专题05 菱形重难点题型汇编（八大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

专题05 菱形重难点题型汇编 （八大题型） 【题型1 利用菱形的性质求角度】........................................................................................1 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】.................................................................................5 【题型3 利用等面积法求面积】............................................................................................8【题型4 添加条件对菱形的判定】.........................................................................................13 【题型5 菱形的判定-证明题】..............................................................................................15 【题型6 菱形的性质与判定综合】.........................................................................................19 【题型7 求菱形中最小值问题】............................................................................................27 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】...................................................................................32 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．在菱形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，运用知识准确计算是解决问题的关键． 利用菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：在菱形中，， ， ， 故选：B． 2．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，． 故选：D． 3．如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得，进而根据得出，进而得出的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． 4．如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 5．如图，四边形、四边形分别是菱形与正方形．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形及菱形的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．连接，则为正方形与菱形的对角线，根据正方形及菱形的性质求解即可． 【详解】解：连接，则为正方形与菱形的对角线， ，， ， ， ， ， 故答案为：A 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 6．如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （   ）    A．10 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分得到，再由勾股定理得到，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，为的中点， ∴． 7．如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 8．我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形，连接、，，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，特殊角的三角函数值，根据菱形，对角线是角平分线且，互相垂直平分和的值即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，平分， ∵， ∴， 故选D． 9．如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点H，已知，，则（   ） A． B． C． D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等面积法，解题的关键是掌握菱形的性质． 根据菱形的性质得出对角线的关系，利用勾股定理及等面积法进行求解即可． 【详解】解：根据菱形的性质得，，， 根据菱形的面积公式得，， ∴， 由勾股定理得，， 根据等面积得，， ∴， 故选：A． 10．如图，在菱形 中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点 ，作于点 ，则的值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题关键是掌握菱形的性质．先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型3 利用等面积法求面积】 11．菱形的对角线，相交于点O．若，，则菱形的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】解：∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，在菱形中，，， ∴菱形的面积为． 12．如图，菱形的对角线，相交于点O，点H是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（　　） A．60 B．78 C．120 D．240 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得，利用勾股定理求得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点H是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴菱形的面积． 故选：C． 13．如图，菱形的面积为，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为3， 故选：A． 14．如图1，在菱形中，动点从点出发，沿折线匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键． 连接，根据图1和图2可判断，进而即可解答． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由图2可知，， ∴， ∴菱形的面积为， 故选∶A． 15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得A，C两点之间的距离为，B，D两点之间的距离为，则四边形的面积为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质， 作于E，于F，连接，交于点O，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由 得平行四边形是菱形，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图，作于E，于F，连接，交于点O， 由题意知，，， ∴四边形是平行四边形． ∵两张纸条等宽， ∴． ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形的面积为： 故选：C． 【题型4 添加条件对菱形的判定】 16．如图，两个完全相同的三角尺和在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形为菱形，下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定，含30度角的直角三角形，斜边上的中线，根据题意，易得四边形为平行四边形，，根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形结合斜边上的中线，进行判断即可． 【详解】解：由图和题意可知：，， ∴， ∴四边形为平行四边形， A、当时，无法得到四边形为菱形，不符合题意； B、当时，则：为的中点， ∴， ∴四边形为菱形，符合题意； C、当时，无法得到四边形为菱形，不符合题意； D、当时，无法得到四边形为菱形，不符合题意； 故选：B． 17．若添加一个条件，使得是菱形，则这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握特殊四边形的判定与性质． 根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，中有，添加该条件不能证明是菱形，不符合题意，选项错误； 选项，添加后可证是矩形，但不能证明是菱形，不符合题意，选项错误； 选项，添加后可证是菱形，符合题意，选项正确； 选项，添加后可证是矩形，但不能证明是菱形，不符合题意，选项错误． 故选：． 18．如图推理中，空格①②③④处可以添上条件“对角线互相垂直”的是（     ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是特殊四边形的判定，根据菱形与矩形的判定方法可得答案． 【详解】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴空格①②③④处可以添上条件“对角线互相垂直”的是①④， 故选：A． 19．如图，下列条件之一能使是菱形的为（　　）    ①；②平分；③；④； A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理判断即可得解． 【详解】解：①，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； ②平分，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ③，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ④，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 综上所述，由②③④可证得四边形是菱形． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【题型5 菱形的判定-证明题】 20．如图，已知的两条对角线相交于点，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、三线合一，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．由平行四边形的性质得，根据等腰三角形的判定和性质得出，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴，即， ∴平行四边形是菱形． 21．如图，在四边形中，，，点为的中点． (1)尺规作图：作的平分线，与交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角的平分线基本作图，菱形的判定，熟练掌握基本作图，菱形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线的基本作图，解答即可； （2）根据菱形的判定证明即可． 【详解】（1）解：根据基本作图，画图如下： 则为所求； （2）证明：平分， ， ， ， ， ． ，点是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形． 22．如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，根据斜边中线定理可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 23． 已知： 如图， 在四边形中， ， 点E， F分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：判断四边形的形状并证明 【答案】(1)见解析 (2)菱形 【分析】（1）根据得，结合已知，根据是公共边，证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到即可证明四边形是菱形． 本题考查了垂直的定义，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的判定，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：四边形是菱形； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点E， F分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵点E， F分别是的中点，， ∴， ∴四边形是菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 24．如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可； （2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点为边上的点，， ， ， ， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键． 25．如图，在四边形中，对角线交于点O，已知，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)于H，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）先说明四边形是菱形，勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵于H， ∴，即：， ∴． 26．如图，在中，，为的中线．，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得四边形为平行四边形，再由直角三角形的性质得出，即可得证； （2）设交于点，由（1）可得，四边形为菱形，，由菱形的性质可得，，，证明为等边三角形得出 ，求出，由菱形的性质可得，最后由计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中线． ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：如图，设交于点， ， 由（1）可得，四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 27．如图：在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)已知平行四边形的面积为40，，，求． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（）先证四边形为平行四边形，继而再根据，即可得四边形为菱形； （）由，，推出，可得菱形的面积为20，根据菱形的面积公式计算即可得答案． 【详解】（1）证明：由尺规作图作的角平分线的过程可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积为40， ∴菱形的面积为20， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，等角对等边，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 28．如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理； （1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可； （2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 29．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)若，求证：四边形是菱形： (2)在（1）的条件下，若菱形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据题意证明四边形是平行四边形，再导角证明，即可证明平行四边形是菱形； （2）利用菱形面积求出，再结合直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， 菱形的面积为， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余、菱形的判定与性质、菱形面积公式及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 30．如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接、、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，根据矩形的四个角都是直角得到，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明； （2）根据菱形的邻角互补，对角线平分对角可得，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半得出，根据勾股定理求出，根据菱形的对角线互相平分求出，，根据菱形面积等于对角线积的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴平行四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等．掌握相关知识是解题的关键． 【题型7 求菱形中最小值问题】 31．如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质（对角线平分内角、各边相等）、直角三角形的性质（角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理），解题的关键是通过构造将待求式转化为，再利用点M位于边上时取等号确定的最小值，进而求出的最小值． 由菱形性质得；过M作，在中，由角性质得，故；过A作，在中，由得，故，再用勾股定理算得；又（点M位于边上时取等号），因此，即的最小值为． 【详解】解：如图，过点A作于T，过点M作于H． ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又由知， ∴， ∴， （点M位于边上时取等号） ， ， ∴的最小值为， 故答案为． 32．如图，菱形的边长为2，且，点是的中点，点为上一点，且的周长的最小值是___________．（结果不取近似值）． 【答案】 【分析】的周长=，要求周长最小，即求的最小值，转化为最短路径问题，根据两定点一动点的模型，点在上，作点关于的对称点在上，连接，此时的周长的最小，,再借助直角三角形的边角关系解得，进而得到的周长的最小值． 【详解】解： 在菱形，点是的中点，在上取中点，连接、，与交于点 为菱形对角线，根据菱形的对称性，点是的中点，菱形边长为2， ， ， 又 ，， ，即是等边三角形， ， 根据勾股定理，， ， ， 此时的周长的最小，最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了几何图形中的最短路径问题，又叫将军饮马模型，根据两定点一动点的模型找到定点的对称点是解题的关键． 33．如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接MD、BM，根据菱形的性质可得MN+MB=MN+MD，则有连接DN，要使MN+MD最小，则点M应为DN与AC的交点，又有，可得△ABD是等边三角形，即可求出DN． 【详解】解：连接MD、BM， 在菱形中， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴点B、D关于AC对称，则MD=MB， ∴MN+MB=MN+MD， 连接DN，要使MN+MD最小，则点M应为DN与AC的交点， 即MN+MB最小值为DN的长， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， ∴AD=AB=2，∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AN=BN=1，DN⊥AB， 在Rt△ADN中， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理和最值，能够得到MN+MB=MN+MD，即MN+MB最小值为DN的长是解本题的关键． 34．如图，已知菱形的边长为2，，分别是边，上的动点，，连接，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 由四边形是菱形得，，，而，则是等边三角形，接着可证也是等边三角形，再证明，得，而，则是等边三角形，当 时，的值最小，此时的值也最小，通过勾股定理可求得的最小值． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ， 为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又，， ∴， 在与中， ， ， 又∵， 为等边三角形， 当最小值时，即为最小值，而当时，值最小， ∵，， ， ∴，即， 故答案为：． 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 35．如图，在四边形中，，于点，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当_______时，四边形BMNC为矩形； (2)当时，求的值； (3)当_____，在点、运动过程中，四边形能构成菱形． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）当时，四边形BMNC为矩形，则，即可求解； （2）分两种情况，①当四边形为等腰梯形时，过点作于点，过点作于点，求出，得，解得；②当四边形为平行四边形时，，即，解得：； （3）由菱形的性质得，由（2）可知，当 时，，过点作于点，则，得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）由题意得：，， 则， ，， 当时，四边形BMNC为矩形， ， ， 故答案为：． （2） ， 当时，分两种情况： ①当四边形为等腰梯形时，过点作于点，过点作于点，如图1， 则，，， ， 又 ， ， 解得：； ②当四边形为平行四边形时， ， 即， 解得：； 综上所述，当时，的值为或； （3）四边形是菱形， ， 由（2）可知，当时，或， 时，四边形为等腰梯形，不符合题意， ， ， 如图2，过点作于点， 则，， ， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合题目，考查了等腰梯形的性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握矩形的判定与性质以及菱形的性质是解题的关键． 36．如图，在四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度向点B运动；点Q从点C出发，以的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①若t为何值时，四边形为平行四边形？ ②某个时刻，四边形可能是菱形吗？为什么？ (2)若P点先运动3秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时，为直角三角形． 【答案】(1)①秒；②四边形不可能为菱形，理由见解析 (2)6或 【分析】本题考查的是平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的应用， （1）①当四边形为平行四边形时，即，根据题意可得，求解即可获得答案；②过点B作于点E，易知四边形是矩形，进而确定的值，当四边形为菱形时，可解得，由①可知时，，故四边形不可能为菱形； （2）根据题意易知不可能是直角，然后分是直角和是直角两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：①如图，当四边形为平行四边形时，即， ∵，点P从点A出发，以的速度向点B运动，点Q从点C出发，以的速度向点D运动， ∴，， ∴， 解得秒； ②∵，，， 如图所示，过点B作于点E，则四边形是矩形， ∴，， 在中，， 当四边形为菱形时，， 则，解得， 由①可知时，， ∴四边形不可能为菱形； （2）P点先运动3秒后停止运动， 当时，，不可能是直角； 当是直角时， ∵，， ∴此时四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 当是直角时，过点Q作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 综上所述t的值6秒或秒． 故答案为：6秒或秒． 37．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，解决此题注意结合方程的思想解题． (1)当四边形是矩形时，，据此求得t的值； (2)当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解：由题意，得，则， 四边形是矩形， ，， 当时，四边形为矩形， ， 解得， 故当时，四边形为矩形． （2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形． 在中，， 时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形． 38．已知，如图，O为坐标原点，在四边形中，， ， ，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当P运动 秒，四边形是平行四边形． (2)在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时，； 【分析】（1）根据题意得，四边形是平行四边形时，列一元一次方程即可求解； （2）分三种情况：当Q点在P点的右边时；当Q点在P点左侧且在线段上时；当Q点在P点左侧且在延长线上时，根据菱形的性质、勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵点D是的中点， ∴ 由题意得： ∵ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴，即，解得： ∴当秒，四边形是平行四边形； （2）分三种情况： 当Q点在P点的右边时，如下图 ∵四边形是菱形 ∴ 在中，由勾股定理得： ∴，解得 ∴； 当Q点在P点左侧且在线段上时，如图， 同理①得： ∴，解得 ∴； 当Q点在P点左侧且在延长线上时，如图3 同理①得： 即，解得 ∴； 综上：时，；时，；时，； 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，菱形的存在性问题等，解题的关键是掌握特殊平行四边形的性质，注意分类讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 菱形重难点题型汇编 （八大题型） 【题型1 利用菱形的性质求角度】........................................................................................1 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】.................................................................................2 【题型3 利用等面积法求面积】............................................................................................3【题型4 添加条件对菱形的判定】.........................................................................................5 【题型5 菱形的判定-证明题】..............................................................................................6 【题型6 菱形的性质与判定综合】.........................................................................................7 【题型7 求菱形中最小值问题】............................................................................................9 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】...................................................................................10 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．在菱形中，，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（  ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形、四边形分别是菱形与正方形．若，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 6．如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （   ）    A．10 B．6 C．7 D．8 7．如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 8．我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形，连接、，，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 9．如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点H，已知，，则（   ） A． B． C． D．15 10．如图，在菱形 中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点 ，作于点 ，则的值为（    ） A． B．5 C． D．6 【题型3 利用等面积法求面积】 11．菱形的对角线，相交于点O．若，，则菱形的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 12．如图，菱形的对角线，相交于点O，点H是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（　　） A．60 B．78 C．120 D．240 13．如图，菱形的面积为，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．5.5 14．如图1，在菱形中，动点从点出发，沿折线匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．4 15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得A，C两点之间的距离为，B，D两点之间的距离为，则四边形的面积为（      ） A． B． C． D． 【题型4 添加条件对菱形的判定】 16．如图，两个完全相同的三角尺和在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形为菱形，下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 17．若添加一个条件，使得是菱形，则这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 18．如图推理中，空格①②③④处可以添上条件“对角线互相垂直”的是（     ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 19．如图，下列条件之一能使是菱形的为（　　）    ①；②平分；③；④； A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【题型5 菱形的判定-证明题】 20．如图，已知的两条对角线相交于点，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 21．如图，在四边形中，，，点为的中点． (1)尺规作图：作的平分线，与交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是菱形． 22．如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 23． 已知： 如图， 在四边形中， ， 点E， F分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：判断四边形的形状并证明 【题型6 菱形的性质与判定综合】 24．如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 25．如图，在四边形中，对角线交于点O，已知，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)于H，若，，，求的长． 26．如图，在中，，为的中线．，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 27．如图：在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)已知平行四边形的面积为40，，，求． 28．如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 29．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)若，求证：四边形是菱形： (2)在（1）的条件下，若菱形的面积为，求的长． 30．如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接、、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【题型7 求菱形中最小值问题】 31．如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为______． 32．如图，菱形的边长为2，且，点是的中点，点为上一点，且的周长的最小值是___________．（结果不取近似值）． 33．如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 34．如图，已知菱形的边长为2，，分别是边，上的动点，，连接，则的最小值为____________． 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 35．如图，在四边形中，，于点，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当_______时，四边形BMNC为矩形； (2)当时，求的值； (3)当_____，在点、运动过程中，四边形能构成菱形． 36．如图，在四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度向点B运动；点Q从点C出发，以的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①若t为何值时，四边形为平行四边形？ ②某个时刻，四边形可能是菱形吗？为什么？ (2)若P点先运动3秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时，为直角三角形． 37．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 38．已知，如图，O为坐标原点，在四边形中，， ， ，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当P运动 秒，四边形是平行四边形． (2)在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $