提分小卷限时练02（解答AB组，综合训练）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

提分小卷：解答题 限时训练02（A组+B组） （考试时间：50分钟 试卷满分：78分） 一、解答题（A卷）（本大题共5小题，满分48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14.（满分12分）（1）计算：． (2) 15.（满分8分）2024年“中国网络文明大会”在成都举办，大会以“弘扬时代精神，共建网络文明”为主题，包括开幕式及主论坛、11场分论坛和网络互动引导活动，分论坛围绕11个方面的主题展开．加强网络文明建设是加快适应信息技术迅猛发展新形势的必然要求，应从学生抓起．某学校为了解学生感兴趣的主题，现随机选取部分学生对选出的5个主题（A．网络正能量；B．网络文明培育；C．未成年人网络保护；D．网络辟谣；E．人工智能）进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图． 主题 人数 A 18 B 9 C a D 36 E b 请根据上述信息，解答下列问题： (1)______；(2)求扇形统计图中A所对应的扇形的圆心角度数； (3)若该学校共有学生3000人，请你估计该校对“人工智能”感兴趣的学生人数． 16．（满分8分）如图，阳光大厦在一座小山上，小山的斜坡与水平地面的夹角，在阳光大厦楼顶有一广告牌，从坡底处测得广告牌顶端的仰角为（即），在山顶处测得广告牌的底部的仰角为（即），已知、、在同一条直线上，，，，，．求广告牌的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 17.（满分10分）如图，在四边形中，，，且，以为直径的与边相切于点，交于点，连接，． (1)求证：；(2)若，，求的半径． 18.（满分10分）如图，已知一次函数分别与x轴和反比例函数交于点．(1)求b和k；(2)C为直线上一动点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数交于点D，若四边形为平行四边形，求点C的坐标；(3)我们把两直角边比为1：2的直角三角形称为“黄金直角三角形”，点P为x轴上一动点，Q为反比例函数上一点，当三角形是以为斜边的“黄金直角三角形”时，求点P的坐标．    二、解答题（B卷）（本大题共3小题，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 25．（满分10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使，求点E的坐标； (3)如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标． 26．（满分12分）已知是等腰三角形，，点是边上一点，以为腰向右侧作等腰三角形，且，（），过点作的平行线分别交，于点，，连接 【初步感知】（1）如图，当时，求证：； 【迁移应用】（2）如图，当时，若，，求的面积； 【拓展延伸】（3）当时，连接，若，当为等腰三角形时，求的长 （考试时间：50分钟 试卷满分：78分） 一、解答题（A卷）（本大题共5小题，满分48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14.（满分12分）（1）计算：．（2）解不等式组：． 15.（满分8分）即将于今年8月7日至8月17日在成都举行的世界运动会将再次引发成都市的校园运动热潮．某校准备举办专题体育活动，在全校范围内邀请学生参加以下四项活动：A（拔河），B（飞盘），C（轮滑），D（棒球）．为了解学生对这四项活动的参与意愿，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求参与调查的学生中，愿意参加飞盘活动的学生人数，并补全条形统计图； (2)若该校共有1000名学生，请你估计该校愿意参加轮滑活动的学生人数； (3)若从参与调查的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，进行四项活动体验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 16．（满分8分）实践课上，某数学兴趣小组自制测角仪对校园内旗杆的高度进行测量，活动过程如下： (1)探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G，测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图（1）），绕点O转动量角器，使观测目标Q与直径两端点A，B共线（如图（2）），此时目标Q的仰角，请说明这两个角相等． (2)实地测量：①如图（3），小红在教学楼二层走廊上的点P处，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为，测得旗杆底部B处的俯角为，已知数学老师事先利用皮尺测得教学楼与旗杆的水平距离为12米． 请用小红所测得的数据求旗杆的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） ②小明在教学楼一层走廊上，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为，则他由此计算出旗杆的高度为米，通过与（2）①中计算出来的值对比，小明发现他计算出的旗杆高度少了，请你帮小明分析一下原因． 17.（满分10分）如图，，是⊙的直径，连接，，过点作于点，交于点，交⊙于另一点，过点作⊙的切线交的延长线于点． (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求⊙的半径． 18.（满分10分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数（）的图象分别交于两点；其中点坐标为． (1)求反比例函数的表达式；(2)在反比例函数位于第三象限的图象上有点； 当线段被轴分成两部分时，求线段的长度； 当点的横坐标和纵坐标相等时，作出点关于原点的对称点，在平面内是否存在点使得，若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 二、解答题（B卷）（本大题共3小题，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题：若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 25．（满分10分）将抛物线向右平移1个单位，再向下平移（）个单位，得到抛物线． (1)直接写出抛物线的解析式：_____（用含t的式子表示）； (2)如图1，抛物线的顶点为M，抛物线与直线交于A，B两点，连接，，若为等边三角形，求t的值； (3)如图2，在（2）的条件下，一次函数（）与抛物线交于C，D两点，过点C的直线交抛物线于另一点E．求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 26．（满分12分）在中，，，点在过点的直线上运动，连接，在右侧作，使得． (1)如图1，连接，求证：； (2)当，时，连接；若时，交线段于点，如图2，当时，求的度数：当时，射线交于点，当的中点落在上时，连接，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：解答题 限时训练02（A组+B组） （考试时间：50分钟 试卷满分：78分） 一、解答题（A卷）（本大题共5小题，满分48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14.（满分12分）（1）计算：． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解：， 解不等式，去括号： 移项合并： 系数化为1：； 解不等式，去分母： 移项合并： 系数化为1：； 同小取小 故不等式组的解集为：． 15.（满分8分）2024年“中国网络文明大会”在成都举办，大会以“弘扬时代精神，共建网络文明”为主题，包括开幕式及主论坛、11场分论坛和网络互动引导活动，分论坛围绕11个方面的主题展开．加强网络文明建设是加快适应信息技术迅猛发展新形势的必然要求，应从学生抓起．某学校为了解学生感兴趣的主题，现随机选取部分学生对选出的5个主题（A．网络正能量；B．网络文明培育；C．未成年人网络保护；D．网络辟谣；E．人工智能）进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图． 主题 人数 A 18 B 9 C a D 36 E b 请根据上述信息，解答下列问题： (1)______；(2)求扇形统计图中A所对应的扇形的圆心角度数； (3)若该学校共有学生3000人，请你估计该校对“人工智能”感兴趣的学生人数． 【答案】(1)36(2)(3)1350人 【详解】（1）解：抽查的总人数人， B、C的总人数为：人，；故答案为：36； （2）解：，答：扇形统计图中A所对应的扇形的圆心角度数为； （3）解：，人， 答：估计该校对“人工智能”感兴趣的学生人数是1350人． 16．（满分8分）如图，阳光大厦在一座小山上，小山的斜坡与水平地面的夹角，在阳光大厦楼顶有一广告牌，从坡底处测得广告牌顶端的仰角为（即），在山顶处测得广告牌的底部的仰角为（即），已知、、在同一条直线上，，，，，．求广告牌的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】广告牌的高度为． 【详解】如图，延长交的延长线于点， ∵，，， ∴，， ∵，，，，∴ ∵，，∴， ∵，∴，∴四边形为矩形， ∴，，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴， ∴∴广告牌的高度为． 17.（满分10分）如图，在四边形中，，，且，以为直径的与边相切于点，交于点，连接，． (1)求证：；(2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析(2)的半径为13 【详解】（1）证明：连接，， 切于点，，， 为的直径，，， 又，，， 又，，，四点共圆，∴， ∵，， 又，； （2）连接，，相交于点，是的直径，， ，，， 又，四边形是矩形，，， ，，，， 设，则，， ，，， ，，， ，，舍去，， ，的半径为． 18.（满分10分）如图，已知一次函数分别与x轴和反比例函数交于点．(1)求b和k；(2)C为直线上一动点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数交于点D，若四边形为平行四边形，求点C的坐标；(3)我们把两直角边比为1：2的直角三角形称为“黄金直角三角形”，点P为x轴上一动点，Q为反比例函数上一点，当三角形是以为斜边的“黄金直角三角形”时，求点P的坐标．    【答案】(1) (2) (3)（，0）或（，0）或（，0）或（，0） 【详解】（1）解：将点B的坐标代入一次函数表达式得：，则， 则一次函数的表达式为：；将点A的坐标代入上式得：，则，即点A， 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数的表达式为：，即，． （2）设点C， ∵四边形为平行四边形，∴CD＝OB＝2，点C与点D的纵坐标相同， 则点D（m﹣2，m﹣2），将点D的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：或（舍），故点C的坐标为：． （3）设点Q，P 如图所示，分别过点A、Q作x轴的垂线M、N，    ∵是直角三角形的斜边，则，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵直角边比为1：2，则上述两个三角形的相似比为或2， 即，即＝2或，又解得：或 即点P的坐标为：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）． 二、解答题（B卷）（本大题共3小题，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【详解】（1）解：∵，∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：，解得：， 又∵，∴．故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 25．（满分10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使，求点E的坐标； (3)如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中，，将A，D两点坐标代入得： ∴，解得，∴该抛物线的解析式为； （2）解：在第三象限内抛物线上找点E，使，如图1，过点E作轴于F，过点D作轴于G，则， ∵，，∴，， 把代入得，，∴，∴， 设点，则，， ∴， ∵，∴， ∴，即，整理得，， 解得或（不合，舍去），∴； （3）解：过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点D．如图2，设，设直线的解析式为：， ∴，即，∴直线的解析式为：，设，， 由，得，即：， ∴，， ∴， ∵线段的中点是M，∴，， ∴，∴， ∴， ∴当时，即时，是定值，∴． 26．（满分12分）已知是等腰三角形，，点是边上一点，以为腰向右侧作等腰三角形，且，（），过点作的平行线分别交，于点，，连接 【初步感知】（1）如图，当时，求证：； 【迁移应用】（2）如图，当时，若，，求的面积； 【拓展延伸】（3）当时，连接，若，当为等腰三角形时，求的长 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【详解】（1）证明：∵，则是等腰直角三角形，，等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴∴ （2）证明：如图，过点作于点， ∵，∴ ∴∴ ∵是等腰三角形，，等腰三角形，∴， ∴，∴∴ 又∵∴ ∵，∴∴，即 如图，延长交于点，则，过点作，交的延长线与点， ∵，, ∴，， ∵∴， ∵，∴，则 ∴∴ ∵，∴∴ ∴∴解得： 在，∴， ∴，，∵∴ ∴∴解得：∴ ∴ （3）过点作交的延长线于点，过点作交于点， 设， ，，四边形是菱形， 由（）得，，，， ， ，由（2）可得， 是等腰三角形，且，，， ，， 在中，， , 设，， ，，＞， ＞，＞，当为等腰三角形时，有以下两种情况： ①当时，则， ，， 解得：，； ②当时，解得： 综上所述：当为等腰三角形时，的长或 （考试时间：50分钟 试卷满分：78分） 一、解答题（A卷）（本大题共5小题，满分48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14.（满分12分）（1）计算：．（2）解不等式组：． 【答案】（1）1；（2） 【详解】解：原式 （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 15.（满分8分）即将于今年8月7日至8月17日在成都举行的世界运动会将再次引发成都市的校园运动热潮．某校准备举办专题体育活动，在全校范围内邀请学生参加以下四项活动：A（拔河），B（飞盘），C（轮滑），D（棒球）．为了解学生对这四项活动的参与意愿，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求参与调查的学生中，愿意参加飞盘活动的学生人数，并补全条形统计图； (2)若该校共有1000名学生，请你估计该校愿意参加轮滑活动的学生人数； (3)若从参与调查的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，进行四项活动体验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)70人，图见解析(2)约为175人(3) 【详解】（1）解：参与调查的学生总数为（人）， ∴愿意参加飞盘活动的学生人数为（人），补全条形统计图如下： （2）解：由题意得，（人），答：估计该校愿意参加轮滑活动的学生人数约为175人； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．答：恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 16．（满分8分）实践课上，某数学兴趣小组自制测角仪对校园内旗杆的高度进行测量，活动过程如下： (1)探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G，测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图（1）），绕点O转动量角器，使观测目标Q与直径两端点A，B共线（如图（2）），此时目标Q的仰角，请说明这两个角相等． (2)实地测量：①如图（3），小红在教学楼二层走廊上的点P处，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为，测得旗杆底部B处的俯角为，已知数学老师事先利用皮尺测得教学楼与旗杆的水平距离为12米． 请用小红所测得的数据求旗杆的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） ②小明在教学楼一层走廊上，利用测角仪测得旗杆顶部A处的仰角为，则他由此计算出旗杆的高度为米，通过与（2）①中计算出来的值对比，小明发现他计算出的旗杆高度少了，请你帮小明分析一下原因． 【答案】(1)见解析(2)①旗杆的高度约为；②见解析 【详解】（1）证明：∵，∴，即； （2）解：①如图，过点作交于点，则四边形是矩形，， 在中，， 在中，，， 答：小红所测得的数据求旗杆的高度约为； ②小明测得仰角是以测角仪为基准，计算出的，需要加上测角仪的高度才是正确的旗杆高度． 17.（满分10分）如图，，是⊙的直径，连接，，过点作于点，交于点，交⊙于另一点，过点作⊙的切线交的延长线于点． (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求⊙的半径． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4 【详解】（1）证明：∵与⊙的相切于点C，是⊙的直径， ∴，则， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）证明：∵是⊙的直径，∴，则， ∵，，∴，又，∴； （3）解：由可设，， ∴，，∴， ∵，，∴，又，∴， ∴，即，∴，∵，，∴，∵， ∴，解得，∴，即⊙的半径是4． 18.（满分10分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数（）的图象分别交于两点；其中点坐标为． (1)求反比例函数的表达式；(2)在反比例函数位于第三象限的图象上有点； 当线段被轴分成两部分时，求线段的长度； 当点的横坐标和纵坐标相等时，作出点关于原点的对称点，在平面内是否存在点使得，若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为； (2)线段的长度为或；或． 【详解】（1）解：将点代入得， ∴，将代入得，，∴反比例函数的表达式为； （2）解：①如图，记与轴交于点，过作轴于点，过作轴于点， ∴，∴，∴， ∵线段被轴分成两部分，∴或， ∴或，∴或， 联立得，解得或（点坐标，重合），∴， 当点时，则； 当点时，则；∴线段的长度为或； 如图，∵点的横坐标和纵坐标相等，且在第三象限图象上，∴， ∵点关于原点的对称点为点，∴，由各点坐标可得，，， ∵，∴，∴，∴，设， ，解得或，∴或． 二、解答题（B卷）（本大题共3小题，满分30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题：若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得，解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得，解得，设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数，∴当时，最大利润为（元）， 则（件），答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 25．（满分10分）将抛物线向右平移1个单位，再向下平移（）个单位，得到抛物线． (1)直接写出抛物线的解析式：_____（用含t的式子表示）； (2)如图1，抛物线的顶点为M，抛物线与直线交于A，B两点，连接，，若为等边三角形，求t的值； (3)如图2，在（2）的条件下，一次函数（）与抛物线交于C，D两点，过点C的直线交抛物线于另一点E．求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)(2)t的值为1(3)见解析， 【详解】（1）解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移个单位，得到抛物线为：，顶点M的坐标为； （2）解：如图，过点M作于H， 由M的，可得， 又联立，∴，， 解得，，∴ ∵为等边三角形，，∴，， ∴，即解得，， ∵，∴，即t的值为1； （3）证明：由（2）可知，∴的解析式为：， 如图，由：，联立与抛物线得：， ∴，∴①，②； 由：；联立与抛物线得：；，∴③，   设为：，联立与抛物线得：，， ∴④，⑤，∴①②得：⑥， 由③得⑦，将⑦代入⑥中，∴， 化简得⑧，将④⑤代入⑧中，得， 化简得，∴； ∴当时，y恒等于，∴直线恒过定点． 26．（满分12分）在中，，，点在过点的直线上运动，连接，在右侧作，使得． (1)如图1，连接，求证：； (2)当，时，连接；若时，交线段于点，如图2，当时，求的度数：当时，射线交于点，当的中点落在上时，连接，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)；或 【详解】（1）解：∵，∴，，， ∴，，∴，∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵，，， ∴，∴和是等腰直角三角形， ∵，∴， 由（1）知，∴，∴， ∴点，，共线，设，∵，∴， ∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴； 设，以为原点，为正半轴建立平面直角坐标系，设直线交轴于点，过点作于点，∵，， ∴，，，， 当点在轴右侧时，如图， ∵，∴，∴，， ∴，设，∵为的中点， ∴，，即， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，，∴， ∵，∴，设直线解析式为， 代入，得，∴直线解析式为， ∵在直线上，∴， 化简得，解得：（负值舍）， ∴，， 则； 当在轴左侧时，如图， 同理求得，同理得，， 则；综上所述，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $