16.4 反比例函数（题型专练）（基础达标4大题型+能力提升6大题型+拓展培优）数学新教材华东师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.4反比例函数 题型一 反比例函数的概念 题型二判断（画）反比例函数的图像 A基础达标题 题型三反比例函数的性质 题型四求反比例函数表达式 题型一反比例函数中求值问题 题型二反比例函数中参数取值范围问题 题型三反比例函数的增减性 反比例函数 B能力提升题 题型四比例系数k的几何意义 题型五反比例函数的实际应用 题型六一次函数与反比例函数综合问题 C拓展培优题 A 基础达标题 题型一反比例函数的概念 1.D 2.D 3.3 4.C 5.解：0)y=5是反比例函数，对应的k=5: X 2)y=04 是反比例函数，对应的k=0.4: X ®y=兰不是反比例函数： 2 (4)xy=2可以写成y= ,对应的k=2: 综上，(1)(2)(4)是反比例函数，(1)对应的k=5;(2)对应的k=0.4:(4)对应的k=2. 题型二判断（画）反比例函数的图像 1.B 2.C 3.D 题型三反比例函数的性质 1.D 2.C 3.C 4.B 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四求反比例函数表达式 1.【详解】(1)解：·y1与x成正比例，y2与x-3成反比例 ÷设y=axa≠0)，y,=b3(b≠0) x-3 b ∴.y=y1+y2=ax+ X-3 ,当x=2时，y=16;当x=4时，y=20 2a+ b =16 2-3 =20 4a+4-3 解得：a=6,b=-4 4 ∴.y=6x- x-3 .x-3≠0 .X≠3 y=6x-4x3 x-3 (2)解：由(1)可知，y=6x-4 3，则 当x=5时，y=6×5- 4=28. 5- 2y=2 X 3解：()hS=450,h=450 9,.比例系数为450. ②西=W,F,比钢系教为W 3)y=1000,y=X，比例系数为1000 ④：w=1200-400,y=800,比倒系数为800 y=4 (答案不唯一) X 5.【详解】(1)解：：点Am,2在直线y1=x+1上， 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.2=m+1, .m=1: (2)解：由(1)得A1,2, :点A1,2在反比例函数y2=(k为常数，k≠0)上， X .2=k .k=2, .反比例函数的解析式为y2= 2 B 能力提升题 题型一反比例函数中求值问题 1.0 2.2,4 3.A 题型二反比例函数中参数取值范围问题 1.D 2.A 3.D 题型三反比例函数的增减性 1.C 2.B 3.B 4.【详解】(1)解：该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小， ∴.3-m>0, 解得m<3; (2).点A2,3在反比例函数图象上， 3=3-m 则3-m=6, 故反比例函数解析式为y=6 题型四比例系数k的几何意义 1.1 2.4 3.B 题型五反比例函数的实际应用 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.ys5 X k 2.【详解】(1)解：当1≤x≤5时，将1,200代入y=得：k=200, 在新技术改造阶段的函数关系式为：y=200, X 当X>5时，将X=5代入y=200得：y=40,则y=40+20x-5=20X-60 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：y=20x-60. (2)解：当X=3时，该的利润在反比例函数y=20上 ， X y÷200 3 200 当x=4时，该厂的利润在反比例函数y= 上， ..y2 200=50, Γ4 当x=7时，该厂的利润在一次函数y=20x-60上， ∴.y3=20x-60=80, .y3>y1>y2, 故答案为：y3>y1>y2 3》解：对y=20,当y=10时，Xx=2 对于y=20x-60,当y=100时，x=8, .资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴.该厂资金紧张期共有5个月. 3.【详解】(1)解：.A(2,m), ∴.OB=2,AB=m, 5000BAB=×2×m=1, ∴.m=1: .点A的坐标为2,1)， 把A(2,1)代入y=x 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得k=2: (2)解：当x=1时，y=2:当x=3时，y= 3 2 当1≤X≤3时，y的取值范围为写≤y≤2. 4.【详解】(1)解：设药物燃烧时的函数解析式为y=k1x(k1≠0)， 6 由题意得：12=10k,解得：k1=3 “燃烧时的函数关系式为y=x0≤x≤10)： 5 （2)解：设燃烧后函数解析式为y=k2k,≠0)。 由题意得：12 k 10,解得：k2=120, 12 .燃烧后的函数关系式为y= 2(x≥10)： X 6 5 x≥5 (3)解：由题意得： 20z5 解得： 25≤x≤24， X 24-25=119 66 (分钟)， 答：对病毒有作用的时间长为 1 6分钟 题型六一次函数与反比例函数综合问题 1.B 2.C 3.C 4.13 5.x←32或0<x<32 拓展培优题 1.【详解】(1)解：：反比例函数为y=m+2xm-3, .m-3=-1且m+2≠0， 解得：m=2. 4 (2)由(1)可知：y= 当x=-1时，代入上式得：y=-4 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 '.点P一1，-2不在该反比例函数图象上. 2.【详解】(1)解：当x1=1,X2=-3时， y==3.=3=-1 y1-y2=3-(-1)=4: (2):A,B关于原点中心对称，且都在函数y=3图象上 X .x1=-X2,y1=-y2,X2y2=3, ∴.X1y2+x2y1=-x2y2-X2y2=-2x2y2=-2×3=-6 (3),X1=m-2,x2=m+2, .X1<X2, k=3>0时，图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， X1<x2,y1<y2, .点A和点B不在同一象限内， ∴点A在第三象限，点B在第一象限， ∴.m-2<0,且m+2>0, 解得：-2<m<2, 3.【详解】(q)解：：一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A1,6、B-2,P两点， X 8m=1x6=6,p三6=3 将A、B坐标代入一次函数y=kx+b得： k+b=6 -2k+b=p [k=3 解得：b=3 6 故一次函数的解析式为y=3x+3,反比例函数的解析式为y= (2)设直线与y轴的交点为C,如图， 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V .y=3x+3, .C0,3, .0C=3, .A1,6,B-2,-3, 5aAos=Saoc+5ac=C01+C0KgF×3x1+号x3x2=号 2a-8 4.【详解】(1)解：反比例函数y= 的图象位于第二、四象限， X 则比例系数2a-8<0, 解不等式得2a<8, 即a<4; (2)解：当X>0时，y随x值的增大而减小， 则比例系数2a-8>0, 解不等式得2a>8, 即a>4. 5.C 6.-4<x<0或x>2 7.B 8【详解】(1)解：将将点A(-42、B2,-4代入y=+b,点A(-42R入y=兴得， -4k+b=2 m=2, 12k+b=-4’- 解得：m=-8, k=-1 b=-2' y=-x-2,y=-8 (2)解：当X=0时，y=-2, 当y=0时，-X-2=0,解得X=-2, .D(-2,0),C(0,-2, 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SAAOB=0DSACOSAOCD= ×2×2+2x2×2+号x2×2=6: 1 2 9.【详解】(1)将A2,3代入双曲线y=m X .m=6, ·双曲线的解析式为y=6 将点Bn,1代入y= x' ∴.n=6, ∴.B6,1, 将A2,3,B6,1代入y=kx+b, 2k+b=3 6k+b=11 k=-1 解得2， b=4 直线解析式为y=)x+4, (2),直线AB向下平移至CD, 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB‖CD 设直线CD的解析式为y=)x+n,将点C-20代入y= -x+n, 2 .1+n=0解得n=-1 ·直线CD的解析式为y= 21 ∴.D0,-1 过点D作DG⊥AB交于G, 设直线AB与y轴的交点为H,与x轴的交点为F, ∴.H0,4,F8,0, .