6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例（题型专练）数学人教A版必修第二册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例 题型一：距离测量问题 题型二：求三角形中的边长 或周长的最值或范围 基础达标题 题型三：求三角形面积的最 值或范围 6.4.3第3课 题型四：高度测量问题 时余弦定 题型一：正、余弦定理判定 三角形形状 理、正弦定 能力提升题 题型二：三角形面积公式及 理应用举例 其应用 题型三：几何图形中的计算 拓展培优题 基础达标题 题型一：距离测量问题 1.(25-26高三上河南南阳·期中)某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量 活动时，需要测量某河流同侧的A,B两点之间的距离，该班学生在这条河流另 一侧的点C处测得点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的北偏东60方向 上，从点C出发，沿正东方向走2千米，到达点D,在点D处测得点A在点D的 北偏西15°方向上，点B在点D的北偏东15方向上，则A,B两点之间的距离 AB=() A.2千米B.3千米 C.√6千米 D.22千米 2.(25-26高三上·广西南宁·月考)猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、 广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保 护区，生物多样性丰富，有华南之巅的美誉.如图，计划在猫儿山的两个山顶 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离，工作人员在同一水平面选取三个 观测点A,B,C,在A处测得山顶M,N的仰角分别为60和30，测得两个山顶的高 分别为MC=5003m,wB=2502m,且测得∠MAN=45°，则M,N间的距离为() A.500m B.250√6m C.500V3m D.500√2m 3.(25-26高二上·湖南衡阳·月考)如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道， 需要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别 为AC=5km,BC=8km,且cos∠AcB=,则隧道的长度为(） A.33km B.2√6km C.43km D.√29km 4.(25-26高三上·福建·月考)如图，某施工队将从A到B修建一条隧道，为确定 A、B之间的距离，测得了以下数据：AD=CD=2√2，AD⊥CD,BC=3, ∠BCD=105°，则A、B间的距离为() A.3 B.25 C.3 D.32 题型二：求三角形中的边长或周长的最值或范围 1.（25-26高三上广东惠州·期末)在ABC中，记内角A,B,C所对的边分别 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为a,b,←，已知48c的面积为2,8，C0引，且 sin(2025π-A+cos2B+cos2C=2,则b+c的最小值为() A.2 B.4 C.6 D.8 2.(25-26高三上河北·期末)在ABC中，AB=4,BC2-AC2=16-4√5AC,D为AC 边上的动点，若AC边足够长，则AD+2BD的最小值为() A.210 B.3√ C.45 D.22+2√5 3.(25-26高三上·江西鹰潭·月考)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为Q ’b,G,已知c=4,。3cosC,则 则a+b范围为() A.(45,8] B.(4,43 C.(4,8] D.(25,4 4.(25-26高三上河北邢台期中)在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边 分别为a,b,C,且c=a-2 ccosB,则4的取值范围为() A.1,2) B.(2,3) C.(4,3) D.(2,4) 题型三：求三角形面积的最值或范围 1.（24-25高一下·江西·期中)如图，在四边形0ABC中，0A=0C=1, ∠AOC=120°，∠ABC=60°，则ABC的面积的最大值为() B A.3V5 B.3V3 C.25 D.5 4 2 2.(24-25高一下四川成都期中)ABC中，si血∠4BC-5 点D在线段AC上， 3 且AD=3DC,BD=3,则ABC面积最大值为() A.42 B.62 C.65 D.45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26高三上·安徽六安·月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已 知sm2A+sin(4-B+9=nC-A-B)+分，且ac的取值范围是l6,则△1BC面 积的取值范围是() A.1,2] B.[1,8] C.[2,4] D.[4,8] 4.(25-26高三上·江苏·月考)已知0为锐角ABC的外心，角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且CO.AB=BO.CA,a=1,则ABC面积的取值范围为() B 3V3 33 2V3 6’4 6’2 4,2 题型四：高度测量问题 1.(25-26高三上·甘肃·月考)小河的对岸有一棵树，设树底为0，树顶为C.如 图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取A,B两点，使得A,B,O在同一水 平面上，且A,B,O三点共线，AB=25V3-1)米.若在A处测得树顶C的仰角为45 ，在B处测得树顶C的仰角为60°，则这棵树的高度C0=() B A.40W5米 B.35√5米 C.303米 D.25√5米 2.(2025·山东聊城·模拟预测)山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景” 为主题，通过融合地域特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴诗人 李白的日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山东众多闻名山水之一的泰山. 如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB(单位：米)，在地面上选择一 个观测点P，在附近的M山峰顶端选择另一个测量点C,在P处测得C处的仰角 为30，测得主峰玉皇顶最高点A的仰角为45，M山峰的高度CD为772.5米，且 在C处测得点A的仰角为15°，点B,P,D在同一水平面的一条直线上，则玉皇 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 顶的高度AB为() ◇ A.1030米 B.1545米 C.1545√2米 D.10302米 3.(25-26高三上·江西·月考)为了测量某古塔（点A为塔顶，点B为A在地平面 上的射影)的高度，小张遥控无人机从地平面垂直向上飞行10米后，无人机悬 停在古塔外面的C处进行拍摄，拍到观测塔顶A的仰角为60，然后小张遥控无 人机朝着水平方向（即垂直于直线AB的方向）沿直线飞行6米到达D处，且D距 离A比C距离A更远(A,B,C,D四点共面)，最后小张遥控无人机沿着直线朝着塔 顶A飞了14米恰好到达塔顶A.若将无人机视为质点，则该古塔的高度约为() A.16.6米 B.17.3米 C.18.7米 D.19.2米 4.(25-26高三上·山东青岛·期中)如图所示，为测量一棵树HP的高度，在地面 上选取A,B两点(A,B,H三点共线)，从A,B两点分别测得树尖P的仰角 为30°，45°，且A,B两点之间的距离为30m,则树的高度为() H B A.15m B.30√5m C.(15+155)mD.(305-1s)m 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一：正、余弦定理判定三角形形状 1.(25-26高二上·天津南开，月考)ABC中，“a cos A=bcos B是ABC是以∠C为 的直角三角形的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2025高三上广东广州·专题练习)假设三角形三边长为连续的三个正整数， 且该三角形的一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三边长为()》 A.4,5,6 B.5,6,7 C.5,6,7以外，还有其它情况D.前面三个答案都不对 3.(25-26高三上·北京顺义·期中)在ABC中的角A,B,C的对应边分别为a,b,c, 且bcosC+ccosB=b,则三角形ABC的形状为() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.直角或等腰三角形 4.(25-26高三上河北邢台·月考)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,若cos2A+sin2B-cos2C-√5 sin BsinC=0,sinB+cosC=V3,则 ABC的形状为() A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 题型二：三角形面积公式及其应用 1.(24-25高一下·四川成都·期末)设ABC的面积为S,角A、B、C所对的边分 别为a、b、c,且b2=a2+c2-ac,若AC.AB=2V3S,则此三角形的形状为() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 2.(2025·云南昭通·模拟预测)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,C ，△ABC的面积为5，角A的平分线交边BC于D,且BD=2DC,则a ，As2n 为() A.14 B.10 C.√2 D.1 3.(24-25高一下·重庆万州·期中)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a ,b,C,S为△ABC的面积，且3S=a2-6-c,则2的取值范围为() B.(石+ 4.(2025高三·全国·专题练习)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,M是 BC的中点，BM=2,AM=c-b,则ABC面积的最大值为() A.5 B.2W5 C.3 D.35 题型三：几何图形中的计算 1.(24-25高一下·吉林松原·期末)在ABC中，已知B=45°，D是BC边上一点， 如图，∠BAD=75°，DC=1,AC=√5，则AB=() D A.5 2 B.√5 C.6 D.6 2025甘肃武威：模拟预测)在4BC中，∠BAC,AD是∠BAC的平) BD=2CD,AB=3,则sin∠ABC=() A.27 B.21 C.3 D.6 14 7 4 3.(25-26高二上·广东江门·月考)如图，在扇形0P9中，半径0P=1,圆心角 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠P0Q-骨，C是弧PQ上的动点，矩形ABCD内接于扇形，下列说法正确的是〈） A BP A.当LPOC=无时，矩形ABCD为正方形 6 B.当∠P0C=a时，AB=cosa-√5sina C.△0BC面积的最大值为} D.矩形ABCD面积的最大值为 6 4.（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中)圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑， 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂 的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高约为36m,在它们之间 的地面上的点M(B,M，D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分 别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣·索菲亚 教堂的高度CD约为() 151 ◇ 60入45 D M B A.45m B.47m C.50m D.54m 拓展培优题 1.(24-25高二下.北京昌平.期末)在ABC中，若c0s2A+c0s2B-c0s2C>1,则 ABC的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 C.钝角三角形 D.不能确定 2.(24-25高一下·北京海淀·月考)线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上 (点C靠近B点)，且满足AC=BC·AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.在 ABC中，AB=AC,A=36°，若角B的平分线交边AC于点D,则点D为边AC 的黄金分割点.利用上述结论，可以求出cos36=() A.5-1 B.5+1 c.5-1 D.5+1 4 4 2 2 3.(24-25高一下.重庆·月考)在ABC中，tanA,tanB是一元二次方程 2x2-8x+5=0的两个根，那么ABC是() A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断 4.(25-26高三上山东·月考)在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，若 a=2bcos(2026π+C),则此三角形一定是() A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例 （答案版） 题型一：距离测量问题 1.A 2．D 3．D 4.C 题型二：求三角形中的边长或周长的最值或范围 1.B 2．C 3.C 4.A 题型三：求三角形面积的最值或范围 1.A 2．B 3.A 4.A 题型四：高度测量问题 1.D 2．B 3.C 4.C 题型一：正、余弦定理判定三角形形状 1.B 2．A 3．A 4.C 题型二：三角形面积公式及其应用 1.B 2．A 3．C 4.B 题型三：几何图形中的计算 1.C 2．A 3．C 4. D 1.C 2．B 3．A 4.C 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例 题型一：距离测量问题 1.（25-26高三上·河南南阳·期中）某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动时，需要测量某河流同侧的，两点之间的距离，该班学生在这条河流另一侧的点处测得点在点的北偏东30°方向上，点在点的北偏东60°方向上，从点出发，沿正东方向走2千米，到达点，在点处测得点在点的北偏西15°方向上，点在点的北偏东15°方向上，则，两点之间的距离（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】在中，由余弦定理求解. 【详解】如图，由题意可得，，，，，千米. 在中，由正弦定理可得，则千米. 在中，由正弦定理可得，则千米. 在中，由余弦定理可得，则千米. 故选：A. 2.（25-26高三上·广西南宁·月考）猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可. 【详解】由题意，可得， 且，在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得： 所以． 故选：D． 3.（25-26高二上·湖南衡阳·月考）如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】由余弦定理计算可得结果. 【详解】由余弦定理可知，，则隧道的长度为km. 故选：D. 4.（25-26高三上·福建·月考）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】连接，求出，，即可求出，再由余弦定理计算可得. 【详解】连接，因为，，所以为等腰直角三角形， 所以，， 又，所以， 又，在中由余弦定理， 即. 故选：C 题型二：求三角形中的边长或周长的最值或范围 1.（25-26高三上·广东惠州·期末）在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】利用诱导公式和同角基本关系式化简条件得，再由正弦定理得，若，利用余弦定理结合已知判断矛盾，所以，即可得解. 【详解】由得， 由正弦定理（为外接圆半径）得，， 因为，所以， 若，由余弦定理得，，所以为锐角， 则，即，由于，，则， 所以，矛盾. 故，即，所以，即， 又因为，，所以（当且仅当时取“＝”号）， 所以的最小值为4. 故选：B. 2.（25-26高三上·河北·期末）在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、几何图形中的计算 【分析】先由题设结合余弦定理求出，接着将所求进行转化得到，再构造，过作，垂足为，过作，垂足为，数形结合即可分析求解. 【详解】因为，所以， 则， 由余弦定理，， 又，所以， 则. 如图，设，过作，垂足为，则， 过作，垂足为， 则. 故选：C 3.（25-26高三上·江西鹰潭·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】利用正弦定理对已知式化简变形可求得，再利用正弦定理表示出，，从而可得，求出的取范围，可求得范围． 【详解】因为 所以由正弦定理得，， 所以， 因为，所以． 因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，． 故． 故选：C． 4.（25-26高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求cosx(型)函数的值域、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】由已知及正弦定理、三角恒等变换得，再根据三角形内角性质得到、，进而有，最后由正弦定理、诱导公式、三角恒等变换化简，结合余弦函数的性质求范围. 【详解】由已知及正弦定理，得， 因为，所以， 所以， 因为，，所以， 所以，故，则， 因为是锐角三角形，所以，解得，所以， 由正弦定理，得 ， 因为，所以． 故选：A 题型三：求三角形面积的最值或范围 1.（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】连接， 在中，，， 由余弦定理可得， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 即面积的最大值为. 故选：A. 2.（24-25高一下·四川成都·期中）中，，点在线段上，且，则面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求三角形面积的最值或范围、基本不等式求积的最大值、已知数量积求模 【分析】利用二倍角的余弦公式先求，进而得，由得，又，最后利用均值不等式和三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 又，所以， 所以， 所以 ， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B. 3.（25-26高三上·安徽六安·月考）在中，角的对边分别为，已知，且的取值范围是，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围 【分析】由条件可得，然后由三角函数和差化积公式可得， 然后可得，然后结合三角形的正弦定理和面积公式可得答案. 【详解】的内角，，满足， ， ， ， ， 化为， ． 设外接圆的半径为， 由正弦定理可得：， 由可得：， 则，即，则 由，及正弦定理得， 即， 面积满足， 故选：A 4.（25-26高三上·江苏·月考）已知为锐角的外心，角的对边分别为，且，，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】利用向量的运算法则和数量积的几何意义可得，结合余弦定理计算求得的取值范围，最后由三角形的面积公式可求得结果. 【详解】如图，分别作的中点，连接，由题， 因为，所以， 即，则， 因为，所以，即； 因为为锐角三角形，即，所以； 所以，即，解得，所以； ，即，解得， 所以，所以，所以， 所以面积， 又，所以； 所以由得. 故选：A. 题型四：高度测量问题 1.（25-26高三上·甘肃·月考）小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】高度测量问题 【分析】先根据正弦定理求出的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果. 【详解】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 2.（2025·山东聊城·模拟预测）山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景”为主题，通过融合地域特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴.诗人李白的“日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山东众多闻名山水之一的泰山.如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（   ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】根据题意，得到，在直角中，求得米，在中，由正弦定理求得米，再在直角中，结合，即可求解. 【详解】由题意知，， 在直角中，，，可得米， 在中，由正弦定理，可得米， 在直角中，可得米. 故选：B. 3.（25-26高三上·江西·月考）为了测量某古塔（点为塔顶，点为在地平面上的射影）的高度，小张遥控无人机从地平面垂直向上飞行10米后，无人机悬停在古塔外面的处进行拍摄，拍到观测塔顶的仰角为，然后小张遥控无人机朝着水平方向（即垂直于直线的方向）沿直线飞行6米到达处，且距离比距离更远（四点共面），最后小张遥控无人机沿着直线朝着塔顶飞了14米恰好到达塔顶.若将无人机视为质点，则该古塔的高度约为（    ）    A．16.6米 B．17.3米 C．18.7米 D．19.2米 【答案】C 【知识点】高度测量问题 【分析】通过设未知数，利用三角函数关系和勾股定理建立方程，进而求解古塔的高度. 【详解】    设在地面的射影为，作，根据题意易知, 设， 在中，， 根据锐角三角函数：，则. 在中，， 根据勾股定理，则有， 化简得，解得或（舍去）. 所以，所以古塔高度约为米. 故选：C. 4.（25-26高三上·山东青岛·期中）如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】高度测量问题 【分析】根据图形和角边关系求出结果即可. 【详解】设树的高度为，由已知，得， 在中，. 化简得，解得. 所以树的高度为m. 故选：C. 题型一：正、余弦定理判定三角形形状 1.（25-26高二上·天津南开·月考）中，“”是“是以为的直角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据给定条件，利用余弦定理确定三角形形状，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即，则或， 因此是以为顶角的等腰三角形或以为直角的直角三角形， 所以“”是“是以为的直角三角形”的必要不充分条件. 故选：B 2.（2025高三上·广东广州·专题练习）假设三角形三边长为连续的三个正整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三边长为（    ） A．4，5，6 B．5，6，7 C．5，6，7以外，还有其它情况 D．前面三个答案都不对 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据题意，结合正余弦定理，得出，尝试代数即可得出答案. 【详解】在中，不妨设，角，，所对的边分别为，，， 则，即，得， 整理得， 由题意知，可得，则. 而三角形三边长为连续的三个正整数，结合题意可知， 若，则，，此时，或，，此时，不满足三角形的定义； 所以，若，则，与为整数矛盾， c不可能为1，因此，，代入解得，因此该三角形的三边长为，，. 故选：A 3.（25-26高三上·北京顺义·期中）在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】A 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】将式子中的余弦转化为边的表达式并化简，得到边的等量关系，进而判断三角形形状. 【详解】将用余弦定理展开， 得. 由题设，故. 故选：A 4.（25-26高三上·河北邢台·月考）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、辅助角公式、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由同角三角函数的基本关系及正余弦定理即可求出，由两角差的余弦公式和辅助角公式求出，从而可判断的形状. 【详解】， ，即， 由正弦定理及余弦定理得，， ∵，∴， 又，，整理得， 因为，，所以， 所以，为等腰三角形． 故选：C． 题型二：三角形面积公式及其应用 1.（24-25高一下·四川成都·期末）设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、正、余弦定理判定三角形形状、用定义求向量的数量积 【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 2.（2025·云南昭通·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】由面积公式及角平分线的性质推导出，再由面积公式求出和，最后由余弦定理计算a. 【详解】因为，且角A的平分线交边BC于D，且， 所以，即， 又，所以，所以，， 由余弦定理得， 所以，即， 故选：A． 3.（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正余弦定理与三角函数性质的结合应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C 4.（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别是是的中点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、求三角形面积的最值或范围 【分析】结合已知条件，分别在、中应用余弦定理，可得，整理可得.由于，解得.利用同角三角函数基本关系式可求.进而根据三角形的面积公式可得.最后利用二次函数的性质即可求解的面积的最大值. 【详解】在中，由余弦定理得： . 在中，由余弦定理得： . .即. ，则. ， . 则当时，取得最大值. 故选：B. 题型三：几何图形中的计算 1.（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 2.（2025·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】根据角平分线定理可得，在中，利用余弦定理求出，进而根据正弦定理求出. 【详解】因为为的平分线，且， 在中，根据正弦定理可知， 在中，根据正弦定理可知， 而，，故将上述两个等式相除可得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 3.（25-26高二上·广东江门·月考）如图，在扇形中，半径，圆心角，是弧上的动点，矩形内接于扇形，下列说法正确的是（    ） A．当时，矩形为正方形 B．当时， C．面积的最大值为 D．矩形面积的最大值为 【答案】C 【知识点】辅助角公式、三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算、求三角形面积的最值或范围 【分析】根据直角三角形中的三角函数关系可用表示出的长度，知A和B正误；将面积和矩形面积表示成关于的函数的形式，将问题转化为三角函数最值的求解问题，知C和D正误. 【详解】对于A，当时，，， 又，， 四边形不是正方形，A错误； 对于B，当时，，， 又， ，B错误； 对于C，设， 由B知：，，， ，， 当，即时，取得最大值，C正确； 对于D，设， 由B知：，， 矩形的面积， ，， 当，即时，矩形的面积取得最大值，D错误. 故选：C. 4.（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形、几何图形中的计算、高度测量问题 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 1.（24-25高二下·北京昌平·期末）在 中， 若， 则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、正弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角的余弦公式得，利用正弦定理得，利用余弦定理即可求解. 【详解】因为， 由有， 利用正弦定理有：，即， 由余弦定理有，所以是钝角三角形， 故选：C. 2.（24-25高一下·北京海淀·月考）线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上（点C靠近B点），且满足，则称点C为线段AB的黄金分割点．在中，，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点．利用上述结论，可以求出（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何图形中的计算 【分析】设，则，根据，列出方程，求得的值，得到长，结合，即可求解. 【详解】如图所示，设，则， 由，可得，即， 解得或（舍去），所以， 在中，，所以, 因为AD是角B的角平分线， 所以, 所以. 故选：B. 3.（24-25高一下·重庆·月考）在中，，是一元二次方程的两个根，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【知识点】正余弦定理与三角函数性质的结合应用、正、余弦定理判定三角形形状、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由根与系数关系，结合三角形内角性质、和角正切公式判断正切值符号，即可得. 【详解】由题设，，易知同正， 则，而， 所以均为锐角，即是锐角三角形. 故选：A 4.（25-26高三上·山东·月考）在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据诱导公式和正弦定理化简为，再根据，结合两角和的正弦公式化简，即可求解. 【详解】由条件可知，即， 因为， 所以， 整理为， 所以， 所以是等腰三角形. 故选：C 学科网（北京）股份有限公司 $