16.3.2一次函数的图象 2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

16.3.2一次函数的图象 （知识点+题型+过关检测） 【题型1 判断一次函数的图象】 3 【题型2 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 6 【题型3 已知函数经过的象限求参数范围】 8 【题型4 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 9 【题型5 画一次函数图象】 11 【题型6 正比例函数的图象】 15 【题型7 一次函数图象平移问题】 18 【题型8 一次函数图象与对称问题】 19 【题型9 一次函数图象与旋转问题】 21 · 掌握一次函数 y=kx+b(k0) 的图象是一条直线，明确正比例函数图象是经过原点的特殊直线，理清函数解析式与图象的对应关系。 · 理解系数 k、b 的几何意义，熟练根据 k、b 的符号判断图象的升降趋势、与 y 轴交点位置，以及图象经过的象限。 · 掌握 “两点法” 画一次函数图象的规范步骤，能快速求出一次函数图象与 x 轴、y 轴的交点坐标，解决简单的交点、面积问题。 · 牢记一次函数图象的平移、对称、旋转规律，能根据变换要求求出对应函数解析式，逆向推导原函数解析式。 · 结合图象特征求解参数取值范围，强化数形结合思想，规避图象相关高频易错点。 【知识点一】一次函数的图象03 知识•梳理 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和 的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和 直线. 【知识点二】一次函数的性质 (1)正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 (2)一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 (3)一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 【知识点三】一次函数的图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 【知识点四】两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 04 题型•汇总 【题型1 判断一次函数的图象】 解题思路： 第一步：确认一次函数图象是直线，排除曲线、折线选项；第二步：判断\(k\)的符号，确定直线升降趋势；第三步：判断b的符号，确定直线与y轴交点位置，结合两点锁定正确图象。 【典例1】．一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断出y随x的增大而减小，结合一次函数与y轴交于正半轴，进而求解． 【详解】解：∵一次函数中一次项系数， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，， ∴一次函数与y轴交于正半轴， ∴一次函数的图象大致是： ． 跟随训练1．若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意． 跟随训练2．如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用，得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断． 【详解】解：∵实数a，b满足，， ∴，， ∴， ∴函数的图象经过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴下方． 故选：B． 跟随训练3．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的大小，即可得解． 【详解】解：由函数图象经过的象限可知：，，， 直线越陡，越大， ， ． 故答案为：． 【题型2 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 解题思路： 直接分析解析式中k、b的符号，对照象限规律表格，逐一匹配图象经过的象限，无需画图即可快速判断。 【典例2】．直线一定经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限． 【答案】B 【分析】对于一次函数（其中k、b是常数，且），当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，当时，一次函数经过第一、三象限，当时，一次函数经过第二、四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴直线一定经过的象限是第一、二、四象限． 跟随训练1．一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据一次函数和正比例函数的图象判断k和b的符号，然后进行比较求解即可． 【详解】解：一次函数中，，则一次函数图象y随x的增大而增大，故A、B选项符合，C、D选项不符合， 当时，一次函数与y轴交于正半轴，正比例函数的图象在第一、三象限，A选项符合题意； 当时，一次函数与y轴交于负半轴，正比例函数的图象在第二、四象限，B选项不符合题意． 跟随训练2．下列关于一次函数的图象经过的象限为（   ） A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【详解】∵一次函数中，，， ∴函数图象的值随的增大而减小，函数图象与轴交于正半轴， ∴该一次函数的图象经过第一、二、四象限． 跟随训练3．已知过点的直线不经过第四象限，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质及根据直线所过的点和不经过的象限来确定函数参数的取值范围，先根据直线不经过第四象限确定且，再将点代入直线方程得，最后解不等式及，求出a的取值范围． 【详解】解：∵直线不经过第四象限， ∴且， 将点代入，得，即， 由，得，解得， 又∵， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 【题型3 已知函数经过的象限求参数范围】 解题思路： 根据图象经过的象限，反向列出k、b的符号不等式组，注意一次项系数k≠0，解不等式组得到参数的取值范围。 【典例3】．已知一次函数（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（   ） A．8 B．5 C．3 D．0 【答案】D 【分析】根据一次函数中，当，时，图象经过一、三、四象限，据此解答即可． 【详解】解：∵ 一次函数的图象过第一、三、四象限， ∴，即， 观察选项，只有选项D中的0满足． 跟随训练1．已知正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】正比例函数的性质，图象是过原点的直线，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限，结合性质和图象即可选出答案． 【详解】解：由图得正比例函数的图象经过第二、四象限， ， ， 选项A符合题意 ． 跟随训练2．如果一次函数图象不经过第三象限，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， 若，直线与y轴交于负半轴，会经过第三象限， ∴， 综上可得，． 跟随训练3．直线不经过第四象限，则k的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，分和两种情况解答即可求解，掌握一次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：当，即时，此时为直线， 此时直线经过一、二象限，与轴平行； 当，该函数为一次函数， ∵直线不经过第四象限， ∴直线经过一、二、三象限， ∴， ∴； 综上，的取值范围为， 故答案为：． 【题型4 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 解题思路： 求与y轴交点令x=0，求与x轴交点令y=0，分别计算对应坐标；求围成面积时，用两交点到原点的距离乘积的一半计算，务必加绝对值。 【典例4】．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律及函数图象与y轴交点的求法．先根据“左加右减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再令求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵一次函数的图象向右平移2个单位长度， ∴平移后的函数解析式为， 对于，令，则， ∴平移后的图象与y轴的交点坐标为， 故选：A． 跟随训练1．一次函数的图象与x轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与x轴交点坐标的求法，掌握x轴上点的纵坐标为0是解题关键，只需将代入函数解析式求解x即可得到交点坐标． 【详解】解：∵x轴上的点纵坐标为0 ∴将代入中，得， 解得：， ∴该一次函数图象与x轴的交点坐标是． 故选：A． 跟随训练2．设一次函数．函数的图象分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，点，函数的图象分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，点，且的面积与的面积相等，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的坐标，根据的面积与的面积相等，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∵点，点分别位于轴正半轴和轴正半轴， ∴； 同法可得：，，， ∵的面积与的面积相等且， ∴， ∴． 跟随训练3．已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________． 【答案】 【分析】分别令和，求出直线与轴、轴的交点坐标，进而得到两条直角边、的长度，根据勾股定理计算斜边的长度，将、、的长度相加，得到的周长． 【详解】解：令，代入直线方程，得， ∴点的坐标为，； 令，代入直线方程，得，解得， ∴点的坐标为，则； ∵是直角三角形， ∴； ∴的周长为． 【题型5 画一次函数图象】 解题思路： 采用“两点法”作图，步骤：① 求图象与x轴、y轴的交点坐标；② 在平面直角坐标系中准确描出这两个点；③ 用直尺连接两点，画出直线并标注解析式。 【典例5】．小明在学习画一次函数的图象时，列表如下： … 0 1 2 … … 3 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格数据，后三对数据中，的值每增加1，函数值减小4，进而得到时，，进行判断即可． 【详解】解：由表格数据，后三对数据中，的值每增加1，函数值减小4， ∴当时，， 故算错的函数值为3． 故选：A． 跟随训练1．如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，作直线、、，求出当时，，，，画出直线，由函数图象并结合即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作直线、、， 当时，，，， ∵， ∴如图，画出直线，结合图象可得，一次函数的图象应为直线， 故选：C． 跟随训练2．在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）列表，描点，然后连线即可画出图象； （2）首先得到，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 0 图象如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴，， ∴． 跟随训练3．画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … … (2)描点并连线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）把对应的x的值代入解析式中求出对应的y的值即可； （2）根据（1）所求，先描点，再连线画出函数图象即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … … （2）解：函数图象如下所示： 【题型6 正比例函数的图象】 解题思路： 正比例函数图象必过原点，作图取(0,0)和(1,k)两个点，连线即可，根据k符号判断直线经过的象限和增减性。 【典例6】．在下列各图象中，表示函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象特点，熟练掌握正比例函数图象与系数关系是关键．一条经过原点的直线．由（）的图象经过一、三象限可得答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限， ∴正比例函数的大致图象是A． 故选：A． 跟随训练1．下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断点是否在正比例函数图像上，可将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的纵坐标，若与点的纵坐标相等，则该点在函数图像上，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、 ∵当时，，∴此点不在的图像上． B、∵当时，，∴此点不在的图像上． C、∵当时，，∴此点在的图像上． D、∵当时，，∴此点不在的图像上． 跟随训练2．在平面直角坐标系中，与点在同一个正比例函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，关键是先求出过已知点的正比例函数解析式，再将选项中的点代入解析式验证是否满足． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， ∵点在该函数图象上， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为． 选项A：将代入，得，故点不在该函数图象上； 选项B：将代入，得，故点不在该函数图象上； 选项C：将代入，得，故点不在该函数图象上； 选项D：将代入，得，与点的纵坐标一致，故点在该函数图象上； 故选：D． 跟随训练3．水龙头关不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小敏进行了以下研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，下表是小敏在一段时间内收集到的一组数据． 漏水时间 0 5 10 15 20 25 30 … 漏水量 0 4 8 12 16 20 24 … (1)求漏水量随漏水时间而变化的函数表达式； (2)画出这个函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）漏水时间每增加，漏水量增加，即可求解． （2）利用描点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解：观察表格发现，漏水时间每增加，漏水量增加， 所以． （2）解：利用描点法画出函数图象，如图： 【题型7 一次函数图象平移问题】 解题思路： 严格遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”口诀，上下平移直接改b，左右平移给x整体加减，k值保持不变，逆向平移则反向操作。 【典例7】．将直线向下平移2个单位长度，所得直线的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图像的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：∵一次函数上下平移遵循“上加下减”规则，图像向下平移n个单位，在原函数表达式的右侧减去n． ∴将直线向下平移2个单位长度，所得直线的关系式为． 跟随训练1．将直线向右平移2个单位长度，所得直线的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“左加右减上加下减”的平移规则即可求解． 【详解】解：将直线向右平移2个单位长度，所得直线的关系式为． 跟随训练2．将一次函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为______． 【答案】 【分析】一次函数图象平移的规律：上加下减． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式为，即． 跟随训练3．（1）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象的函数表达式是_______； （2）若将直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为_______； （3）将直线向右平移个单位长度后所得图象对应的函数表达式为_______； （4）将直线向左平移个单位长度后经过点，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，进行计算即可． 【详解】解：（1）将的图象向下平移个单位长度，所得图象的函数表达式为； （2）直线向上平移个单位长度后，得到的直线表达式为， ∵该直线经过点， ∴； （3）将直线向右平移个单位长度，所得图象的函数表达式为； （4）直线向左平移个单位长度后，得到的直线表达式为， ∵该直线经过点， ∴， 解得． 【题型8 一次函数图象与对称问题】 解题思路： 直接套用对称规律，关于x轴、y轴、原点对称分别对应改写解析式，无需画图，快速得出对称后的函数解析式。 【典例8】．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 跟随训练1．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿x轴对折即关于x轴对称，纵坐标变为相反数． 【详解】解：∵原函数为，对折后点变为， ∴， 即 故选：D 跟随训练2．已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可． 【详解】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为， 代入原方程得，即． （2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为， 代入原方程得，即， 跟随训练3．若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”． 下列结论中：正确的是：_____________（写出所有正确结论的序号） ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了新定义下的函数关系，解题的关键是掌握新定义． 根据“对偶关系”的定义，通过设点坐标，列方程求解，判断各结论是否正确． 【详解】解：①设点P在函数上，横坐标为m，则纵坐标为，点Q在函数上，横坐标为n，则纵坐标为， 若P与Q关于y轴对称，则Q的横坐标为，； 则， 解得， 故具有“对偶关系”，结论①错误； ②由①可知，点的坐标为 则函数与函数的“对偶值”为，结论②正确； ③当时，， 解得， ∴当，时，， 解得，结论③正确； 综上，正确的选项为：②③， 故答案为：②③． 【题型9 一次函数图象与旋转问题】 解题思路： 基础题型以绕原点旋转180度为主，等价于关于原点对称，按原点对称规律求解析式；旋转90度可找原直线上两个关键点，旋转后求新坐标，再代入求解析式。 【典例9】．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为 然后根据解析式求得与 x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论． 本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式． 本题属于基础题，难度不大． 【详解】解：∵ ∴函数的图象与坐标轴的交点坐标为， ， 故图象绕x轴上一点 旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为， 又图象经过， ∴ 解得． 跟随训练1．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 跟随训练2．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为 然后根据解析式求得与 x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论． 本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式． 本题属于基础题，难度不大． 【详解】解：∵一次函数的图象与坐标轴的交点坐标为， ， 故图象绕x轴上一点 旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为， 又图象经过， ∴ 解得， 故选∶ C． 跟随训练3．将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数中，令，则，当一次函数绕原点顺时针旋转后，则的对应点为，得到，分别当和时讨论，即可解得． 【详解】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 05 过关•检测 1．直线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入即可求出直线与轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， ， 即直线与轴的交点坐标为． 2．将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移，利用初中一次函数平移“上加下减”的规则即可解答，沿y轴向上平移，只需在原函数常数项上加平移长度． 【详解】解：∵一次函数图象沿y轴平移时，不改变一次项系数，沿y轴向上平移遵循“上加下减”的平移规则， 原函数解析式为，向上平移3个单位长度， ∴平移后的解析式为， 化简得， 故选：A． 3．一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否符合，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： 对于A、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于B、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于C、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； 对于D、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意． 4．下列命题中，正确的是（   ） A．一次函数在轴上的截距是 B．一次函数的图像与轴交于点 C．一次函数的图像一定经过第二、四象限 D．一次函数的图像是一条线段 【答案】D 【分析】根据一次函数的截距、交点、图象性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：对选项A：∵ ， 令，得， ∴ 该函数在轴上的截距为，A错误，该选项不符合题意； 对选项B：∵ 一次函数与轴相交时，令得， ∴ 交点坐标为，B错误，该选项不符合题意； 对选项C：∵ ，当时，，此时函数图象经过第一、三象限， ∴ 该函数图象不一定经过第二、四象限，C错误，该选项不符合题意； 对选项D：∵ 一次函数的图象是直线， 又∵ 自变量的取值范围是， ∴ 图象是一条线段，D正确，该选项符合题意． 5．如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式即，根据图象可知当时，，即可判断答案． 【详解】解：， ， ， 即， 一次函数与的图象交于点， 当时，， 即不等式的解集为． 6．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】左右平移时自变量满足 “左加右减”的平移法则，据此求出平移后的函数解析式，再根据正比例函数的常数项为0计算m的值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移3个单位长度后的函数解析式为 ， ∵平移后的函数是正比例函数， ∴． 解得． 7．如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先求出一次函数与x轴交点的横坐标，再根据交点在正半轴列出不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：x轴上点的纵坐标为0，令，得， 解得， 因为一次函数的图象与x轴的交点在正半轴上， 所以， 根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数2，不等号方向不变，得， 解得：． 8．若正比例函数的图象不经过第一象限，则整数k的值可以是_______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正比例函数的性质，确定k的取值范围，在取值范围内写出一个符合要求的整数即可． 【详解】解：正比例函数中，， ∵该正比例函数的图象不经过第一象限， 根据正比例函数的性质可得， ∵k为整数，因此任意负整数都符合要求，例如（答案不唯一）． 9．一次函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征，代数式求值，将点的坐标代入解析式中计算是关键．由点在函数图象上，可得与的关系式，代入到所求代数式中求解即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ． 故答案为：． 10．若直线与直线相交于轴，则_____． 【答案】 【分析】先利用x轴上点的纵坐标为0的特征，求出直线与x轴的交点坐标，再将该交点代入直线，通过解方程得到b的值． 【详解】因为两直线相交于x轴，所以交点的纵坐标为0， 对于直线，令，则：， 解得， 因此两直线的交点坐标为， 将代入直线中，得：， 解得． 11．如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据函数图象与轴、轴负半轴相交判断出函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数过第二、三、四象限的性质且列不等式求解的取值范围； （2）根据一次函数“上加下减”的平移规律写出向上平移1个单位后的解析式，再利用原点坐标满足平移后的函数解析式，代入后列一元一次方程求解的值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，解得； （2）解：将向上平移1个单位长度后， 解析式为． ∵平移后的图象经过原点， ∴，解得． 12．直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，点C是y轴正半轴上一点，若是以为底的等腰三角形，求点C的坐标； (3)如图2，点D是x轴上一点，，求点D的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)点D的坐标为或． 【分析】本题考查一次函数综合题、勾股定理、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． （1）利用待定系数法求出点、坐标即可解决问题； （2）设，则，即，在中，根据，构建方程即可解决问题； （3）如图，当点在轴的负半轴上时，根据条件只要证明，即可解决问题；再根据对称性确定坐标； 【详解】（1）解：当时，；当时，； 则，； （2）解：设， 则． 在中，由勾股定理得， ， 解得， ； （3）解：如图2，当点D在x轴负半轴上时， 可得， ， ， 则； 由对称性可知，当点D在x轴正半轴上时，， ∴点D的坐标为或． 13．如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且． (1)点A的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿直线翻折得到，点C的对应点为点D，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点， ∴当时，得：， 解得； 当时，得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵过点B的直线交x轴负半轴于点C，， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：由（1）得，， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 14．如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【答案】(1)点，点 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，图形旋转的性质以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的性质以及图形翻折前后边长不变． （1）分别令与，求解坐标即可； （2）先求解出点、点的坐标，并表示出点的坐标，再根据图形翻折可得，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴令，可得，解得， ∴点的坐标为， 令，可得，解得， ∴点的坐标为； （2）解：如图， ∵点的坐标为，且， ∴点的坐标为， ∴点与点的横坐标为4， ∵点在直线上， ∴，即点的坐标为， 设点的坐标为， ∵将沿着翻折，当点的对应点落在直线上， ∴， 又∵，， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴的长为． 15．已知一次函数（为常数，）． (1)当时，在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图像，并求出该图像与坐标轴围成的三角形内（不含边界），横纵坐标都为整数的点共有 个； (2)当取不同值时，一次函数（为常数，）的图像是否都经过一个定点，若经过，求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由． (3)当时，自变量的负整数值恰好有个，求的取值范围． 【答案】(1)画图见解析，； (2)一次函数（为常数，）的图像都经过一个定点，理由见解析； (3)的取值范围是或． 【分析】本题主要考查了画函数图像，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，解题时熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解题的关键． （）当时，，然后通过画图像的方法即可画出图像，再结合图像可得横纵坐标都为整数的点的个数； （）由一次函数得，，当时，即时，，进而求解； （）根据题意，分当时，当时两种情形列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 列表： 描点： 连线：如图， ∴横纵坐标都为整数的点共有个， 故答案为：； （2）解：一次函数（为常数，）的图像都经过一个定点，理由， 由一次函数得，， ∴当时，即时，， ∴一次函数（为常数，）的图像都经过一个定点； （3）解：当时，随的增大而增大， ∴当时，可得， ∴， ∵自变量的负整数值恰好有个， ∴负整数值只能是，，，， ∴， 解得：； 当时，随的增大而减小， ∴当时，可得， ∴， ∵自变量的负整数值恰好有个， ∴负整数值只能是，，，， ∴， 解得：； 综上可得：的取值范围是或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3.2一次函数的图象 （4知识点+9题型+过关检测） 【题型1 判断一次函数的图象】 3 【题型2 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 6 【题型3 已知函数经过的象限求参数范围】 8 【题型4 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 9 【题型5 画一次函数图象】 11 【题型6 正比例函数的图象】 15 【题型7 一次函数图象平移问题】 18 【题型8 一次函数图象与对称问题】 19 【题型9 一次函数图象与旋转问题】 21 · 掌握一次函数 y=kx+b(k0) 的图象是一条直线，明确正比例函数图象是经过原点的特殊直线，理清函数解析式与图象的对应关系。 · 理解系数 k、b 的几何意义，熟练根据 k、b 的符号判断图象的升降趋势、与 y 轴交点位置，以及图象经过的象限。 · 掌握 “两点法” 画一次函数图象的规范步骤，能快速求出一次函数图象与 x 轴、y 轴的交点坐标，解决简单的交点、面积问题。 · 牢记一次函数图象的平移、对称、旋转规律，能根据变换要求求出对应函数解析式，逆向推导原函数解析式。 · 结合图象特征求解参数取值范围，强化数形结合思想，规避图象相关高频易错点。 【知识点一】一次函数的图象03 知识•梳理 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和 的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和 直线. 【知识点二】一次函数的性质 (1)正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 (2)一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 (3)一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 【知识点三】一次函数的图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 【知识点四】两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；(2)平行；(3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 04 题型•汇总 【题型1 判断一次函数的图象】 解题思路： 第一步：确认一次函数图象是直线，排除曲线、折线选项；第二步：判断\(k\)的符号，确定直线升降趋势；第三步：判断b的符号，确定直线与y轴交点位置，结合两点锁定正确图象。 【典例1】．一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 跟随训练3．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【题型2 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 解题思路： 直接分析解析式中k、b的符号，对照象限规律表格，逐一匹配图象经过的象限，无需画图即可快速判断。 【典例2】．直线一定经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限． 跟随训练1．一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．下列关于一次函数的图象经过的象限为（   ） A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 跟随训练3．已知过点的直线不经过第四象限，则a的取值范围是______． 【题型3 已知函数经过的象限求参数范围】 解题思路： 根据图象经过的象限，反向列出k、b的符号不等式组，注意一次项系数k≠0，解不等式组得到参数的取值范围。 【典例3】．已知一次函数（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（   ） A．8 B．5 C．3 D．0 跟随训练1．已知正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．0 C． D．2 跟随训练2．如果一次函数图象不经过第三象限，那么（    ） A． B． C． D． 跟随训练3．直线不经过第四象限，则k的取值范围为_____． 【题型4 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 解题思路： 求与y轴交点令x=0，求与x轴交点令y=0，分别计算对应坐标；求围成面积时，用两交点到原点的距离乘积的一半计算，务必加绝对值。 【典例4】．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．一次函数的图象与x轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．设一次函数．函数的图象分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，点，函数的图象分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，点，且的面积与的面积相等，若，则（    ） A． B． C． D． 跟随训练3．已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________． 【题型5 画一次函数图象】 解题思路： 采用“两点法”作图，步骤：① 求图象与x轴、y轴的交点坐标；② 在平面直角坐标系中准确描出这两个点；③ 用直尺连接两点，画出直线并标注解析式。 【典例5】．小明在学习画一次函数的图象时，列表如下： … 0 1 2 … … 3 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（    ） A．3 B．2 C． D． 跟随训练1．如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 跟随训练2．在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求出的面积． 跟随训练3．画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … … (2)描点并连线． 【题型6 正比例函数的图象】 解题思路： 正比例函数图象必过原点，作图取(0,0)和(1,k)两个点，连线即可，根据k符号判断直线经过的象限和增减性。 【典例6】．在下列各图象中，表示函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．在平面直角坐标系中，与点在同一个正比例函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3．水龙头关不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小敏进行了以下研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，下表是小敏在一段时间内收集到的一组数据． 漏水时间 0 5 10 15 20 25 30 … 漏水量 0 4 8 12 16 20 24 … (1)求漏水量随漏水时间而变化的函数表达式； (2)画出这个函数的图象． 【题型7 一次函数图象平移问题】 解题思路： 严格遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”口诀，上下平移直接改b，左右平移给x整体加减，k值保持不变，逆向平移则反向操作。 【典例7】．将直线向下平移2个单位长度，所得直线的关系式为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．将直线向右平移2个单位长度，所得直线的关系式为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．将一次函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为______． 跟随训练3．（1）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象的函数表达式是_______； （2）若将直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为_______； （3）将直线向右平移个单位长度后所得图象对应的函数表达式为_______； （4）将直线向左平移个单位长度后经过点，则的值为_______． 【题型8 一次函数图象与对称问题】 解题思路： 直接套用对称规律，关于x轴、y轴、原点对称分别对应改写解析式，无需画图，快速得出对称后的函数解析式。 【典例8】．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 跟随训练1．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 跟随训练3．若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”． 下列结论中：正确的是：_____________（写出所有正确结论的序号） ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； 【题型9 一次函数图象与旋转问题】 解题思路： 基础题型以绕原点旋转180度为主，等价于关于原点对称，按原点对称规律求解析式；旋转90度可找原直线上两个关键点，旋转后求新坐标，再代入求解析式。 【典例9】．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 跟随训练1．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 跟随训练3．将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 05 过关•检测 1．直线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 3．一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 4．下列命题中，正确的是（   ） A．一次函数在轴上的截距是 B．一次函数的图像与轴交于点 C．一次函数的图像一定经过第二、四象限 D．一次函数的图像是一条线段 5．如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．4 7．如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 8．若正比例函数的图象不经过第一象限，则整数k的值可以是_______（写出一个即可）． 9．一次函数的图象经过点，则________． 10．若直线与直线相交于轴，则_____． 11．如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 12．直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，点C是y轴正半轴上一点，若是以为底的等腰三角形，求点C的坐标； (3)如图2，点D是x轴上一点，，求点D的坐标． 13．如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且． (1)点A的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿直线翻折得到，点C的对应点为点D，求点D的坐标． 14．如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 15．已知一次函数（为常数，）． (1)当时，在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图像，并求出该图像与坐标轴围成的三角形内（不含边界），横纵坐标都为整数的点共有 个； (2)当取不同值时，一次函数（为常数，）的图像是否都经过一个定点，若经过，求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由． (3)当时，自变量的负整数值恰好有个，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $