16.3.1一次函数 2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

16.3.1一次函数 （4知识点+5大题型+过关检测） 【题型1 识别一次函数】 2 【题型2 正比例函数的定义】 4 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 5 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 7 【题型5 列一次函数解析式并求值】 8 1. 掌握核心定义：理解一次函数、正比例函数的严谨定义，牢记一次函数的一般形式，明确解析式的结构特征，分清一次函数与常数函数、正比例函数的区别与联系。 2. 牢记限定条件：熟练掌握一次函数、正比例函数成立的关键限定条件，尤其是一次项系数不为0的核心要求，避免概念性错误。 3. 提升参数求解能力：能根据一次函数、正比例函数的定义，结合自变量次数、系数条件，准确求解解析式中字母参数的取值或具体数值。 知识点1：一次函数的定义03 知识•梳理 一般形式：形如 y = kx + b（k、b为常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。 核心条件（缺一不可） · 自变量只有x一个，且自变量x的次数为1（一次整式）； · 一次项系数k ≠ 0（若k=0，解析式变为y=b，是常数函数，不是一次函数）； · 常数项b可以为任意实数（b可正、可负、可为0）； · 解析式中不含x²、√x、1/x等形式，仅含一次项和常数项。 知识点2：正比例函数的定义 一般形式：在一次函数y = kx + b中，当b = 0时，函数解析式变为 y = kx（k为常数，k ≠ 0），叫做正比例函数。 核心关系 · 正比例函数是特殊的一次函数； · 一次函数不一定是正比例函数，只有常数项为0的一次函数才是正比例函数。 知识点3：一次函数的自变量与函数值 · 自变量：通常为x，取值范围一般为全体实数，实际问题中需结合题意确定取值（保证实际意义）； · 函数值：给定自变量x的一个确定值，代入解析式求出的y值，叫做函数值； · 运算逻辑：已知x求y→直接代入计算；已知y求x→代入解析式列方程求解。 知识点4：列一次函数解析式的步骤 1. 审题，确定两个变量（自变量x，函数y）； 2. 找出题目中的等量关系，梳理变量间的数量关系； 3. 设出一次函数解析式y=kx+b（正比例函数设y=kx）； 4. 代入已知数量，确定k、b的值，写出完整解析式； 5. 验证解析式是否符合题意及一次函数定义，标注自变量取值范围。 高频易错提示：1. 忽略一次项系数k≠0的条件，导致参数求解错误；2. 混淆一次函数与正比例函数，误认为所有一次函数都是正比例函数；3. 实际问题中忘记限定自变量取值范围；4. 识别一次函数时，将含分式、根式、x²的解析式误判为一次函数。 【题型1 识别一次函数】04 题型•汇总 解题思路： 紧扣一次函数定义和核心条件，逐一判断：① 是否符合y=kx+b的形式；② x的次数是否为1；③ 一次项系数k是否不为0；④ 是否含分式、根式、高次项，同时区分正比例函数（特殊一次函数）。 【典例1】．下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，是一次函数，故该选项符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、，不是一次函数，故该选项不符合题意． 跟随训练1．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义判断各选项即可． 【详解】解：A．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； B．中未知数充当了分母，不是（，是常数，且）的形式，故此选项错误； C．中，，，满足一次函数的形式，是一次函数，故此选项正确； D．中的次数为，不是一次函数，故此选项错误． 【点睛】一次函数的标准形式为（，为常数，）． 跟随训练2．给出下列函数：①；②；③；④；⑤中是一次函数的是______． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（，k、b为常数）的函数是一次函数；根据定义判断各函数是否符合该形式． 【详解】解：对于函数①，，变量v的次数为2，不符合一次函数定义； 对于函数②，，可化为，符合一次函数定义； 对于函数③，，符合一次函数定义； 对于函数④，，含有平方根运算，不是一次函数； 对于函数⑤，，符合一次函数定义； 故答案为②③⑤． 跟随训练3．在函数①，②，③，④，⑤中，是一次函数的是____．（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】此题考查的是一次函数的判断． 根据一次函数的定义，形如的函数是一次函数，逐个判断给定函数是否符合该形式． 【详解】解：函数①，符合一次函数定义；函数②，符合一次函数定义；函数③是反比例函数，不符合一次函数定义；函数④是二次函数，不符合一次函数定义；函数⑤，可化为，符合一次函数定义． 故答案为①②⑤． 【题型2 正比例函数的定义】 解题思路： 满足两个核心条件：① 是一次函数（k≠0，x次数为1）；② 常数项b=0，解析式为y=kx（k≠0），判断或解题时必须同时验证两个条件，缺一不可。 【典例2】．下列函数中是正比例函数的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义：形如（是常数，）的函数为正比例函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：根据正比例函数的定义进行判断， 选项A：，符合正比例函数的定义，是正比例函数； 选项B：不符合定义，不是正比例函数； 选项C：不符合定义，不是正比例函数； 选项D：不符合定义，不是正比例函数． 跟随训练1．下列关系中，是正比例函数关系的是（    ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义（两种相关联的量，相对应的两个数的比值为定值且不为，即形如，是不为的常数），逐一分析各选项的变量关系． 【详解】解：、已看页数与剩下页数的和为定值，比值不是定值，不符合正比例函数关系，不符合题意； 、数量单价总价（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、一边长该边上的高三角形面积（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、路程时间速度（定值且不为），符合正比例函数的形式，是正比例函数关系，符合题意． 跟随训练2．函数是关于的正比例函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义，掌握正比例函数的标准形式和特点是解题关键． 正比例函数的形式为（），故函数表达式中的常数项必须为零，据此进行计算即可． 【详解】解：由正比例函数的定义，可知，解得． 故答案为：． 跟随训练3．当________时，函数是正比例函数． 【答案】2 【分析】根据正比例函数的定义可得，即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， ∴． 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 解题思路： 分两步核心步骤： 1. 令自变量x的次数等于1，列出方程； 2. 令一次项系数不等于0，列出不等式； 3. 若为正比例函数，额外增加常数项等于0的条件，联立求解参数取值或具体值。 【典例3】．若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一次函数的定义，列出关于m的方程与不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 由得，或， 又∵，即， ∴， 故选：A． 跟随训练1．若直线：与直线：平行，则k的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象中两直线平行的性质，形如的一次函数，两直线平行时一次项系数相等且常数项不相等．解题的关键是掌握“若两条直线互相平行，则它们的一次项系数（斜率）相等”这一性质．直线与直线平行，根据两直线平行斜率相等的性质，直接可得． 【详解】解：∵ 一次函数图象中，两条直线平行的条件是一次项系数相等，且常数项不相等 ∵ 直线：与直线：平行 ∴ ，且（满足常数项不相等的条件） ∴ 的值为 故选A． 跟随训练2．已知函数是一次函数，则a的值是________． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，确定自变量次数与一次项系数的限制条件，求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解得：． 跟随训练3．已知：点是一次函数上的点，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将点代入到解析式中，整理得到关于和的等式，列出不等式计算即可； 【详解】解：点是一次函数上的点， ， ， ， 或， ． 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 解题思路： 1. 已知自变量x求函数值y：直接将x的值代入解析式，按照运算顺序计算y的值； 2. 已知函数值y求自变量x：将y的值代入解析式，列出一元一次方程，解方程求出x的值； 3. 实际问题中，求出的x、y值需符合实际意义，舍去不合理的值。 【典例4】．当为（     ）时，的值为0． A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知一次函数的函数值，求对应自变量的值，理解和掌握函数值的定义是解题的关键． 将代入函数解析式，解一元一次方程即可求解． 【详解】解： 当时，代入得，， 解得． 故选：C． 跟随训练1．已知一次函数，当时，的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查求一次函数的函数值．将代入函数表达式即可求解． 【详解】解：当时，， 故选：A． 跟随训练2．已知点在一次函数的图象上，则_____． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入函数解析式，变形即可求出所求代数式的值． 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴将点坐标代入，得， 移项整理得：． 跟随训练3．对任意实数，直线经过一个定点，这个定点是________． 【答案】 【分析】将原解析式变形为关于的一次式，根据对任意实数等式恒成立，可得的系数为0，计算即可得到定点坐标． 【详解】解：， ， 对任意实数，直线经过一个定点， ，解得， 将代入得， 这个定点为． 【题型5 列一次函数解析式并求值】 解题思路： 先梳理实际问题中的数量关系，确定固定值（常数项b）和变化量（一次项系数k），列出一次函数解析式，再代入指定数值进行求值计算，常见场景：行程、计费、销售、工程等问题。 【典例5】．若点在一次函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 把点代入一次函数，通过解一元一次方程来求的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ， 解得． 故选：A． 跟随训练1．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数，解题关键是找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数解析式． 【详解】解：设张白纸粘合后的总长度为， ∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， 可得 ∴， 故答案为：． 跟随训练2．体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，找准等量关系是解题关键．先求出钢笔为支，再根据总费用跳绳的单价跳绳的个数钢笔的单价钢笔的个数，由此即可得． 【详解】解：由题意得：购买钢笔的支数为支， 则， 故答案为：． 跟随训练3．阳谷县冀王红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进，两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．品牌红富士苹果的价格为38元/箱，品牌红富士苹果的价格为30元/箱． (1)若品牌红富士苹果购进箱，购进这两种品牌红富士苹果的总费用为元，尝试确定与的函数关系？ (2)若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进品牌红富士苹果多少箱？ 【答案】(1)且为整数 (2) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，写出与的函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据总费用品牌红富士苹果的价格购进品牌红富士苹果的箱数品牌红富士苹果的价格购进品牌红富士苹果的箱数计算即可； （2）根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，从而得到的最大值即可． 【详解】（1）解：， 与的函数关系为且为整数． （2）根据题意，得，即， 解得． 答：最多可购进品牌红富士苹果箱． 05 过关•检测 1．下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（、为常数，，自变量的次数为1的整式函数），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：中的最高次数是2，不是一次函数； B选项：，不是整式函数，故不是一次函数； C选项：符合一次函数的形式，是一次函数； D选项：不是整式函数，故不是一次函数； 2．若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正比例函数要求自变量的次数为1，且比例系数不为0，据此列关系计算即可． 【详解】∵是关于的正比例函数， ∴根据正比例函数的定义可得， 解，得，即， 由，得， ∴． 3．下列四个点中，不在正比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标代入函数解析式，对比计算出的纵坐标与点的纵坐标是否一致，即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解：正比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式． A选项：当时，，与点的纵坐标相等，故该点在图象上． B选项：当时，，与点的纵坐标相等，故该点在图象上． C选项：当时，，与点的纵坐标相等，故该点在图象上． D选项：当时，，与点的纵坐标不相等，故该点不在图象上． 故选：D． 4．已知直线经过点A，则A点坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一次函数图象上点的坐标特征解题，若点在直线上，则点的横纵坐标满足直线的解析式，将各选项的横坐标代入解析式计算y值，对比即可得到不可能的坐标. 【详解】解： 当时，，直线经过该点，不符合题干要求； 当时，，直线不经过该点，符合题干要求； 当时，，直线经过该点，不符合题干要求； 当时，，直线经过该点，不符合题干要求. 5．某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 【答案】D 【分析】先根据正比例函数和二次函数的性质，结合已知条件求出基础硬度和强化硬度关于厚度x的表达式，再求出总硬度y关于x的表达式，最后将代入表达式求出总硬度． 【详解】解：∵基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比，总硬度， ∴设，，其中，均不为0， 将，，分别代入得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴总硬度是95． 6．若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据正比例函数求参数，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义（形如，且为常数的函数），需让原函数的二次项系数为0，同时一次项系数不为0，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 由，解得， ∵当时，，满足条件， ∴， 故选：D． 7．如果一次函数的图像经过点，那么m的值是_________． 【答案】2 【分析】把代入运算求解即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：． 8．已知为正比例函数，且关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】先根据正比例函数的定义得到a的取值限制，再解一元一次不等式组，根据不等式组整数解的个数确定a的取值范围，最后找出范围内满足条件的整数a并计算其和即可． 【详解】解：为正比例函数 根据正比例函数的定义，可得，即 解不等式组 解不等式，得 解不等式，得 因此不等式组的解集为 不等式组有且仅有三个整数解， 三个整数解为 可得 三边同乘3得，移项并合并同类项得 结合，可得 该范围内的整数为 所有满足条件的整数的值之和为 9．一次函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征，代数式求值，将点的坐标代入解析式中计算是关键．由点在函数图象上，可得与的关系式，代入到所求代数式中求解即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ． 故答案为：． 10．已知自变量为的函数是正比例函数，当时，_____． 【答案】6 【分析】此题考查了正比例函数，根据正比例函数的定义，函数中常数项必须为零，且比例系数不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵自变量为x的函数是正比例函数， ∴，且， ∴ ∴该函数的表达式为． 当时，， 故答案为：6． 11．若是关于的正比例函数，求的值． 【答案】 【分析】由正比例函数定义得到，分别解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的正比例函数， ， 解得或； 解得； 解得 ， ． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及正比例函数的定义、解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式等知识，熟记正比例函数定义得到相应方程及不等式求解是解决问题的关键． 12．已知与成正比，当时，，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，先理解与成正比，得，再代入数值，得，即可作答． 【详解】解：∵与成正比， ∴设， 当时，，可得 解得， ∴ ∴． 13．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 【答案】(1)，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数 (2)，y是x的一次函数，也是x的正比例函数 (3)，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数 【详解】（1）解：由正方形的面积是边长的平方得，，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数． （2）解：由应缴电费y（元）是收费标准0.53元/（）与用电量x（）的乘积得，，y是x的一次函数，也是x的正比例函数． （3）解：由剩余的费用y（元）是总钱数减去用去的钱得，，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 14．在平面直角坐标系中，对于，有如下规定：，则称点B为点A的“友谊点”．举例：的友谊点是，而的友谊点是． (1)点的“友谊点”是________； (2)点的“友谊点”在函数的图象上，求m的值； (3)已知点在函数的图象上，求点A的友谊点B的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，一次函数的性质，解题的关键是理解定义，熟练掌握一次函数的性质． （1）根据“友谊点”定义直接计算即可； （2）先根据定义计算的“友谊点”，再将“友谊点”代入函数中求出m； （3）先根据点在函数的图象上得，再根据的取值范围确定的取值范围，进而根据“友谊点”定义得出取值范围． 【详解】（1）解：，， ， “友谊点”为； （2）解：，， ， 点的“友谊点”为， 点的“友谊点”在函数的图象上， ， ； （3）解：点在函数的图象上， ， ， ， ． 15．乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好的古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题： 素材一 套餐类型 服务内容 单人收费（元） 单人成本（元，含门票、物料、人工等） 套餐A（研学+采摘） 参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜） 150 80 套餐B（深度研学） 参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等） 200 110 素材二  某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元． 素材三  该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠． 问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B的员工人数各是多少？ 问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式． 【答案】问题1：选择套餐A的员工40人，选择套餐B的员工40人；问题2：． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系是解题的关键． 问题1：设选择套餐的员工人数为人，选择套餐的员工人数为人．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； 问题2：分和列出函数关系式即可． 【详解】解：问题1：设选择套餐的员工人数为人，选择套餐的员工人数为人． 根据题意，列方程组：，解得：． 答：选择套餐的员工40人，选择套餐的员工40人； 问题2，当时， ； 当时， ． 综上所述． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3.1一次函数 （4知识点+5大题型+过关检测） 【题型1 识别一次函数】 2 【题型2 正比例函数的定义】 3 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 3 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 3 【题型5 列一次函数解析式并求值】 4 1. 掌握核心定义：理解一次函数、正比例函数的严谨定义，牢记一次函数的一般形式，明确解析式的结构特征，分清一次函数与常数函数、正比例函数的区别与联系。 2. 牢记限定条件：熟练掌握一次函数、正比例函数成立的关键限定条件，尤其是一次项系数不为0的核心要求，避免概念性错误。 3. 提升参数求解能力：能根据一次函数、正比例函数的定义，结合自变量次数、系数条件，准确求解解析式中字母参数的取值或具体数值。 知识点1：一次函数的定义03 知识•梳理 一般形式：形如 y = kx + b（k、b为常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。 核心条件（缺一不可） · 自变量只有x一个，且自变量x的次数为1（一次整式）； · 一次项系数k ≠ 0（若k=0，解析式变为y=b，是常数函数，不是一次函数）； · 常数项b可以为任意实数（b可正、可负、可为0）； · 解析式中不含x²、√x、1/x等形式，仅含一次项和常数项。 知识点2：正比例函数的定义 一般形式：在一次函数y = kx + b中，当b = 0时，函数解析式变为 y = kx（k为常数，k ≠ 0），叫做正比例函数。 核心关系 · 正比例函数是特殊的一次函数； · 一次函数不一定是正比例函数，只有常数项为0的一次函数才是正比例函数。 知识点3：一次函数的自变量与函数值 · 自变量：通常为x，取值范围一般为全体实数，实际问题中需结合题意确定取值（保证实际意义）； · 函数值：给定自变量x的一个确定值，代入解析式求出的y值，叫做函数值； · 运算逻辑：已知x求y→直接代入计算；已知y求x→代入解析式列方程求解。 知识点4：列一次函数解析式的步骤 1. 审题，确定两个变量（自变量x，函数y）； 2. 找出题目中的等量关系，梳理变量间的数量关系； 3. 设出一次函数解析式y=kx+b（正比例函数设y=kx）； 4. 代入已知数量，确定k、b的值，写出完整解析式； 5. 验证解析式是否符合题意及一次函数定义，标注自变量取值范围。 高频易错提示：1. 忽略一次项系数k≠0的条件，导致参数求解错误；2. 混淆一次函数与正比例函数，误认为所有一次函数都是正比例函数；3. 实际问题中忘记限定自变量取值范围；4. 识别一次函数时，将含分式、根式、x²的解析式误判为一次函数。 【题型1 识别一次函数】04 题型•汇总 解题思路： 紧扣一次函数定义和核心条件，逐一判断：① 是否符合y=kx+b的形式；② x的次数是否为1；③ 一次项系数k是否不为0；④ 是否含分式、根式、高次项，同时区分正比例函数（特殊一次函数）。 【典例1】．下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．下列函数中，是的一次函数的是（     ） A． B． C． D． 跟随训练2．给出下列函数：①；②；③；④；⑤中是一次函数的是______． 跟随训练3．在函数①，②，③，④，⑤中，是一次函数的是____．（填序号） 【题型2 正比例函数的定义】 解题思路： 满足两个核心条件：① 是一次函数（k≠0，x次数为1）；② 常数项b=0，解析式为y=kx（k≠0），判断或解题时必须同时验证两个条件，缺一不可。 【典例2】．下列函数中是正比例函数的是（　　）． A． B． C． D． 跟随训练1．下列关系中，是正比例函数关系的是（    ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 跟随训练2．函数是关于的正比例函数，则的值为_____． 跟随训练3．当________时，函数是正比例函数． 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 解题思路： 分两步核心步骤： 1. 令自变量x的次数等于1，列出方程； 2. 令一次项系数不等于0，列出不等式； 3. 若为正比例函数，额外增加常数项等于0的条件，联立求解参数取值或具体值。 【典例3】．若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 跟随训练1．若直线：与直线：平行，则k的值为（　　） A． B． C．1 D．2 跟随训练2．已知函数是一次函数，则a的值是________． 跟随训练3．已知：点是一次函数上的点，则k的取值范围是__________． 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 解题思路： 1. 已知自变量x求函数值y：直接将x的值代入解析式，按照运算顺序计算y的值； 2. 已知函数值y求自变量x：将y的值代入解析式，列出一元一次方程，解方程求出x的值； 3. 实际问题中，求出的x、y值需符合实际意义，舍去不合理的值。 【典例4】．当为（     ）时，的值为0． A．2 B． C． D．1 跟随训练1．已知一次函数，当时，的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 跟随训练2．已知点在一次函数的图象上，则_____． 跟随训练3．对任意实数，直线经过一个定点，这个定点是________． 【题型5 列一次函数解析式并求值】 解题思路： 先梳理实际问题中的数量关系，确定固定值（常数项b）和变化量（一次项系数k），列出一次函数解析式，再代入指定数值进行求值计算，常见场景：行程、计费、销售、工程等问题。 【典例5】．若点在一次函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B． C． D．2 跟随训练1．将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为________． 跟随训练2．体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 跟随训练3．阳谷县冀王红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进，两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．品牌红富士苹果的价格为38元/箱，品牌红富士苹果的价格为30元/箱． (1)若品牌红富士苹果购进箱，购进这两种品牌红富士苹果的总费用为元，尝试确定与的函数关系？ (2)若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进品牌红富士苹果多少箱？ 05 过关•检测 1．下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 3．下列四个点中，不在正比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 4．已知直线经过点A，则A点坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 5．某工厂生产一种金属板，其总硬度是基础硬度与强化硬度之和，其中基础硬度与厚度x成正比，强化硬度与厚度x的平方成正比．已知时，，．当时，则其总硬度是（   ） A．65 B．75 C．85 D．95 6．若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 7．如果一次函数的图像经过点，那么m的值是_________． 8．已知为正比例函数，且关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 9．一次函数的图象经过点，则________． 10．已知自变量为的函数是正比例函数，当时，_____． 11．若是关于的正比例函数，求的值． 12．已知与成正比，当时，，求y与x之间的函数关系式． 13．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 14．在平面直角坐标系中，对于，有如下规定：，则称点B为点A的“友谊点”．举例：的友谊点是，而的友谊点是． (1)点的“友谊点”是________； (2)点的“友谊点”在函数的图象上，求m的值； (3)已知点在函数的图象上，求点A的友谊点B的纵坐标的取值范围． 15．乐平作为“中国古戏台之乡”，拥有200余座保存完好的古戏台，同时其灯笼辣椒、白梗芋等特色蔬菜深受游客喜爱，某文旅公司结合地方文化与产业优势，推出“古戏台研学+蔬菜采摘”双套餐旅游项目，助力乡村文旅发展．以下是项目相关素材及问题： 素材一 套餐类型 服务内容 单人收费（元） 单人成本（元，含门票、物料、人工等） 套餐A（研学+采摘） 参观2处核心古戏台（如浒崦古戏台、洪岩古戏台）+1小时蔬菜采摘体验（可带走1斤自采蔬菜） 150 80 套餐B（深度研学） 参观3处特色古戏台（含非遗传承人讲解）+乐平精品蔬菜礼盒（含灯笼辣椒、白梗芋等） 200 110 素材二  某软件公司组织员工团建，每个员工只能选择上面两个套餐中的一个套餐，累计参与人数共80人，总花费金额为14000元． 素材三  该文旅公司在周末高峰期某天共接待游客300人，其中选择套餐A的游客人数为人，剩余游客选择套餐B．当天为提升套餐A吸引力，对前50名选择套餐A的游客每人减免10元优惠． 问题1：结合素材一、素材二，求该软件公司选择套餐A和套餐B的员工人数各是多少？ 问题2：设该文旅公司周末高峰期当天的总利润为元，结合素材一、素材三，求关于的函数表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $