考点03 余弦定理、正弦定理的应用（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

考点03 余弦定理、正弦定理的应用 考点一：测量中的常用角 名称 定义 示例 方位角 从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 点A的方位角为225° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 点A的方向角为南偏西45°（或称西南方向） 考点二：常见问题的测量方案 1、距离问题 类型 简图 测量 两点A，B均可达 先选定适当的位置C，用测角器测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即 两点A，B可视，但有一点不可达 在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出，，那么在△ABC中，已知两角及一边，运用正弦定理就可以求出AB 两点A，B可视，均不可达 测量者可以在河岸选定两点C，D，测得，同时在C，D两点分别测得，，，．在和中，由正弦定理计算出AC和BC后，再在中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离 2、高度问题 类型 简图 测量方案 底部可达 测得，， 底部不可达 点B与C，D共线 测得及C与的度数 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值． 点B与C，D不共线 测得及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数． 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 题型一：距离问题 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是 (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形． (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解． 距离问题易忽略边角对应关系，误将非对应边、角代入公式；混淆正弦、余弦定理适用条件，如已知两边及对角误用余弦定理；未注意角度范围，或忽略三角形存在性（如两边之和小于第三边），导致计算偏差。 1．如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 2．猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动时，需要测量某河流同侧的，两点之间的距离，该班学生在这条河流另一侧的点处测得点在点的北偏东30°方向上，点在点的北偏东60°方向上，从点出发，沿正东方向走2千米，到达点，在点处测得点在点的北偏西15°方向上，点在点的北偏东15°方向上，则，两点之间的距离（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 4．一艘渔船在海上由南向北航行（航线视为一条直线），当船航行到点A时，测得远处一座灯塔T在其北偏东45°的方向上．渔船继续向北航行10km到达点B，此时测得灯塔T在其北偏东75°的方向上，则此时渔船与灯塔T的距离为（    ） A．km B．km C．km D．km 5．位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 题型二：高度问题 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路． 解三角形高度问题易误将视线角与地面角混淆，错用仰角 / 俯角计算；忽略基线长度与高度的垂直关系，未构造直角三角形；对多观测点问题，遗漏三角形边角关系，导致基线或角度选取错误，高度计算失真。 1．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 2．圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据六安市（北纬32°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知六安市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（    ）（已知，） A．3.26米 B．4.73米 C．5.37米 D．6.31米 3．如图，在倾斜角为的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆，当太阳光线的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长度是，则旗杆的高为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为，则（   ）    A． B． C． D． 5．渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（    ）    A．34m B．35m C．36m D．37m 题型三：角度问题 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 解三角形角度问题易混淆内角与外角，误将外角代入定理；忽略三角形内角和为 180°，或未考虑多解情况（如正弦定理的两解）；角度单位混用（度与弧度），计算错误；忽视大边对大角，导致角度取舍失误。 1．某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则__________． 2．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的______________方向用方向角作答 3．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东，距离为海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东，则A与D间的距离为________海里． 4．如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为________.（塔顶大小和游客身高忽略不计） 5．如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为_____________米． 题型四：物理问题 物理中很多矢量如速度、力等的计算大多可以归为解三角形．解决此类问题的办法是结合物理知识把涉及的量用图形表示出来，转化为解三角形的问题． 解三角形物理问题易混淆物理量与几何角，误将位移、力的矢量角当作三角形内角；忽略矢量分解的平行四边形法则，错用边角关系；未结合物理情境验证结果，仅追求数学计算，导致与实际物理规律相悖。 1．若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为120°，则的大小为（    ） A．1 B． C． D．3 2．如图，一条东西走向且两岸平行的河流宽，水流速度为向东，河南岸的A码头与河北岸的B码头的连线恰好与河的方向垂直，C码头在B码头的正东方向，且，D码头在A码头的正东方向，且，某小船从A码头顺流而下，到达D码头接了客人后前往C码头，当所用时间最少时，小船实际航行的速度为，则小船在静水中航行的速度大小为（   ） A． B． C． D． 3．在一个很大的湖边（可视湖岸为直线）停着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成角，速度为，同时岸上一人从同一地点开始追小船，已知他在岸上跑的速度为，在水中游的速度为，问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小船能被追上的最大速度是多少？ 4．海宁一中物理兴趣小组在课外研究三力平衡问题：即三个力的合力为零.已知，，三力平衡，且夹角如图所示. (1)若，，，求的大小； (2)证明：. 5．作用于同一点的三个力，，平衡．已知，，与之间的夹角是，求的大小与方向（精确到）． 题型五：三角形边长、面积、周长最值与范围问题 解决三角形边长、面积、周长最值与范围问题，核心围绕边角关系与函数思想。优先用正弦定理将边转化为角，结合三角函数有界性求范围；余弦定理结合基本不等式，推导边长、周长的最值及面积的最大值。对直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，可直接用几何性质简化计算。同时结合三角形三边关系、内角和定理限制变量范围，最终通过代数运算或几何直观确定最值与范围。 解决三角形边长、面积、周长最值与范围问题，易忽略三角形三边关系与内角范围，误用基本不等式忽略等号成立条件；混淆正弦定理边角转化，忽视角的限制；面积公式用错；特殊三角形条件未严格验证，易导致范围扩大或最值错误。 1．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 3．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 4．中，. (1)求A； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求面积的最大值. 5．已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 题型六：三角形中的图形类问题 解决三角形中的图形类问题，核心是整合几何性质与边角关系。优先利用四心（重心、外心、内心、垂心）、中线、角平分线等性质，结合角平分线定理、中线长公式简化计算。通过相似三角形判定与性质、中位线定理建立边长比例关系，关联面积比与相似比。 三角形图形类问题易混淆四心性质，误用比例关系；相似判定条件遗漏，构造错误；折叠忽略全等关系；中线、角平分线公式记错；内切、外接圆公式混淆；忽视三边关系与内角范围，导致结果错误。 1．记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求. 2．如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 3．如图，已知的面积为． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)记的面积为，若，求的值． 4．如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 5．已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)若，求的面积. 1．已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（   ） A．直角非等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 2．已知中，，，则面积的最大值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 3．在中，在边上，平分，若，，且，则______． 4．若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则两点的距离为___________m 5．在中，，为中点，，则面积的最大值为______ 6．在钝角三角形中，，且是最大角，则t的取值范围为_____． 7．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达D处，又测得山顶的仰角为，则山的高度为____________m（注：） 8．如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为．已知铁塔部分的高为h，则山高____________． 9．为改善居民生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心处，为居民小区，的距离为米，按照设计要求，以居民小区和圆弧上点作线段向半圆外作等腰直角三角形为直角顶点），使改造后的公园成四边形，如图所示，当取得最大值时，________． 10．设的内角，，所对的边分别为，，，记其面积为、周长为，，，则的最大值为______． 11．在中，已知，则的形状为________． 12．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距的C，D两点，并测得，，，（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离（注：，）． 13．如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向北偏东角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，． (1)求大学与站的距离； (2)求铁路段的长度． 14．如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 15．在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 16．如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段和四分之一圆弧构成，为一海岛，在的正北方向，且、相距千米，在的北偏西方向，在的北偏东方向，在的南偏东方向． (1)若沿修建观光道，计算该观光道的长度(精确到千米)； (2)现规划在该海岸线上选取一处，修建从直通的公路桥．已知、相距千米，求公路桥的最短长度(精确到千米)． 17．如图，在平面四边形中，已知，，． (1)求的面积； (2)若，且，求的长． 18．某人在M汽车站的北偏西方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M汽车站行驶．公路的走向是M汽车站的北偏东．开始时，汽车到A处的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A处的距离缩短了10千米．问：汽车还需行驶多远才能到达M汽车站？（注：） 19．在四边形中，，，四个角A，B，C，D的度数的比为，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点03余弦定理、正弦定理的应用 方位角 测量中的常用角 方向角 余弦定理、正 弦定理的应用 距离问题 常见问题的测量方案 高度问题 图考点壶缺 精淮补渴 考点一：测量中的常用角 名称 定义 示例 北 从指北方向线顺时针 方位角 转到目标方向线的角 点A的方位角为225° 正北或正南方向线与 尊 方向角 目标方向线所成的锐 点A的方向角为南偏西45°（或称西南方 角 向) 考点二：常见问题的测量方案 1、距离问题 类型 简图 测量 先选定适当的位置C,用测角器测出 两点A,B均可 角a,再分别测出AC,BC的长 达 b,a,则可求出A,B两点间的距离， 即AB=Va2+b2-2 abcosa 1/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在A所在的岸边选定一点C,可以测 两点A,B可 出AC的距离m,再借助仪器，测出 视，但有一点不 ∠ACB=a,∠CAB=B,那么在△ABC 可达 中，己知两角及一边，运用正弦定理 就可以求出AB 测量者可以在河岸选定两点C,D,测 得CD=a,同时在C,D两点分别测得 ∠BCA=a,∠ACD=B,∠CDB=Y, 两点A,B可 视，均不可达 ∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中，由正 B 弦定理计算出AC和BC后，再在 △ABC中，应用余弦定理计算出A,B 两点间的距离 2、高度问题 类型 简图 测量方案 底部可达 测得BC=a,∠BCA=a,AB=atana a B 点B与 测得CD=a及C与∠ADB的度数 C,D共 --- 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角 线 a司B 底部不 三角形得AB的值， 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的 可达 点B与 度数. C,D不 在△BCD中由正弦定理求得BC,再解直 共线 角三角形得AB的值 2/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型突破通法接湖 题型一：距离问题 点方法 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基 本方法是 (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形. (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的己知和未知的边和角，利用正、余弦定 理求解， 科易猪 距离问题易忽略边角对应关系，误将非对应边、角代入公式；混淆正弦、余弦定理适用条 件，如已知两边及对角误用余弦定理；未注意角度范围，或忽略三角形存在性（如两边之 和小于第三边)，导致计算偏差。 1.如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的 4,B两点到C点的距离分别为AC=5km,BC=8km,且os∠4CB-,则隧道的长度为(） A.3v3km B.2√6km C.4v3km D.√29km 【答案】D 3 【解析】由余弦定理可知，AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=25+64-2×5x8 3=29,则隧道AB 的长度为√29km. 故选：D. 2.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江 发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉.如图，计划在猫儿山的两个 山顶M,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点A,B,C,在A 3/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 处测得山顶M,N的仰角分别为60°和30°，测得两个山顶的高分别为MC=500N3m,NB=250W2m,且测得 ∠MAN=45°，则M,N间的距离为() A.500m B.250W6m C.500v3m D.500W2m 【答案】D 【解析】由题意，可得∠MAC=60°，∠NAB=30°，MC=500W3m,NB=250V2m,∠MAW=45°， 且∠MCA=∠B1=9g在RACW中，可得AM-C=1O0m. sin60° 在R△ABN中，可得AN=N =500W2m, sin30° 在△AMN中，由余弦定理得： MN2=AM2+AW2-2AM·ANcos∠MAW=500 2+-2x2x2×5 =500000 所以MN=500√2m. 故选：D. 3.某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动时，需要测量某河流同侧的A,B两点之间的距离， 该班学生在这条河流另一侧的点C处测得点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的北偏东60°方 向上，从点C出发，沿正东方向走2千米，到达点D,在点D处测得点A在点D的北偏西15°方向上， 点B在点D的北偏东15°方向上，则A,B两点之间的距离AB=() A.V2千米 B.√5千米 C.V6千米 D.2W2千米 【答案】A 【解析】如图，由题意可得∠ACD=60°，∠CAD=45°，∠BCD=30°，∠CBD=45°，∠ADB=30°， CD=2千米 CD AD 国CD中，国弦定理可得CAD SACD则DCDn∠MCD6米 sin∠CAD 在△BCD中，由正弦定理可得、CD BD sin∠CBDsin.∠BcD' 则BD-CDsn<BCD-点千米 sin∠CBD 在△ABD中，由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=2,则AB=√2千米， 故选：A 4/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 西C 东 南 4.一艘渔船在海上由南向北航行（航线视为一条直线），当船航行到点A时，测得远处一座灯塔T在其 北偏东45°的方向上.渔船继续向北航行10km到达点B,此时测得灯塔T在其北偏东75°的方向上，则 此时渔船与灯塔T的距离为() A.10v2 km B.10v3 km C.5√2km D.5v3km 【答案】A 【解析】由题意可得示意图，则∠BAT=45,∠ABT=105, 所以∠ATB=30, AB BT 由正弦定理可得 Sin30°-sm。,故BT=A5S1n45=10√2(）. sin30° km 故选：A B 5. 位于P处的雷达接收到在其正东方向相距20√2海里的B处的一艘渔船遇险后抛错的营救信号后，即刻 通知位于P处雷达北偏东4且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海 里数为() A.155 B.10W5 C.10W3 D.102 【答案】B 【解析】题意如图， M 北 30 人4 20√2 B 5/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当甲船沿MB航行时，航行的里数最少. 由题意，∠BPM=子在ABPM中，根据余弦定理可得： Mi=PM2+PB2-2PW.PBcos∠BPM=302+20N万°-2x30x202xeos4 =900+800-1200=500, 所以MB=10N5 即甲船至少需要航行的海里数为10、√5 故选：B. 题型二：高度问题 点方法 测量高度问题的解题策略 (1)空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求 线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题 (2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题 思路 舞易储 解三角形高度问题易误将视线角与地面角混淆，错用仰角/俯角计算；忽略基线长度与高 度的垂直关系，未构造直角三角形：对多观测点问题，遗漏三角形边角关系，导致基线或 角度选取错误，高度计算失真 1.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处时测得公路北侧一铁塔底部C在西偏北30° 的方向上，行驶200m后到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75°的方向上，塔顶D的仰角为30°，则此 铁塔的高度为() A. 100W6 3 B.50/6m C.1003m 100√2m 6/45 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【解析】设此铁塔高h(m),根据题意，可得∠CAB=30°，∠CBA=105°，∠DBC=30°， 在直角△BCD中，可得BC=CD =V3h tan30° 在△ABC中，由∠BAC=30°，∠CBA=105°，AB=200,可得∠BCA=45°， 服孩定我，可形0-架架得=四5 3 故选：A 2.圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一 根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正 午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一 天定为夏至.如图是根据六安市（北纬32°）的地理位置设计的圭表的示意图，己知六安市冬至正午太阳 高度角（即∠ABC)约为34.57°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC)约为81.43°，圭面上冬至线和夏至线 之间的距离（即BD的长）为7米，则表高（即4C的长）约为(）（已知an34.57° 16 tan81.43°≈53 ) 夏至正午阳光 冬至正午阳光 圭面 D B 夏至线 圭 冬至线 A.3.26米 B.4.73米 C.5.37米 D.6.31米 【答案】C CD=、AC ≈h_8 【解析】设表高 ,在 中， tan81.43°5353， AC=h RtACD ∠ADC=81.43° 8 CB=AC、h_16 在 中， tan34.57°1111， RtaACB ∠ABC=34.57° 16 已知冬至线和夏至线之何的距离0：CB-CD=2米，所以3=7，解符78 583≈5.37， 760 因此，表高AC约为5.37米， 7/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 3.如图，在倾斜角为15°的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆BC,当太阳光线的仰角是45°时，旗杆在 山坡上的影子的长度是10m,则旗杆BC的高为() 太阳光线 B 159 A.5m B.6m C.5v2m D.5v3m 【答案】C 【解析】如图 太阳光线 C B D ∠BAD=15°，∠CAD=45°，则∠CAB=30°，∠ACD=45°，AB=10米， BC AB 由正弦定理 sin∠CAB sin∠ACD BC 10 即 in30°sin45o' 解得BC=5v2 故选：C 4.如图，公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点 A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为 8,则tan6=() 楼 公路 A B 8/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.分 C.3 7 77 D.② 4 【答案】C 【解析】由O为楼脚，OP长为楼高，则OP=60,易得OA=60,OB=60√3. 由OA=AB2+OB2-2AB.OB cos∠AB0,OC2=BC2+OB2-2BC·OB cos∠OBC, 又AB=BC=80,cos∠AB0+cos∠OBC=0,两式相加得OAP+OC2=2AB2+OB), 0c_3080.则0C-20N/万·放an0-8C,0-3历 所以。。 0C20W7777 故选：C 5.渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母 子雕像的高度AB(雕像的底端视为点B,雕像的顶端视为点A),在地面选取了两点C,D(其中 A,B,C,D四点在同一个铅垂平面内)，在点C处测得点A的仰角为30°，在点D处测得点A,B的仰角分 别为60,15°，测得CD=18(V3+1)m,则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为() D A.34m B.35m C.36m D.37m 【答案】C 【解析】如图，设直线CD与AB交于点E,则AE⊥CE, D C 由题意得CE AE tan30° =J3AE,DE=AE_3 tan60°3 E, 又CD=18(3+1),且CE-DE=CD, 代入解得AE=93+√3)，从而DE=9(3+1), 进而B5=DE,an15°=D6,an60°-459=DE.5号-9N5-), 1+5 则雕像高AB=AE-BE=36米，故C正确， 9/45 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 题型三：角度问题 点方法 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中 标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际 问题的解， 耕易结 解三角形角度问题易混淆内角与外角，误将外角代入定理；忽略三角形内角和为180°， 或未考虑多解情况（如正弦定理的两解）；角度单位混用（度与弧度），计算错误；忽视 大边对大角，导致角度取舍失误。 1.某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为A,B,某时刻它们 在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一 根杆子的影子完全在斜面上，长度为V5米，斜面的底角为0，则tan6= 【答案】20.5 【解析】如图，AD、BG分别为杆，CD、EG为平行的阳光，AC、BF分别为杆的影子， 设图光与水平面所成角为。则ana= =2, AC ∠ADC=∠BGF= 2-C,∠BFG=∠AFE=a-9' BG 在。BFG中，由正弦定理可得 BF sin∠BGF sin∠BFG 5 3 即sm π 2 sin(a-0), 10/45