∠HFO+∠OHF=90°，∠OHG+∠HDG=90°， ∴.∠HDG=∠HFO, OH=4,OF=8, ∴.HF=45, ∴.cos∠HFO= 2 51 .DH=5, .DG= 2DH=25, :AB=25, :△ABD的面积分×25×25=10 ）由医可2<x<6或x<0时，弓x-1号 X 10.【详解】(1)解：，一次函数y=x+b的图像与y轴交于点C0,3, b=3, 一次函数y=x+3的图像过点Am,4, ∴.4=m+3,解得m=1, ∴.A1,4, :反比例函数y=k≠0的图像过点A1,4, X ∴.k=4. (2)解：由(1)知，y=x+3,当y=0时，x=-3, 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B-3,0, A1,4,C0,3 5ww-0cx-x3x1-=3 .S0-OB-yo-*3lyol=2SaoN=3. ∴yn=2, yD=2或yD=-2, ·点D是y=的图像上一点， .当yp=2时，xD=2;当yD=-2时，XD=-2, .D2,2或D-2,-2. 10/10 16.4反比例函数 题型一 反比例函数的概念 1.下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，其中是的反比例函数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.下面四个关系式中，是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 3.若是反比例函数，则_____． 4.已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是(    ) A.当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系 B.当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大 C.当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系 D.当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系 5.在下列函数表达式中，x均表示自变量，那么哪些是反比例函数？每一个反比例函数相应的k值是多少？ (1)；(2)；(3)；(4)． 题型二 判断（画）反比例函数的图像 1.已知点，在双曲线上；若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 3．甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地匀速行驶到乙地所用时间(h)与行驶速度(km/h)之间的函数图象大致是(　　) A. B. C. D. 题型三 反比例函数的性质 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点，都在图象上，且，则 2．若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 3．若点都在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4.如图，反比例函数的图象经过，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 题型四 求反比例函数表达式 1.（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)关于的函数解析式及定义域； (2)当时的函数值． 2.若反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式是__________． 3.写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数. (1)当圆锥的体积是150cm³时，它的高(cm)与底面积(cm²)的函数关系式； (2)功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系式； (3)某实验中学八(2)班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数与该班同学每天制作的数量之间的函数关系式； (4)某商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价1.2万元，首期付款4千元后，分次付清，每次付款相同. 每次的付款数(元)与付款次数的函数关系式. 4.如图，已知点，，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件反比例函数的表达式 ． 5.（25-26九年级上·云南怒江·期末）如图，直线与反比例函数（为常数，）交于，两点，与轴，轴分别交于两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)求反比例函数的解析式． 题型一 反比例函数中求值问题 1.在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 2.已知反比例函数的图像经过点，则A关于坐标原点的对称点坐标为 ． 3.已知函数是反比例函数，则的值是(    ) A. B. C.1 D.3 4.已知函数是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则此函数的表达式为___________． 题型二 反比例函数中参数取值范围问题 1.若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.反比例函数的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而减小，则k的值可以是（   ） A． B．2 C．3 D．1 3.已知，两点在反比例函数的图象上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型三 反比例函数的增减性 1.（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知点、均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2.已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则可能小于0也可能大于0 C．若，点，在同一象限，则 D．若，点，在不同象限，则 3.已知点，在反比例函数（，k为常数）的图象上，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4.（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数． (1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若点在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式． 题型四 比例系数k的几何意义 1.（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于，则的面积为 ． 2.如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点分别在轴正半轴上，且轴，若的面积为，则k的值为 ． 3.在平面直角坐标系中，点在双曲线上，轴于点，则的面积是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 题型五 反比例函数的实际应用 1.王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 2.我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第个月的利润为万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，与成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 3.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求和的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求取值范围 4.为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（mg）与燃烧时间（分钟）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时与的函数关系式； (2)求药物燃烧后与的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 题型六 一次函数与反比例函数综合问题 1.（23-24八年级下·全国·随堂练习）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象是（　　） A．①或④ B．②或③ C．①或③ D．②或④ 2.如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，，则的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3.某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 4.如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为___________． 5.如图，直线与双曲线交于点A和点B，已知点A的坐标是，则关于x的不等式的解集是 ． 1．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 2．已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 3.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求面积． 4.已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 5.如图，平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是（ ） A． B． C． D． 6.（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图，直线与双曲线相交于点，则不等式的解集是 ． 7.如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为4，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为4，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（    ） A．10 B． C． D．15 8.如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数的图像上的两个交点．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与y轴的交点C的坐标及的面积． 9.（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．    (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 10.如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点B，与轴交于点． (1)求、的值； (2)点D是的图像上一点，且，求点D的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.4反比例函数 题型一 反比例函数的概念 1.下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，其中是的反比例函数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握形如的函数关系，称为是的反比例函数是解题的关键．根据反比例的三种形式判断即可． 【详解】①的次数是1，所以是的一次函数； ②是的反比例函数； ③，所以是的反比例函数； ④分母是，不是，所以不是的反比例函数； ⑤是反比例函数变形的的形式，所以是的反比例函数； ⑥没有说明，所以不是的反比例函数； ⑦分母中的次数是2，所以不是的反比例函数； ⑧的次数是1，所以是的一次函数； ⑨不是的反比例函数． 综上，是的反比例函数的有②③⑤，共3个． 故选：D． 2.下面四个关系式中，是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义判断即可； 【详解】中，的次数是2，不符合题意，故A错误； 是正比例函数，故B不符合题意； 是一次函数，故C不符合题意； 是反比例函数，故D正确； 故选D． 3.若是反比例函数，则_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是做题的关键．根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：3． 4.已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是(    ) A.当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系 B.当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大 C.当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系 D.当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系 【答案】C 【解析】A．在中，当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系，故选项正确，不符合题意； B．在中，当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大，故选项正确，不符合题意； C．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意； D．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 5.在下列函数表达式中，均表示自变量，那么哪些是反比例函数？每一个反比例函数相应的值是多少？ (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】解：(1)是反比例函数，对应的； (2)是反比例函数，对应的； (3)不是反比例函数； (4)可以写成，对应的； 综上，(1)(2)(4)是反比例函数，(1)对应的；(2)对应的；(4)对应的k=2. 题型二 判断（画）反比例函数的图像 1.已知点，在双曲线上；若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图像及性质，掌握反比例函数的图像及性质是解题的关键．根据题意可得，反比例函数的图像分布在第二、四象限，即可求解． 【详解】解：的图像分布在第二、四象限，如图所示， 当，从图像可知，. 故选：B． 2．函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当时，函数关系式为，则有； 当时，函数关系式为，则有， 故选项C符合. 故选：C． 3．甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地匀速行驶到乙地所用时间(h)与行驶速度(km/h)之间的函数图象大致是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意可知：时间(小时)与行驶速度(千米/时)之间的函数关系式为：， ∴函数图象大致如下. 故选：D． 题型三 反比例函数的性质 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点，都在图象上，且，则 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，当时，图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，逐项分析即可求解． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象分布在第二、四象限，故A选项正确； ∵，当 时，随的增大而增大，故B选项正确； 当时，，故图象经过点，故C选项正确； 对于D选项，若，则，此时成立；但若，则，故不一定成立，因此D选项不正确． 故选：D． 2．若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 3．若点都在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】反比例函数在一、三象限内，随的增大而减小．据此可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， ①若，∴两点均位于第三象限， ∴ ②若，∴两点均位于第一象限， ∴y2＜y1＜0； ③若，∴位于第三象限，位于第一象限， ∴； A：若，则，故A错误； B：若，则，故B错误； C：若，则，故C正确； D：若，则，故D错误． 故选：C． 4.如图，反比例函数的图象经过，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，直接根据反比例函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴由图象可得，当时，或． 故选：B． 题型四 求反比例函数表达式 1.（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)关于的函数解析式及定义域； (2)当时的函数值． 【答案】(1) (2)28 【知识点】正比例函数的定义、根据反比例函数的定义求参数、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握正比例函数、反比例函数的定义以及待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． （1）根据正比例与反比例的定义设，，得到与之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式进行计算即可． 【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例 设， 当时，；当时， 解得：， （2）解：由（1）可知，，则 当时，． 2.若反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． 利用待定系数法即可求出的值，可得答案． 【详解】解：将代入解析式中得， ， 即， 故答案为：． 3.写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数. (1)当圆锥的体积是150cm³时，它的高(cm)与底面积(cm²)的函数关系式； (2)功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系式； (3)某实验中学八(2)班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数与该班同学每天制作的数量之间的函数关系式； (4)某商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价1.2万元，首期付款4千元后，分次付清，每次付款相同. 每次的付款数(元)与付款次数的函数关系式. 【答案】解：(1)∵，∴，∴比例系数为450. (2)∵，∴，∴比例系数为. (3)∵，∴，∴比例系数为1000. (4)∵，∴，∴比例系数为8000. 4.如图，已知点，，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件反比例函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．先分别求得反比例函数图像分别过点A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可得出反比例函数的表达式． 【详解】解：当反比例函数图像过点，则， 当反比例函数图像过点，则， ∴的取值范围为， ∴可以取4， ∴符合条件反比例函数的表达式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 5.（25-26九年级上·云南怒江·期末）如图，直线与反比例函数（为常数，）交于，两点，与轴，轴分别交于两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，求反比例函数解析式． （1）将代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵点在反比例函数（为常数，）上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 题型一 反比例函数中求值问题 1.在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 2.已知反比例函数的图像经过点，则A关于坐标原点的对称点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数以及关于原点的对称等知识内容，先把代入算出，再结合关于原点的对称的点的坐标互为相反数，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴把代入， ∴， ∴， ∵A关于坐标原点的对称点， ∴点坐标为， 故答案为：． 3.已知函数是反比例函数，则的值是(    ) A. B. C.1 D.3 【答案】A 【解析】∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 4.已知函数是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，则此函数的表达式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质和定义，熟练掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义，指数需为，且系数需大于0以保证函数在每一象限内y随x的增大而减小． 【详解】解：由反比例函数的定义，得， 解得或， ∵图象在每一个象限内y随x的增大而减小， ∴， 当时，，满足条件， 当时， ，不满足条件， ∴， ∴函数的表达式为． 故答案为：． 题型二 反比例函数中参数取值范围问题 1.若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查反比例函数的图像与性质；先根据反比例函数的性质得出，再解不等式即可得出结果． 【详解】∵反比例函数 (为常数)的图象在第二、四象限， ∴， 解得． 故选：D． 2.反比例函数的图象，在每个象限内，的值随值的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的性质，当系数为正时，随的增大而减小，需满足，即，据此即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小， ∴，解得， 选项中只有A选项满足，而B、C、D选项的值均不小于1，不符合条件， 故选：A． 3.已知，两点在反比例函数的图象上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先根据反比例函数的增减性，判断其图象在二、四象限，得到不等式，再解不等式即可． 【详解】，， 反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得． 故选：D． 题型三 反比例函数的增减性 1.（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知点、均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据反比例函数的性质，比较点A和点B的纵坐标大小关系，通过解不等式得到m的取值范围． 【详解】解：∵点和在反比例函数上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 2.已知点，两点在反比例函数的图象上．则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则可能小于0也可能大于0 C．若，点，在同一象限，则 D．若，点，在不同象限，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握数形结合思想成为解题的关键．根据题意，判断和，该反比例函数的增减性，确定的取值范围，即可求解； 【详解】A、若，则随的增大而减小，不知道的值在哪个象限，无法判断，故A错误； B．若，点，两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，则可能小于0也可能大于0，故B正确； C．若，点，在同一象限，则随的增大而减小，所以，故C错误； D．若，点，在不同象限，则，故D错误； 故选：B 3.已知点，在反比例函数（，k为常数）的图象上，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，分和两种情况，根据反比例函数的图象和性质解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时， ∵，且， ∴当时，，则； 当时，，则， ∴，则， ∴； 当，反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时， ∵，且， ∴当时，，则， 当时，，则， ∴，则； ∴； 综上，， 故选：． 4.（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数． (1)若该反比例函数图象在每一个象限内，都随着的增大而减小，求的取值范围； (2)若点在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例的性质， 根据反比例函数得性质得，求解不等式即可； 将点A代入可求得，整体代入即可反比例函数解析式． 【详解】（1）解：∵该反比例函数图象在每一个象限内，都随着的增大而减小， ∴， 解得； （2）∵点在反比例函数图象上， ∴， 则， 故反比例函数解析式为． 题型四 比例系数k的几何意义 1.（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，结合两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和．则，据此即可作答． 【详解】解：∵轴于点，交于点，∴，， ∴． 故答案为：． 2.如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点分别在轴正半轴上，且轴，若的面积为，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了几何图形面积求反比例函数系数，理解图示，掌握反比例函数系数与图形面积的关系是关键． 根据题意，等高，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴等高， ∴，且点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点， ∴， 故答案为：4 ． 3.在平面直角坐标系中，点在双曲线上，轴于点，则的面积是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积的计算，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．根据反比例函数k的几何意义即可求解； 【详解】解：∵点在双曲线上，轴于点， ∴的面积是， 故选：B 题型五 反比例函数的实际应用 1.王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．正确求出反比例函数解析式是解题关键． 根据糖果的总数不变来列式． 【详解】解：由题意得：，即． 故答案为：． 2.我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第个月的利润为万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，与成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，与之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 3.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求和的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求取值范围 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质． （1）根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值； （2）先分别求出和3时的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ； 点的坐标为， 把代入， 解得； （2）解：当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 4.为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（mg）与燃烧时间（分钟）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时与的函数关系式； (2)求药物燃烧后与的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1）解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2）解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3）解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 题型六 一次函数与反比例函数综合问题 1.（23-24八年级下·全国·随堂练习）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象是（　　） A．①或④ B．②或③ C．①或③ D．②或④ 【答案】B 【分析】 此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，根据的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 【详解】 解：当时， 一次函数经过一、三、四象限， 函数的图象在一、二象限， 故选项②的图象符合要求． 当时， 一次函数经过一、二、四象限， 函数的图象经过三、四象限， 故选项③的图象符合要求． 故选：B． 2.如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，，则的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】 本题考查一次函数与反比例函数综合，先求出反比例函数表达式，进而求出点B的坐标，再根据利用函数图像与不等式的关系解不等式即可得到答案． 【详解】 解：一次函数与反比例函数的图像交于点，， ， ∴当时，， ，， 的解集是指一次函数图像在反比例函数图像上方部分对应的自变量的范围，即或， 故选：C． 3.某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段与成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，与的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，与的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，与的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 4.如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数相交可得：，代入代数式，根据完全平方公式变形，即可求解； 【详解】函数与的图象交于点 故答案为：． 5.如图，直线与双曲线交于点A和点B，已知点A的坐标是，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，关于原点对称的坐标特点，以及利用函数图象解不等式，根据一次函数图象和反比例反比例函数图象都是关于原点对称的，得出A和B关于原点对称，从而求出B点坐标，观察图象找出直线在双曲线的下方时的范围即可解答． 【详解】解∶∵一次函数图象和反比例函数图象都是关于原点对称的， ∴A和B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为， 由图象可得，当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是或， ∴不等式的解集是或， 故答案为∶ 或． 1．已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 2．已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，中心对称的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）把，代入，求出，再计算即可； （2）根据中心对称的点的坐标特征求解即可； （3）先确定，，进而确定点在第三象限，点在第一象限，最后根据象限内的点的坐标特征列不等式求解即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ； （2）∵，关于原点中心对称，且都在函数图象上 ∴，，， ∴ （3）∵，， ∴， ∵时，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点和点不在同一象限内， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，且， 解得：． 3.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，包括利用待定系数法求函数解析式以及坐标系中三角形面积的求解；解题的关键是利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质，通过已知交点坐标求出未知参数． （1）先将点代入反比例函数解析式求出系数，得到反比例函数；再将点的横坐标代入反比例函数求出其纵坐标；最后将两点坐标代入一次函数解析式，解方程组求出和． （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象相交于两点， ， 将坐标代入一次函数得： ， 解得：， 故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）设直线与轴的交点为，如图， ， ， ， ， ． 4.已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，中的符号对图象位置和增减性的影响． （1）根据反比例函数图象位于第二、四象限时，列不等式求解； （2）根据时随增大而减小，可知，列不等式求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， 则比例系数， 解不等式得， 即； （2）解：当时，随值的增大而减小， 则比例系数， 解不等式得， 即． 5.如图，平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转，求得点坐标是解题的关键．由点，的坐标得出，，，利用旋转的性质得，，轴，则，然后把点坐标代入中可计算出的值． 【详解】 解：点，的坐标分别为，， ，，， 将绕点顺时针旋转得到， ，，轴， ， 点恰好落在反比例函数的图象上， ． 故选：C． 6.（23-24九年级上·河南三门峡·期末）如图，直线与双曲线相交于点，则不等式的解集是 ． 【答案】或/或 【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合，写出直线在双曲线上方部分的的取值范围即可． 【详解】 点在直线， ， 解得． 则， 将其代入双曲线得到：， 双曲线的解析式为：， 解得或， 直线与双曲线的另一交点坐标是， 不等式的解集是或． 故答案为：或． 7.如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为4，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为4，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（    ） A．10 B． C． D．15 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，点的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， 点， ∴， 依题意由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．且结合图象： 由图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， 又，，且 即， ， ，，且 ∴ ， 依题意， ， 故选：B． 8.如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数的图像上的两个交点．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与y轴的交点C的坐标及的面积． 【答案】(1)，； (2)6； 【分析】（1）将点代入两个解析式中求出待定系数即可得到答案； （2）求出直线与坐标轴的交点，根据求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将将点、代入，点代入得， ，， 解得：，， ∴，； （2）解：当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴；    9.（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线与双曲线相交于点，．    (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可； 由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出则的面积 数形结合求出x的范围即可. 【详解】（1）将代入双曲线， ∴, ∴双曲线的解析式为， 将点代入， ∴, ∴, 将代入, ， 解得， ∴直线解析式为； （2）∵直线向下平移至,    ∴, 设直线的解析式为将点代入 ∴解得 ∴直线的解析式为 ∴ 过点作交于, 设直线与轴的交点为，与轴的交点为, ∴, ∵, ∴, ∵, ， ， ∵， ， ， ∴的面积 （3）由图可知或时, 10.如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点B，与轴交于点． (1)求的值； (2)点D是的图像上一点，且，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）先把点代入一次函数，求得，再将点代入一次函数，得到，将代入反比例函数，即可求出的值； （2）利用，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与y轴交于点， ∴， ∵一次函数的图像过点， ∴，解得， ∴， ∵反比例函数的图像过点， ∴． （2）解：由（1）知，，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵点D是的图像上一点， ∴当时，；当时，， ∴或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $