专题7.3 一元一次不等式组（高效培优讲义，4知识&4题型9类型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题7.3 一元一次不等式组 教学目标 1.理解一元一次不等式组、不等式组的解集、解不等式组的核心概念。 2.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，能借助数轴准确确定并表示解集。 3.掌握解不等式组的规范步骤，能解决含分母、系数为负等常见类型的不等式组。 4.能从实际问题中抽象出不等关系，列出并求解一元一次不等式组。 教学重难点 教学重点 · 1.一元一次不等式组的概念与解法。 · 2.规范解不等式组的步骤：分别解每个不等式→数轴找公共部分→写出解集。 · 3.用数轴直观表示不等式组的解集。 教学难点 · 1.准确找出两个不等式解集的公共部分（尤其是 “大小小大中间找、大大小小找不到” 的情况）。 · 2.理解 “解集是所有不等式解集的交集”，区分 “无解” 与 “有解但范围小” 的情况。 · 3.结合实际问题，正确列出不等式组并求解。 知识点01 一元一次不等式组的定义 1. 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫作一元一次不等式组 . 2. 表示方式 ：不等式组可以用形如的方式表示， 也可以用形如a2x+b2<ax+b<x+ 的方式表示 . 【即学即练】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 一元一次不等式组的解集 1. 定义：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由这几个不等式组成的一元一次不等式组的解集. 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组 ( a ＞ b) x>a x>b  x<a x<b  x>a x<b  x<a x>b  不等式组 的解集  x>a  x<b  无解  b<x<a 不等式组的解集在数轴上的表示 【即学即练】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 解一元一次不等式组 1.解不等式组：求不等式组解集的过程叫作解不等式组 . 2. 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别解每一个不等式； (2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； (3)写出不等式组的解集 . 【即学即练】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 知识点04 一元一次不等式组的应用 基本步骤： 审→设→列→解→验→答(与列一元一次不等式相同) . (1)审： 认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的不等关系； (2)设： 恰当地设未知数； (3)列： 依据题中的不等关系列出不等式组； (4)解： 解不等式组，求出解集； (5)验： 检验所求得的解集是否符合题意和实际意义； (6)答： 写出答案 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）为庆祝2025年五四青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元． (1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元； (2)若要购买这两种纪念品共100个，所花资金不少于666元又不多于700元，有多少种购买方案？ (3)在（2）的前提下，哪种方案所花资金最少？最少花费资金是多少？ 题型01 解一元一次不等式组 【例1-1】解一般的一元一次不等式组 （24-25七年级下·安徽淮南·月考）解不等式组：． 【例1-2】解连写型不等式组 （23-24七年级下·安徽安庆·期末）不等式组的解集为______________． 【例1-3】求一元一次不等式组的特殊解 （24-25七年级下·安徽合肥·期末）解不等式组，并写出此不等式组的所有整数解． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）解不等式组，请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为________． 【变式1-3】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 题型02 逆用一元一次不等式组的解集确定字母的取值或范围 【例2-1】通过比较解集列方程求字母的值 （24-25七年级下·安徽六安·期中）若不等式组的解集是，则_______． 【例2-2】通过分类讨论确定字母的取值范围 （24-25七年级下·安徽芜湖·期末）若关于x的不等式组的整数解的和为9，则k的取值范围是____________． 【例2-3】根据不等式组是否有解求字母的取值范围 （24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 【例2-4】根据不等式组的整数解确定字母的取值范围 （24-25七年级下·安徽淮北·期末）若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是_________________． 【变式2-1】（23-24七年级下·安徽淮北·月考）若关于x的不等式组的解集为，则的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）若不等式的解集为，则a的取值范围是__________． 【变式2-4】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）关于的不等式组，只有4个整数解，则的取值范围是_____． 【变式2-5】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组 （1）若不等式组有解，则m的取值范围是________． （2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围为________． 题型03 一元一次不等式组与二元一次方程组的综合 【例3】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x，y互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足，求k的取值范围． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是________； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是________． 【变式3-2】（22-23七年级下·安徽滁州·期中）已知关于，的方程组： (1)把方程②两边同乘以3，得______③，再把方程①与方程③相加，得______，即______； (2)若方程组的解满足，试确定满足条件的的正整数值． 【变式3-3】已知关于x、y的方程组的解是非负数． (1)求方程组的解（用含k的代数式表示）； (2)求k的取值范围； (3)化简：． 题型04 利用不等式组解决方案决策型问题 【例4-1】（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）某中学为落实体育中考的要求，决定购进一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元． (1)求篮球和足球的单价分别是每个多少元？ (2)学校计划采购篮球，足球共个，并要求篮球个数不超过足球个数的三倍，且总费用不超过元，求有几种购买方案？ 【例4-2】（24-25七年级下·安徽黄山·期末）【问题背景】 在“双碳”目标引领下，新能源汽车产业发展驶入快车道．某小区物业发现当前的充电桩的数量已无法满足业主的需求，“一桩难求”现象日益突出．为破解这一难题，物业部门计划利用地下停车场闲置区域和地面公共空间新建地下和地上两类充电桩． 【信息分析】 物业经理经过市场调研发现如下信息： 地下充电桩数量(单位：个) 地上充电桩数量(单位：个) 总金额(单位：万元) （1）该小区新建一个地下充电桩和一个地上充电桩各需多少万元？ （2）若小区计划拨款万元资金全部用于新建充电桩，若设地下充电桩新建个，则地上充电桩新建 个(请用含的代数式表示)； 【任务驱动】 （3）若在（2）的条件下，且已知地下和地上每个充电桩的占地面积分别为平方米和 平方米，小区物业考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求地下和地上充电桩的总占地面积不得超过平方米，且地上充电桩的数量大于个，问共有哪几种建造方案？请给出总占地面积最少的方案． 【例4-3】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）某中学计划租用A，B两种型号的客车共10辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，这两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如下表所示，已知该中学租车的总费用不超过5600元． A型号客车 B型号客车 载容量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 600 450 (1)至少要租用多少辆B型客车？ (2)若七年级的师生共有370人，请写出所有可能得租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某商店准备采购甲、乙两种玩具共360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，共需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，共需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件． (1)求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元？ (2)若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？ (3)在（2）的采购方案中，哪种方案该商店在销售完这360件玩具可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电风扇，第一周销售A型号2台，B型号5台，销售收入为1150元；第二周销售A型号8台，B型号2台，销售收入为1900元． (1)求A，B两种型号电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不超过7000元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1700元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【变式4-3】（24-25七年级下·安徽六安·期末）为了抓住大别山文化艺术节的商机，某商店决定购进、两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品1件，种纪念品1件，需要150元；若购进种纪念品1件，种纪念品2件，需要250元． (1)求购进、两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于6800元，但不超过6950元，那么该商店共有哪几种进货方案？ 【变式4-4】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）某租车公司有，两种客车，它们的载客数量和租金如表： 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 某中学根据研学游实际情况，计划租用该公司，型客车共辆且每种车型都有，用来接送七年级师生参加研学实践活动，设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)用含的式子填写表格： 型号 车辆数（辆） 载客量（人） 租金（元） ______ ______ (2)若要保证租车费用不超过元，求的最大值； (3)在（2）的条件下，若七年级师生共有人，则共有多少种租车方案，最省钱的租车方案是什么？ 1．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）已知某程序如图所示，规定：从“输入实数”到“结果是否大于95”为一次操作．如果该程序进行了三次操作停止，那么实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）若整数使关于的不等式组，有且只有3个整数解，则符合条件的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25七年级下·安徽六安·期末）对于任意实数，规定一种新运算，若关于的不等式组，恰有3个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）若关于的不等式组无解，则需要满足的条件是（  ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽六安·期中）若关于的不等式组的所有整数解的和是10，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为________． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组的解集是，则的值是__________． 9．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）已知不等式的解都是不等式的解，则的取值范围___________ 10．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）已知关于x的不等式组， （1）不等式①的解集为____________； （2）若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是____________． 11．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）按如图所示的程序进行运算： （1）若输入x的值为4，则停止后输出的结果是________； （2）若运算进行两次才停止，则x的取值范围是________． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）对于实数，符号可表示不超过的最大整数，如，，． （1）若，则实数的取值范围是______； （2）若，且，则的取值范围是______． 13．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）数学课上，老师写下题目：解一元一次不等式组． 其中需要同学们在“□”中填写数字． （1）小明填入数字后得到该不等式组的解集为，则小明填写的数是______； （2）当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字a的取值范围是______． 14．（24-25七年级下·安徽六安·期末）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）求关于的一元一次不等式组的整数解 16．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）为了让学生加强体育锻炼，增强体质，某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元，购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元． (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，其中购买跳绳的数量多于25根，且购买的总费用不超过300元，则有哪几种购买方案？哪一种购买方案更省钱？ 17．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金980元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1380元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校最多能够提供资金4060元，请问有几种购买方案供这个学校选择． 18．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）合肥45中举办经典诵读比赛，需采购诗词手册和书签两种道具作为班级奖励．首次采购时，购买1套诗词手册和2套书签共需50元；第二次采购时，购买3套诗词手册和3套书签共需105元． (1)求每套诗词手册和书签进价各是多少元？ (2)比赛筹备组计划再次采购两种道具共80套．供应商调整价格：诗词手册进价上涨30%；书签进价降至原价的八折．若学校要求总费用不超过1548元，且诗词手册的数量不低于书签的数量，求满足条件的方案有哪几种？ 19．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A、B两种型号的电器的销售单价； (2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 20．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元． 素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 21．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）某服装店销售每件进价分别为400元、340元的A，B两种款式的羽绒服，下表是近两周的销售情况． 销售数量 销售总利润 A款式 B款式 第一周 3件 5件 1400元 第二周 4件 10件 2400元 （注：进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本，利润率） (1)求A，B两种款式羽绒服的销售单价． (2)该商场为了在春节期间增加销售量，将这两种款式的羽绒服进行打折销售．若A款式羽绒服打折后利润率不低于，则A款式羽绒服最多打几折？ (3)若该服装店准备用不多于10800元的金额再次采购这两种款式的羽绒服共30件，且购买A款式的数量要多于B款式数量的，则共有几种采购方案？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 一元一次不等式组 教学目标 1.理解一元一次不等式组、不等式组的解集、解不等式组的核心概念。 2.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，能借助数轴准确确定并表示解集。 3.掌握解不等式组的规范步骤，能解决含分母、系数为负等常见类型的不等式组。 4.能从实际问题中抽象出不等关系，列出并求解一元一次不等式组。 教学重难点 教学重点 · 1.一元一次不等式组的概念与解法。 · 2.规范解不等式组的步骤：分别解每个不等式→数轴找公共部分→写出解集。 · 3.用数轴直观表示不等式组的解集。 教学难点 · 1.准确找出两个不等式解集的公共部分（尤其是 “大小小大中间找、大大小小找不到” 的情况）。 · 2.理解 “解集是所有不等式解集的交集”，区分 “无解” 与 “有解但范围小” 的情况。 · 3.结合实际问题，正确列出不等式组并求解。 知识点01 一元一次不等式组的定义 1. 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫作一元一次不等式组 . 2. 表示方式 ：不等式组可以用形如的方式表示， 也可以用形如a2x+b2<ax+b<x+ 的方式表示 . 【即学即练】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 知识点02 一元一次不等式组的解集 1. 定义：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由这几个不等式组成的一元一次不等式组的解集. 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组 ( a ＞ b) x>a x>b  x<a x<b  x>a x<b  x<a x>b  不等式组 的解集  x>a  x<b  无解  b<x<a 不等式组的解集在数轴上的表示 【即学即练】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； 在同一数轴上表示该不等式组的解集为： 故选：B． 知识点03 解一元一次不等式组 1.解不等式组：求不等式组解集的过程叫作解不等式组 . 2. 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别解每一个不等式； (2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； (3)写出不等式组的解集 . 【即学即练】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查求一元一次不等式组的解集．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 解不等式①：展开得， 移项合并得 ， 解得， 解不等式②：去分母得， 去括号， 移项、合并同类项得， 解得， 所以不等式组的解集是． 在数轴上可表示为： 知识点04 一元一次不等式组的应用 基本步骤： 审→设→列→解→验→答(与列一元一次不等式相同) . (1)审： 认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的不等关系； (2)设： 恰当地设未知数； (3)列： 依据题中的不等关系列出不等式组； (4)解： 解不等式组，求出解集； (5)验： 检验所求得的解集是否符合题意和实际意义； (6)答： 写出答案 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）为庆祝2025年五四青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元． (1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元； (2)若要购买这两种纪念品共100个，所花资金不少于666元又不多于700元，有多少种购买方案？ (3)在（2）的前提下，哪种方案所花资金最少？最少花费资金是多少？ 【答案】(1)购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元 (2)共有7种购买方案 (3)在（2）的前提下，购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，所花资金的最小值为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元，利用总价单价数量，结合“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，利用总价单价数量，结合总价不少于元又不多于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出购买方案的个数； （3）根据题意甲种纪念品数量越少，总费用越少，则购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，进而计算花费资金，即可求解． 【详解】（1）解：设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元． （2）解：设购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为34，35，36，37，38，39，40， 共有7种购买方案． （3）解：∵购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元 ∴甲种纪念品数量越少，总费用越少， ∴购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个， 设所花资金最小为． 答：在（2）的前提下，购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，所花资金的最小值为670元． 题型01 解一元一次不等式组 【例1-1】解一般的一元一次不等式组 （24-25七年级下·安徽淮南·月考）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为． 【例1-2】解连写型不等式组 （23-24七年级下·安徽安庆·期末）不等式组的解集为______________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解法，关键是运用不等式的基本性质正确求解． 先在不等式两边同时减去3，再在不等式两边同时除以，注意同时在不等式两边同时除以负数时不等号要改变方向． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例1-3】求一元一次不等式组的特殊解 （24-25七年级下·安徽合肥·期末）解不等式组，并写出此不等式组的所有整数解． 【答案】，此不等式组的所有整数解有1，2 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，求出每个不等式的解集，写出公共部分，并写出解集中的整数解即可． 【详解】解：， 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴此不等式组的所有整数解有1，2． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）解不等式组，请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握不等式组的解法步骤是解本题的关键； （1）把不等式①移项，把未知数的系数化为“1”即可； （2）把不等式②移项，把未知数的系数化为“1”即可； （3）在数轴上表示不等式的解集即可； （4）根据数轴确定解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， 由①得：， 解得：； 故答案为：； （2）解：由②得：， 解得：； 故答案为：； （3）解：如图，在数轴上表示解集如下： ； （4）解：解：由（3）可知原不等式组的解集为． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，不等式组的所有正整数解是1，2，3 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先解不等式，再求出不等式组的解集，最后判定正整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集是， ∴该不等式组的所有正整数解是1，2，3． 题型02 逆用一元一次不等式组的解集确定字母的取值或范围 【例2-1】通过比较解集列方程求字母的值 （24-25七年级下·安徽六安·期中）若不等式组的解集是，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于的方程，解之可得． 【详解】解：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 【例2-2】通过分类讨论确定字母的取值范围 （24-25七年级下·安徽芜湖·期末）若关于x的不等式组的整数解的和为9，则k的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】本题考查根据不等式组的解的情况求参数．先化简不等式组为，不等式组的整数解的和为9得到整数解为或，分别得到或，求解即可． 【详解】解：由不等式组，得， ∵不等式组的整数解的和为9 ∴不等式组的整数解为或， 当不等式组的整数解为时，， ∴； 当不等式组的整数解为时，， ∴． 综上所述，k的取值范围为或． 【例2-3】根据不等式组是否有解求字母的取值范围 （24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法．先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组有解可得关于a的不等式，解不等式即得答案． 【详解】解：对不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵原不等式组有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 【例2-4】根据不等式组的整数解确定字母的取值范围 （24-25七年级下·安徽淮北·期末）若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是_________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据不等式组整数解的情况确定a的取值范围成为解题的关键． 先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有3个整数解确定a的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】（23-24七年级下·安徽淮北·月考）若关于x的不等式组的解集为，则的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式组的解集，代数式的求值；先分别解两个不等式，根据解集确定参数的值，再代入计算即可． 【详解】解：解不等式组： 解不等式①得：； 解不等式②得：，即． 由题可知，不等式组的解集为， ∴，解得； ，解得，即． ∴， 故选：D． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别解两个不等式，得到解集后根据不等式组无解的条件确定m的范围，即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得：． 故选：D． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）若不等式的解集为，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质以及根据不等式的解集求参数的取值范围，解题的关键是根据不等式两边同除以一个数后不等号方向的变化，判断这个数的正负性．观察不等式及其解集，发现不等号方向发生了改变．根据不等式的基本性质，判断的正负性，进而求出的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集为， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：。 【变式2-4】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）关于的不等式组，只有4个整数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解不等式组得到，再利用不等式组只有4个整数解，则x只能取17、18、19、20，所以，然后解关于a的不等式组即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组只有4个整数解， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式2-5】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组 （1）若不等式组有解，则m的取值范围是________． （2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围为________． 【答案】 或 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键． （1）根据不等式组有解，可得不等式组的解集为，即可求解； （2）根据该不等式组的所有整数解的和为，可得不等式组的所有整数解为或，即可求解． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由（1）得：不等式组的解集为， ∵该不等式组的所有整数解的和为， ∴不等式组的所有整数解为或， 当不等式组的所有整数解为时，， ∴m的取值范围为； 当不等式组的所有整数解为时，， ∴m的取值范围为； 综上所述，m的取值范围为或． 故答案为：或 题型03 一元一次不等式组与二元一次方程组的综合 【例3】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解x，y互为相反数，求k的值； (2)若方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意，解二元一次方程组，得到，，结合x，y互为相反数，求出k值即可； （2）根据，，得到，代入到不等式，解不等式，得到结果． 本题考查了解二元一次方程组，解不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 【详解】（1）解：， ①②得：， 解得：， 把代入②，得， ， ，y互为相反数， ， 解得； （2）解：， 方程组的解满足， ， ， 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是________； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是________． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及二元一次方程组的解，熟知解一元一次不等式组的步骤及解二元一次方程组的步骤是解题的关键． （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再结合不等式组的解集即可得出m的取值范围． （2）先用m表示出方程组的解，再结合（1）中的取值范围即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 解不等式得，； 解不等式，得，． ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：． （2）解方程组得，． ∵此方程组的解为整数，且整数m为整数， ∴或或， 解得或或5或1或4或2． 又∵， ∴符合条件的所有整数m的和是：． 故答案为：6． 【变式3-2】（22-23七年级下·安徽滁州·期中）已知关于，的方程组： (1)把方程②两边同乘以3，得______③，再把方程①与方程③相加，得______，即______； (2)若方程组的解满足，试确定满足条件的的正整数值． 【答案】(1)，， (2)1或2 【分析】（1）按照解二元一次方程组的步骤求解即可； （2）先求出方程组的解为，根据得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：把方程②两边同乘以3，得③， ∴得，即， 故答案为：，，； （2）解：把代入②得，解得， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解得． ∵为正整数， ∴的正整数值为1或2． 【变式3-3】已知关于x、y的方程组的解是非负数． (1)求方程组的解（用含k的代数式表示）； (2)求k的取值范围； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法直接利用“加减消元法”求解即可． （2）根据方程的解x、y为非负数，建立不等式组即可求解k的取值范围． （3）根据（2）中的k值取值范围，将绝对值符号去掉，进行化简即可． 【详解】（1）解：， ①+②，得：， 解得， 将代入②，得：， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵方程组的解是非负数， ∴， 解不等式③，得：， 解不等式④，得：， 则不等式组的解集为； （3）解：∵， ∴，， 则 ． 题型04 利用不等式组解决方案决策型问题 【例4-1】（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）某中学为落实体育中考的要求，决定购进一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元． (1)求篮球和足球的单价分别是每个多少元？ (2)学校计划采购篮球，足球共个，并要求篮球个数不超过足球个数的三倍，且总费用不超过元，求有几种购买方案？ 【答案】(1)每个篮球是元，每个足球是元； (2)共有种购买方案． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． （）设每个篮球是元，每个足球是元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设购买篮球个，则购买足球个，依题意有，解出不等式组，然后即可确定购买方案． 【详解】（1）解：设每个篮球是元，每个足球是元， 根据题意得，， 解得：， 答：每个篮球是元，每个足球是元； （2）解：设购买篮球个，则购买足球个， 依题意有：， 解得：， ∵为整数， ∴，，，，，， ∴购买篮球个，购买足球个； 购买篮球个，购买足球个； 购买篮球个，购买足球个； 购买篮球个，购买足球个； 购买篮球个，购买足球个； 购买篮球个，购买足球个； 共有种购买方案． 【例4-2】（24-25七年级下·安徽黄山·期末）【问题背景】 在“双碳”目标引领下，新能源汽车产业发展驶入快车道．某小区物业发现当前的充电桩的数量已无法满足业主的需求，“一桩难求”现象日益突出．为破解这一难题，物业部门计划利用地下停车场闲置区域和地面公共空间新建地下和地上两类充电桩． 【信息分析】 物业经理经过市场调研发现如下信息： 地下充电桩数量(单位：个) 地上充电桩数量(单位：个) 总金额(单位：万元) （1）该小区新建一个地下充电桩和一个地上充电桩各需多少万元？ （2）若小区计划拨款万元资金全部用于新建充电桩，若设地下充电桩新建个，则地上充电桩新建 个(请用含的代数式表示)； 【任务驱动】 （3）若在（2）的条件下，且已知地下和地上每个充电桩的占地面积分别为平方米和 平方米，小区物业考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求地下和地上充电桩的总占地面积不得超过平方米，且地上充电桩的数量大于个，问共有哪几种建造方案？请给出总占地面积最少的方案． 【答案】（1）该小区新建一个地下充电桩为万元，一个地上充电桩为万元；（2）个；（3）①地下3个，地上8个，②地下4个，地上6个，③地下5个，地上4个； 地下5个，地上4个，总面积最小为平方米. 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，列代数式，一元一次不等式组的应用； （1）设该小区新建一个地下充电桩为x万元，一个地上充电桩为y万元，根据表格中的数据列方程组求解即可； （2）由总的资金减去建地下充电桩的费用，再除以地上充电桩的费用即可得到答案； （3）由题意可得：，再解不等式组并进一步解答即可. 【详解】解：（1）设该小区新建一个地下充电桩为x万元，一个地上充电桩为y万元， 由题意得，， 解得， 答：该小区新建一个地下充电桩为万元，一个地上充电桩为万元； （2）小区计划拨款万元资金全部用于新建充电桩，设地下充电桩新建个，则地上充电桩新建个； （3）由题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴或或， ∴有三种方案： ①地下3个，地上8个，总面积为平方米； ②地下4个，地上6个，总面积为平方米； ③地下5个，地上4个，总面积为平方米； ∴地下5个，地上4个，总面积最小为平方米. 【例4-3】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）某中学计划租用A，B两种型号的客车共10辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，这两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如下表所示，已知该中学租车的总费用不超过5600元． A型号客车 B型号客车 载容量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 600 450 (1)至少要租用多少辆B型客车？ (2)若七年级的师生共有370人，请写出所有可能得租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)至少要租用辆B型客车 (2)共有三种租车方案：方案一：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，方案二：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，方案三：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，且租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，最省钱 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出不等式是解题的关键． （1）设租用x辆B型号客车，则租用辆A型号客车，再根据租车的总费用不超过5600元，建立不等式解题即可； （2）设租用x辆B型号客车，则租用辆A型号客车，根据七年级的师生共有370人，建立不等式，求出的范围，结合（1）可知，且为整数，从而可得的值，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：设租用x辆B型号客车，则租用辆A型号客车， 根据题意得：， 解得：， 又为整数， 最小值为， 答：至少要租用辆B型客车； （2）解：设租用x辆B型号客车，则租用辆A型号客车， 根据题意得：， 解得：， 由（1）可知， ， 又为整数， ， 则共有三种租车方案： 方案一：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，则费用为：（元）， 方案二：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，则费用为：（元）， 方案三：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，则费用为：（元）， ， 租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，最省钱． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）某商店准备采购甲、乙两种玩具共360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，共需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，共需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件． (1)求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元？ (2)若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？ (3)在（2）的采购方案中，哪种方案该商店在销售完这360件玩具可获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲种玩具的进价是90元/件，乙种玩具的进价是70元/件 (2)该商店共有5种采购方案 (3)当甲种玩具购进80件，乙种玩具购进280件时利润最大，最大利润是8800元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组与不等式组的应用； （1）设甲种玩具的进价是x元/件，乙种玩具的进价是y元/件，购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，共需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，共需要4600元，再建立方程组解题即可； （2）设购进m件甲种玩具，则购进件乙种玩具，乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，再建立不等式组解题即可； （3）甲种玩具每件的销售利润大于乙种玩具每件的销售利润，可得当甲种玩具购进80件时，销售利润最大，再计算即可； 【详解】（1）解：设甲种玩具的进价是x元/件，乙种玩具的进价是y元/件， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种玩具的进价是90元/件，乙种玩具的进价是70元/件； （2）解：设购进m件甲种玩具，则购进件乙种玩具， 根据题意得： 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为76，77，78，79，80， ∴共有5种采购方案． 答：该商店共有5种采购方案； （3）解：∵甲种玩具每件利润是． 乙种玩具每件利润为（元）， ∴甲种玩具每件的销售利润大于乙种玩具每件的销售利润， ∴当甲种玩具购进80件时，销售利润最大． 最大利润为， 答：当甲种玩具购进80件，乙种玩具购进280件时利润最大，最大利润是8800元． 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A，B两种型号的电风扇，第一周销售A型号2台，B型号5台，销售收入为1150元；第二周销售A型号8台，B型号2台，销售收入为1900元． (1)求A，B两种型号电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不超过7000元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1700元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A，B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； (2)A型号的电风扇最多能采购25台； (3)能实现利润超过1700元的目标，方案见解析． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用． （1）设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设采购A型号的电风扇a台，则采购B型号的电风扇台，根据不等关系列不等式求解即可； （3）根据不等关系列不等式求解，结合（2）得到a的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元． 依题意，得， 解得． 答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； （2）设采购A型号的电风扇a台，则采购B型号的电风扇台． 依题意，得， 解得， ∴a最大取25． 答：A型号的电风扇最多能采购25台； （3）由题意，得， 解得． 由（2），可得，且a应为整数， 故超市能实现利润超过1700元的目标．相应的方案有5种，方案如下： 当时，采购A型号的电风扇21台，B型号的电风扇29台； 当时，采购A型号的电风扇22台，B型号的电风扇28台； 当时，采购A型号的电风扇23台，B型号的电风扇27台； 当时，采购A型号的电风扇24台，B型号的电风扇26台； 当时，采购A型号的电风扇25台，B型号的电风扇25台． 【变式4-3】（24-25七年级下·安徽六安·期末）为了抓住大别山文化艺术节的商机，某商店决定购进、两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品1件，种纪念品1件，需要150元；若购进种纪念品1件，种纪念品2件，需要250元． (1)求购进、两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于6800元，但不超过6950元，那么该商店共有哪几种进货方案？ 【答案】(1)购进种纪念品每件需50元，购进种纪念品每件需100元 (2)该商店有4种进货方案： 方案一：购买A种纪念品61件，购买B种纪念品39件； 方案二：购买A种纪念品62件，购买B种纪念品38件； 方案三：购买A种纪念品63件，购买B种纪念品37件； 方案四：购买A种纪念品64件，购买B种纪念品36件． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确理解题意，找到数量关系式，列出方程组与不等式组是解题的关键； （1）设购进种纪念品每件需x元，购进两种纪念品每件需y元，根据等量关系：购进A种纪念品1件，种纪念品1件，需要150元；购进种纪念品1件，种纪念品2件，需要250元，列出方程组并求解即可； （2）设购买A种纪念品m件，则购买B种纪念品件，根据不等关系：用于购买这100件纪念品的资金不少于6800元，但不超过6950元，列出不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：设购进种纪念品每件需x元，购进两种纪念品每件需y元， 由题意得：， 解得：； 答：购进种纪念品每件需50元，购进种纪念品每件需100元． （2）解：设购买A种纪念品m件，则购买B种纪念品件， 由题意得：， 解得：； 由于m取正整数，则m取61，62，63，64， 对应地有4种进货方案： 方案一：购买A种纪念品61件，购买B种纪念品39件； 方案二：购买A种纪念品62件，购买B种纪念品38件； 方案三：购买A种纪念品63件，购买B种纪念品37件； 方案四：购买A种纪念品64件，购买B种纪念品36件． 【变式4-4】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）某租车公司有，两种客车，它们的载客数量和租金如表： 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 某中学根据研学游实际情况，计划租用该公司，型客车共辆且每种车型都有，用来接送七年级师生参加研学实践活动，设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)用含的式子填写表格： 型号 车辆数（辆） 载客量（人） 租金（元） ______ ______ (2)若要保证租车费用不超过元，求的最大值； (3)在（2）的条件下，若七年级师生共有人，则共有多少种租车方案，最省钱的租车方案是什么？ 【答案】(1)； (2)得最大值为 (3)方案有型辆，型辆；型辆，型辆两种，最省钱的方案是型辆，型辆 【分析】本题主要考查的是列代数式，一元一次不等式的应用，理解题意，确定不等关系是解本题的关键． （1）根据表格信息结合载客量与租金的计算方法可得答案； （2）由总的租金不超过1900元，列不等式解答即可； （3）写出所有可能的租车方案，分析并确定最省钱的租车方案． 【详解】（1）解：客车载客量为人， 客车的租金为元． 故答案为：；． （2）解：有题意得：， 解得：， 所以得最大值为． （3）解：型辆，型辆， 租车费用为（元）， 但载客量为，故不合题意舍去； 型辆，型辆，租车费用为（元， 但载客量为，故不合题意舍去； 型辆，型辆， 租车费用为（元）， 但载客量为，符合题意； 型辆，型辆， 租车费用为（元）， 但载客量为，符合题意； 故符合题意的方案有两种，最省钱的方案是型辆，型辆． 1．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的字母参数，解题关键是掌握求不等式组的字母参数求法． 先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集是，得到关于m的不等式求解． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式组的解集是， ∴，解得：， 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）已知某程序如图所示，规定：从“输入实数”到“结果是否大于95”为一次操作．如果该程序进行了三次操作停止，那么实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得出不等式． 表示出第一次、第二次、第三次的输出结果，得出不等式，解出即可． 【详解】解：第一次的结果为：，没有输出，则， 解得：； 第二次的结果为：，没有输出，则， 解得： 第三次的结果为：，输出，则 解得：； 综上可得：． 故选：B． 3．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）若整数使关于的不等式组，有且只有3个整数解，则符合条件的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再结合不等式组解的情况得出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为 ∵整数使关于的不等式组，有且只有3个整数解， ∴这3个整数解为2，3，4， ∴， 解得：， 故选：A． 4．（24-25七年级下·安徽六安·期末）对于任意实数，规定一种新运算，若关于的不等式组，恰有3个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组， 根据新定义运算将不等式组转化为关于x的一元一次不等式组，求出解集后结合整数解的个数确定m的范围。 【详解】由题意可得，原不等式组可化为， 解得：， 解得： ∴不等式组的解集为． 该不等式组恰有3个整数解，即x的整数解为3、4、5。 ， 解得， 故选C． 5．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）若关于的不等式组无解，则需要满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求出不等式组中每个不等式的解集，根据已知即可得出关于a的不等式，即可得出答案． 【详解】解：解不等式得：， 又∵关于x的不等式组无解， ∴， 故选：D． 6．（24-25七年级下·安徽六安·期中）若关于的不等式组的所有整数解的和是10，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式的整数解求参数，正确求解不等式组以及确定参数的取值范围是解答本题的关键． 首先解不等式组，确定x的取值范围，再根据整数解的和为10，确定a的取值范围． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式，得． 解第二个不等式，得． ∴不等式组的解集为． ∵关于的不等式组的所有整数解的和是10， ∴若整数解为1， 2， 3， 4，其和为，符合条件， ∴ 解得． 故选B． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的值，熟练掌握“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集”是解题的关键．先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集，求出m的范围即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得． 不等式组的解集为， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的不等式组的解集是，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求出，，然后代入求解即可． 【详解】解： 由不等式可得， 由不等式可得， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）已知不等式的解都是不等式的解，则的取值范围___________ 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分别求出两个不等式的解，然后根据“同大取大”即可得出的取值范围，分别求出两个不等式的解集，再列出关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵不等式的解都是不等式的解， ， ∴ 解得：， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）已知关于x的不等式组， （1）不等式①的解集为____________； （2）若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键． （1）求出不等式①的解集即可； （2）先求出不等式组的解集（含有字母，利用不等式组只有5个整数解，逆推出的取值范围即可． 【详解】解：（1） 解得：， 故答案为：； （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 又∵不等式组有且只有5个整数解， ∴， 解得， 故答案为． 11．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）按如图所示的程序进行运算： （1）若输入x的值为4，则停止后输出的结果是________； （2）若运算进行两次才停止，则x的取值范围是________． 【答案】 24 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）代入，可求出第一次运算结果为9，由，可得出需进行第二次运算；代入，可求出第二次运算结果，由，可得出停止后输出的结果是24； （2）根据运算进行两次才停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）第一次运算：， ， 需进行第二次运算； 第二次运算：， ， 停止后输出的结果是24． 故答案为：24； （2）根据题意得：， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）对于实数，符号可表示不超过的最大整数，如，，． （1）若，则实数的取值范围是______； （2）若，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查取整运算，读懂题意，理解符号可表示不超过的最大整数，由题意列出不等式组求解是解决问题的关键． （1）由取整运算符号，结合即可得到，由不等式性质求解即可得到答案； （2）由取整运算符号，结合即可得到，由不等式性质求解，再由恒等变形得到，等量代换即可得到答案． 【详解】解：（1）符号可表示不超过的最大整数，， ， 解得， 故答案为：； （2）符号可表示不超过的最大整数，， ， 解得， ， ， 由知，即， ， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）数学课上，老师写下题目：解一元一次不等式组． 其中需要同学们在“□”中填写数字． （1）小明填入数字后得到该不等式组的解集为，则小明填写的数是______； （2）当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字a的取值范围是______． 【答案】 6 【分析】本题考查的是根据不等式组的解集求解字母系数的值或取值范围； （1）设小明填写的数字为a，再解不等式组，再根据解集的情况建立方程求解即可； （2）根据（1）的结论，结合不等式组无解，建立不等式求解即可. 【详解】解：（1）设小明填写的数字为a， 则 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∵该不等式组的解集为，而不等式组的解集为， ∴，解得， ∴小明填写的数字为6． （2）由（1）得： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∵该一元一次不等式组无解， ∴， 解得， ∴当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字的取值范围小于等于． 14．（24-25七年级下·安徽六安·期末）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先通过移项、合并同类项、系数化为1求出两个不等式的解集，再求出公共解，最后在数轴上表示出来即可，注意在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆圈表示． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 因此不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）求关于的一元一次不等式组的整数解 【答案】，， 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再找出其中的整数即可． 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解为， ∴不等式组的整数解为，，． 16．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）为了让学生加强体育锻炼，增强体质，某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元，购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元． (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，其中购买跳绳的数量多于25根，且购买的总费用不超过300元，则有哪几种购买方案？哪一种购买方案更省钱？ 【答案】(1)购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元 (2)有三种购买方案，①购买跳绳26根，毽子28个；②购买跳绳27根，毽子27个；③购买跳绳28根，毽子26个；购买跳绳26根，毽子28个更省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准等量关系列出方程组和数量关系列出不等式组是解题的关键． （1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）购买跳绳m根，则购买毽子个，根据购买的总费用不超过300元，购买跳绳的数量多于25根，列出一元一次不等式组，解得，则，27，28，分别计算每种方案的费用，即可解决问题． 【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元， 由题意得：， 解得：， 答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元； （2）解：购买跳绳m根，则购买毽子个， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ，27，28， 有三种购买方案： ①购买跳绳26根，毽子28个，费用为：元； ②购买跳绳27根，毽子27个，费用为：元； ③购买跳绳28根，毽子26个，费用为：元； ， 方案①更省钱：购买跳绳26根，毽子28个． 17．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金980元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1380元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校最多能够提供资金4060元，请问有几种购买方案供这个学校选择． 【答案】(1)甲：180元，乙：220元 (2)有两种：①甲种书柜9个，乙种书柜11个；②甲种书柜10个，乙种书柜10个 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设甲种书柜购买m个，乙种书柜购买（）个，根据题意列出一元一次不等式组求出m的范围，根据m为整数即可得到m的值，从而得到答案． 【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元， 由题意得，解得， 答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为220元． （2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（）个； 由题意得：，解得：， ∵m取整数， ∴m可以取的值为9，10， ∴学校的购买方案有以下两种： 方案一：甲种书柜9个，乙种书柜11个， 方案二：甲种书柜10个，乙种书柜10个． 18．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）合肥45中举办经典诵读比赛，需采购诗词手册和书签两种道具作为班级奖励．首次采购时，购买1套诗词手册和2套书签共需50元；第二次采购时，购买3套诗词手册和3套书签共需105元． (1)求每套诗词手册和书签进价各是多少元？ (2)比赛筹备组计划再次采购两种道具共80套．供应商调整价格：诗词手册进价上涨30%；书签进价降至原价的八折．若学校要求总费用不超过1548元，且诗词手册的数量不低于书签的数量，求满足条件的方案有哪几种？ 【答案】(1)每套诗词手册和书签进价分别是20元，15元． (2)该比赛筹备组共有3种购买方案，方案1：购买诗词手册40套、购买书签40套；方案2：购买诗词手册41套、购买书签39套；方案3：购买诗词手册42套、购买书签38套． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和不等式组成为解题的关键． （1）设每套诗词手册和书签进价各分别为x元、y元，然后根据题意列方程组求解即可； （2）设购买诗词手册m套，则购买书签套．再根据题意列不等式组求得m的取值范围，进而完成解答． 【详解】（1）解：设每套诗词手册和书签进价各分别为x元、y元， 由题意可得：，解得：． 答：每套诗词手册和书签进价分别是20元，15元． （2）解：设购买诗词手册m套，则购买书签套． 由题意可得：，解得：， ∴该比赛筹备组共有3种购买方案，方案1：购买诗词手册40套、购买书签40套；方案2：购买诗词手册41套、购买书签39套；方案3：购买诗词手册42套、购买书签38套． 19．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电器，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 2台 3台 900元 第二周 3台 5台 1430元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） (1)求A、B两种型号的电器的销售单价； (2)若超市准备再采购这两种型号的电器共40台，总费用不超过5700元，销售完这40台电器能否实现利润超过1800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为210元、160元 (2)能；方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台；方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键． （1）设A、B两种型号的电器的销售单价分别为x元、y元，根据题意列出二元一次方程进行计算即可； （2）设采购A种型电器a台，则采购B种型号电器台，列出不等式组进行计算即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电器的销售单价分别为210元、160元； （2）解：能； 设采购A种型号电器a台，则采购B种型号电器台， ， 解得：， ∵a为整数， 或． 方案有两种： 方案1：采购A种型号的电器21台，B种型号的电器19台； 方案2：采购A种型号的电器22台，B种型号的电器18台． 20．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元． 素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】任务1：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元；任务2：有三种销售方案：方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件；方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件；方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件； 任务3：销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为34020元 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，正确列出方程组和不等式组是关键． 任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元，每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元．据此列出方程组并解方程组即可； 任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒，品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．据此列出不等式组，并解不等式组即可； 任务3：分别求出各方案的获利，比较后即可得到答案． 【详解】解：任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元， 由题意得， 解得 答：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元； 任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒， 由题意得， 解得． 因为为整数，所以．故有三种销售方案： 方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件； 方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件； 方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件． 任务3：方案1获利：（元）； 方案2获利：（元）； 方案3获利：（元）． 因为，所以销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为元． 21．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）某服装店销售每件进价分别为400元、340元的A，B两种款式的羽绒服，下表是近两周的销售情况． 销售数量 销售总利润 A款式 B款式 第一周 3件 5件 1400元 第二周 4件 10件 2400元 （注：进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本，利润率） (1)求A，B两种款式羽绒服的销售单价． (2)该商场为了在春节期间增加销售量，将这两种款式的羽绒服进行打折销售．若A款式羽绒服打折后利润率不低于，则A款式羽绒服最多打几折？ (3)若该服装店准备用不多于10800元的金额再次采购这两种款式的羽绒服共30件，且购买A款式的数量要多于B款式数量的，则共有几种采购方案？ 【答案】(1)A款式羽绒服的销售单价为600元，B款式羽绒服的销售单价为500元 (2)A款式羽绒服最多打八折 (3)共有三种采购方案 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，根据不等关系列出不等式． （1）设两种款式羽绒服的销售单价分别为元、元，根据表格中的数据列出方程组，解方程组即可； （2）设A款式羽绒服打m折，根据A款式羽绒服打折后利润率不低于，列出不等式，解不等式即可； （3）设采购A款式羽绒服n件，B款式羽绒服件，根据总费用不多于10800元，购买A款式的数量要多于B款式数量的，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设两种款式羽绒服的销售单价分别为元、元． 根据题意，可得：， 解得， 答：A款式羽绒服的销售单价为600元，B款式羽绒服的销售单价为500元． （2）解：设A款式羽绒服打m折． 根据题意，可得：， 解得． 答：A款式羽绒服最多打八折． （3）解：设采购A款式羽绒服n件，B款式羽绒服件， 根据题意，可得， 解得：． ∵为整数， ∴的值为8或9或10，共有三种采购方案． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $