 【详解】（1）证明：作平行四边形，则，，，如图， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 作，交延长线于， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 即的值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算．作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【题型9 正方形中“半角”模型】 38.已知四边形是正方形，M、N分别是边，上的动点，正方形的边长为． (1)如图①，O是正方形对角线的交点，若，求四边形的面积； (2)如图②，若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形性质得出，，，求出，得证，得出四边形的面积等于的面积，根据正方形的面积求出即可； （2）延长到Q，使，连接，得证，求出，，求出，得证，推出，根据三角形的周长得出的周长等于，代入求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴ 故四边形的面积是． （2）解：延长到Q，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴的周长是：． 【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是考查学生的推理能力，题目具有一定的代表性，是一道综合性比较强的题目，有一定的难度． 39．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握对称性，正方形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）对称性得到，，，，，进而推出，得到四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）设，推出，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $