专题3.1 复数全章8种题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题3.1 复数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01复数的概念与分类 题型02复数与复平面内的点一一对应 题型03复数与复平面内的向量一一对应 题型04复数的四则运算综合 题型05复数的高次方运算 题型06复数范围内解方程 题型07复数的模长及应用 题型08与复数模有关的最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念 1、能准确识别复数的实部和虚部，明确虚数、纯虚数的定义； 2、能利用复数相等的条件（实部相等、虚部相等）求解参数值； 3、能判断两个复数是否相等，区分实数、虚数、纯虚数 基础必考点，常以选择题、填空题形式出现； 高频易错点：混淆纯虚数的条件（实部为0且虚部不为0）；忽略虚部的取值范围； 命题趋势：侧重基础概念辨析，结合参数求解考查 复数的几何意义 1、能明确复平面的构成，掌握复数与复平面内点的一一对应关系； 2、能将复数转化为对应向量，理解复数的模的几何意义； 3、能根据复数的几何意义判断点的位置、求向量模长 中频考点，选择题、填空题为主，偶尔结合简单解答题； 易错点：混淆复平面内横纵坐标的对应关系（实部对应x轴，虚部对应y轴），误将复数模长与向量坐标运算混淆； 命题趋势：常与平面向量结合；考查模长计算、点的轨迹判断 复数的四则运算 1、能熟练掌握复数加减运算的法则，准确计算两个复数的和与差； 2、能运用乘法法则进行复数乘法运算，掌握共轭复数的性质并灵活运用； 3、能熟练进行复数除法运算（分母实数化），准确化简复数表达式； 4、能利用i的幂运算性质（iⁿ的周期性）求解简单问题 核心必考点，贯穿小题和解答题； 高频易错点：除法运算中分母实数化出错，i的幂运算记错周期性（i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1），共轭复数的概念混淆； 命题趋势：以运算化简为主，偶尔结合概念考查，解答题多为基础运算，难度适中 复数的模与共轭复数 1、能准确计算复数的模，掌握复数模的性质（|z₁z₂|=|z₁||z₂|、|z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|等）； 2、能准确求出一个复数的共轭复数，掌握共轭复数的运算性质； 3、能利用模与共轭复数的性质解决简单的求值、判断问题 中频考点，多与复数运算结合考查； 易错点：模的性质记忆不牢固；共轭复数的运算出错（如共轭复数的和差积商性质）；命题趋势：常作为运算题的中间步骤，或单独考查模的计算，难度不大 知识点01 复数的概念 1、复数的有关概念 （1）定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. （2）虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． （3）表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． （4）复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 2、复数的分类：对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3、复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 4、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. ·示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 知识点02 复数的几何意义 1、复平面定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点03 复数的四则运算 1、复数的加法 （1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. （2）加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2、复数的减法 （1）相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi， 使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． （2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i，即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 3、复数的乘法 （1）运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)， 则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，显然两个复数的积仍是复数． （2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 ①z1·z2＝z2·z1(交换律)；②(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；③z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． （3）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 4、复数的除法 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 题型一 复数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 判断复数的实部、虚部的关键：（1）看形式：看复数的表示是否是的形式；（2）看属性：看，是否都是实数；（3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点． 【典例1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 【变式1-1】（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（24-25高一下·广东·期中）已知为纯虚数，则实数______． 【变式1-3】（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知i为虚数单位，复数 (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围. 题型二 复数与复平面内的点一一对应 解｜题｜技｜巧 复数． 【典例2】（24-25高一下·北京顺义·期中）如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·河北·期中）已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，则“A在第二象限”是“B在第三象限”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-3】（24-25高一下·广东·月考）已知，那么z在复平面内对应的点位于第__________象限. 题型三 复数与复平面的向量一一对应 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数． 【典例3】（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复平面上点M对应的复数是 ，点N对应的复数是 ，则向量对应的复数是______． 【变式3-1】（24-25高一下·湖南·期中）在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______. 【变式3-2】（24-25高一下·甘肃金昌·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【变式3-3】（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 题型四 复数的四则运算综合 解｜题｜技｜巧 复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)；（2）·z＝|z|2＝||2 （3）若z为虚数，则|z|2≠z2；（4）(1±i)2＝±2i；（5）＝i；＝－i 【典例4】（24-25高一下·广东佛山·期中）复数的实部是_______. 【变式4-1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）设复数，则其共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·安徽阜阳·月考）若复数，其中是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·浙江杭州·月考）设复数（为虚数单位），则z的虚部为（    ） A．3 B． C．1 D． 题型五 复数的高次方运算 解｜题｜技｜巧 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i； 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i 【典例5】（24-25高一下·山西忻州·期中）已知复数，则z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·广东东莞·期中）若复数，则的虚部为_________. 【变式5-2】（24-25高一下·吉林长春·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D．0 【变式5-3】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知复数，则______． 题型六 复数范围内解方程 解｜题｜技｜巧 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 【典例6】（24-25高一下·福建福州·期中）已知是关于x的方程（）的一个复数根，则（    ） A． B． C．4 D．6 【变式6-1】（24-25高一下·广东·期中）在复数范围内，方程的解为_____ 【变式6-2】（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且.是关于的方程的一个根， (1)求实数p，q的值 (2)求出方程的另一个复数根. 【变式6-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知复数z和它的共轭复数满足. (1)求复数z； (2)若是关于x的方程的一个根，求方程的另一个根，并验证此方程的两个根是否满足韦达定理. 题型七 复数的模长及应用 解｜题｜技｜巧 （1）定义：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值； （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|； （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【典例7】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）_____. 【变式7-1】（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，则（    ） A．5 B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知复数，其中i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式7-3】（24-25高一下·广东揭阳·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 题型八 与复数模有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 1、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义． （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部． 2、两个复数差的模的几何意义 （1）表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． （2）表示以对应的点为圆心，为半径的圆． （3）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 【典例8】（24-25高一下·山东淄博·期中）如果复数满足，那么的最大值是_____． 【变式8-1】（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 【变式8-2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式8-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为______. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·福建福州·期中）复数的虚部是（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）若复数与都是纯虚数，则复数______. 3．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）已知，其中，则____. 4．（24-25高一下·湖北武汉·期中）（多选）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A．的模长为定值 B．为纯虚数 C．对应的点位于第二象限 D．的共轭复数为 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北邢台·期中）（多选）已知复数，则（    ） A． B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为 C． D．若，则的最大值为3 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选）已知复数，以下复数运算一定成立的是（    ） A． B． C． D． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（    ） A． B．0 C．1 D．6 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（    ） A． B． C．4 D．8 4．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 复数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01复数的概念与分类 题型02复数与复平面内的点一一对应 题型03复数与复平面内的向量一一对应 题型04复数的四则运算综合 题型05复数的高次方运算 题型06复数范围内解方程 题型07复数的模长及应用 题型08与复数模有关的最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念 1、能准确识别复数的实部和虚部，明确虚数、纯虚数的定义； 2、能利用复数相等的条件（实部相等、虚部相等）求解参数值； 3、能判断两个复数是否相等，区分实数、虚数、纯虚数 基础必考点，常以选择题、填空题形式出现； 高频易错点：混淆纯虚数的条件（实部为0且虚部不为0）；忽略虚部的取值范围； 命题趋势：侧重基础概念辨析，结合参数求解考查 复数的几何意义 1、能明确复平面的构成，掌握复数与复平面内点的一一对应关系； 2、能将复数转化为对应向量，理解复数的模的几何意义； 3、能根据复数的几何意义判断点的位置、求向量模长 中频考点，选择题、填空题为主，偶尔结合简单解答题； 易错点：混淆复平面内横纵坐标的对应关系（实部对应x轴，虚部对应y轴），误将复数模长与向量坐标运算混淆； 命题趋势：常与平面向量结合；考查模长计算、点的轨迹判断 复数的四则运算 1、能熟练掌握复数加减运算的法则，准确计算两个复数的和与差； 2、能运用乘法法则进行复数乘法运算，掌握共轭复数的性质并灵活运用； 3、能熟练进行复数除法运算（分母实数化），准确化简复数表达式； 4、能利用i的幂运算性质（iⁿ的周期性）求解简单问题 核心必考点，贯穿小题和解答题； 高频易错点：除法运算中分母实数化出错，i的幂运算记错周期性（i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1），共轭复数的概念混淆； 命题趋势：以运算化简为主，偶尔结合概念考查，解答题多为基础运算，难度适中 复数的模与共轭复数 1、能准确计算复数的模，掌握复数模的性质（|z₁z₂|=|z₁||z₂|、|z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|等）； 2、能准确求出一个复数的共轭复数，掌握共轭复数的运算性质； 3、能利用模与共轭复数的性质解决简单的求值、判断问题 中频考点，多与复数运算结合考查； 易错点：模的性质记忆不牢固；共轭复数的运算出错（如共轭复数的和差积商性质）；命题趋势：常作为运算题的中间步骤，或单独考查模的计算，难度不大 知识点01 复数的概念 1、复数的有关概念 （1）定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. （2）虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． （3）表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． （4）复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 2、复数的分类：对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3、复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 4、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. ·示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 知识点02 复数的几何意义 1、复平面定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点03 复数的四则运算 1、复数的加法 （1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. （2）加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2、复数的减法 （1）相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi， 使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． （2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i，即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 3、复数的乘法 （1）运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)， 则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，显然两个复数的积仍是复数． （2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 ①z1·z2＝z2·z1(交换律)；②(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；③z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． （3）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 4、复数的除法 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 题型一 复数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 判断复数的实部、虚部的关键：（1）看形式：看复数的表示是否是的形式；（2）看属性：看，是否都是实数；（3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点． 【典例1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 【答案】A 【解析】由复数的实部虚部的定义可知，若（为实数） 则为复数的实部，为复数的虚部，则z的虚部是.故选：A 【变式1-1】（24-25高一下·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以，，故，故C正确.故选：C. 【变式1-2】（24-25高一下·广东·期中）已知为纯虚数，则实数______． 【答案】3 【解析】由为纯虚数，得，所以. 【变式1-3】（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知i为虚数单位，复数 (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围. 【答案】(1)3或1；(2)5；(3)或，且. 【解析】（1）因为 是实数， 所以，解得或； （2）因为 是纯虚数， 所以，解得； （3）因为复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角， 所以，且， 解得或，且. 题型二 复数与复平面内的点一一对应 解｜题｜技｜巧 复数． 【典例2】（24-25高一下·北京顺义·期中）如图，在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】复数对应的点，则复数.故选：D. 【变式2-1】（24-25高一下·河北·期中）已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，则“A在第二象限”是“B在第三象限”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】设，则. 若A在第二象限，则，，则，，所以B在第三象限. 反之亦成立，所以“A在第二象限”是“B在第三象限”的充要条件.故选：A. 【变式2-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】当时，， 所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B. 【变式2-3】（24-25高一下·广东·月考）已知，那么z在复平面内对应的点位于第__________象限. 【答案】二 【解析】设，a，，则， 所以，，所以，， 所以，所以z在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限． 题型三 复数与复平面的向量一一对应 解｜题｜技｜巧 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数． 【典例3】（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复平面上点M对应的复数是 ，点N对应的复数是 ，则向量对应的复数是______． 【答案】 【解析】由题意，故所求为. 【变式3-1】（24-25高一下·湖南·期中）在复平面内，复数、对应的向量分别是、，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______. 【答案】 【解析】因为复数、对应的向量分别是、，则，， 所以， 则向量对应的复数为. 【变式3-2】（24-25高一下·甘肃金昌·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【答案】 【解析】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 【变式3-3】（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）设复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示： 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，又，故选：A. 题型四 复数的四则运算综合 解｜题｜技｜巧 复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)；（2）·z＝|z|2＝||2 （3）若z为虚数，则|z|2≠z2；（4）(1±i)2＝±2i；（5）＝i；＝－i 【典例4】（24-25高一下·广东佛山·期中）复数的实部是_______. 【答案】 【解析】复数的实部是. 【变式4-1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）设复数，则其共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 所以，其虚部为.故选：A. 【变式4-2】（24-25高一下·安徽阜阳·月考）若复数，其中是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故可得，.故选：B. 【变式4-3】（24-25高一下·浙江杭州·月考）设复数（为虚数单位），则z的虚部为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】依题意，， 所以z的虚部为1.故选：C 题型五 复数的高次方运算 解｜题｜技｜巧 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i； 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i 【典例5】（24-25高一下·山西忻州·期中）已知复数，则z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴．故选：D． 【变式5-1】（24-25高一下·广东东莞·期中）若复数，则的虚部为_________. 【答案】 【解析】因为，， 故复数，故的虚部为. 【变式5-2】（24-25高一下·吉林长春·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】复数， ，， 所以.故选：A 【变式5-3】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知复数，则______． 【答案】 【解析】， ， ，故周期为3， . 题型六 复数范围内解方程 解｜题｜技｜巧 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 【典例6】（24-25高一下·福建福州·期中）已知是关于x的方程（）的一个复数根，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【解析】因为是关于x的方程（）的一个复数根， 所以，整理得：， 而，故，故选：A. 【变式6-1】（24-25高一下·广东·期中）在复数范围内，方程的解为_____ 【答案】 【解析】由，则， 则，所以，即. 【变式6-2】（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且.是关于的方程的一个根， (1)求实数p，q的值 (2)求出方程的另一个复数根. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1），所以， 因为，所以， 因是关于的方程的一个根，则， 即， 所以，解得：，， （2）由（1）可知方程为， 化简为，解得或， 所以方程的另一根为. 【变式6-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知复数z和它的共轭复数满足. (1)求复数z； (2)若是关于x的方程的一个根，求方程的另一个根，并验证此方程的两个根是否满足韦达定理. 【答案】(1)；(2)方程的另一个根为，验证见解析 【解析】（1）设，则， 由，得，即， 所以，解得， 所以； （2）因为是关于x的方程的一个根， 所以，即， 所以， 则，即， 解得或， 所以方程的另一个根为， 因为, 所以此方程的两个根满足韦达定理. 题型七 复数的模长及应用 解｜题｜技｜巧 （1）定义：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值； （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|； （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【典例7】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）_____. 【答案】 【解析】因为, , 所以. 【变式7-1】（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A 【变式7-2】（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知复数，其中i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】复数，所以.故选：A 【变式7-3】（24-25高一下·广东揭阳·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由题意可得， 所以，解得.故选：B． 题型八 与复数模有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 1、复数的模的几何意义 （1）复数的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，这是复数的模的几何意义． （2）复数在复平面内对应的点为，表示一个大于0的常数，则满足条件的点组成的集合是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部． 2、两个复数差的模的几何意义 （1）表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． （2）表示以对应的点为圆心，为半径的圆． （3）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 【典例8】（24-25高一下·山东淄博·期中）如果复数满足，那么的最大值是_____． 【答案】 【解析】由于表示复数z对应的点到两点的距离和为3， 结合两点之间距离为3，故复数z对应的点在两点的连线段上， 设，则， 故，当时，取到最大值. 【变式8-1】（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】A 【解析】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心， 半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图， 如图，最小值为.故选：A 【变式8-2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1， 故的最小值是1.故选：A. 【变式8-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·福建福州·期中）复数的虚部是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】的实部为虚部为，故选：C. 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）若复数与都是纯虚数，则复数______. 【答案】 【解析】复数为纯虚数，设，则， 又都是纯虚数， ，解得， . 3．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）已知，其中，则____. 【答案】 【解析】因为， 所以，解得，所以. 4．（24-25高一下·湖北武汉·期中）（多选）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A．的模长为定值 B．为纯虚数 C．对应的点位于第二象限 D．的共轭复数为 【答案】AD 【解析】A选项，，故的模长为，A正确； B选项，，为实数，B错误； C选项，当时，，故对应的点坐标为，不在第二象限，C错误； D选项，，共轭复数为，D正确.故选：AD 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设（），则． 已知，根据复数的模的计算公式可得． 等式两边同时平方可得， 这表示复平面上以点为圆心，半径的圆． 因为，所以，则， 它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离． 根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为： ． 因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即． 的最大值为．故选：A． 2．（24-25高一下·河北邢台·期中）（多选）已知复数，则（    ） A． B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为 C． D．若，则的最大值为3 【答案】ACD 【解析】因为，所以， ，， 所以，A选项正确； ，，C选项正确； 对应向量，对应向量，，故夹角不是，B选项错误； 即，在复平面上所对应点为到所对应点的距离为2的点， 即圆心为，半径为2的圆，所以当时，的最大值为3，D选项正确； 故选：ACD. 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选）已知复数，以下复数运算一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】设，由题意， 对A， ，， 所以，故A正确； 对于B： ， 而，所以，故B正确； 对于C：设，则，，， 所以，故C正确； 对于D：， 所以不恒成立，故D错误. 故选：ABC 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（    ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【解析】因为，所以其虚部为1，故选：C. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A. 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【解析】由可得，，所以，故选：B. 4．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【解析】先由题得，所以. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $