学易金卷：高一数学下学期期中模拟卷02（人教A版，范围：必修第二册第六章～第八章向量+解三角形+复数+空间几何体）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高一数学期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][CD] 5[A][B][C[D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C[D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 4[A[B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C]D] 10 [A][B][C][D] 前 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 的1 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) A C B D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D A B D 60 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）必修第二册第六章+第七章+第八章前3节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·山东·一模）复数的共轭复数的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】根据共轭复数的定义，结合复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为复数的共轭复数是， 所以复数的虚部为. 故选：C 2．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知向量，若，则等于（   ） A． B．1 C．4 D． 【答案】B 【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】利用两个垂直向量的数量积为零，再结合向量数量积的坐标运算法则计算即可得出答案． 【详解】由，可得， 所以由，解得． 故选：B. 3．（2026高一下·福建厦门·专题练习）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 4.（25-26高一下·全国·课后作业）如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（    ） A．4杯 B．6杯 C．8杯 D．16杯 【答案】C 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】应用球的体积公式及圆柱的体积公式计算求解即可. 【详解】球形容器的直径为，则半径为， 所以球形容器的体积， 底面直径为、深的圆柱形水杯的底面半径为， 所以圆柱形水杯的体积， 所以，则球形容器装满时，约可以倒满水杯8杯. 故选：C 5．（24-25高一下·贵州·月考）已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】根据题意，，进而得到，再求夹角即可． 【详解】在上的投影向量的模等于， 又，所以， 因为， 所以或． 故选：D． 6．（23-24高一下·四川广安·月考）已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（   ） A．直角非等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形状 【详解】由题意有：， 所以，由余弦定理得， 所以，又，所以， 又，由， 所以， 所以，所以，可得， 所以是等边三角形. 故选：B 7．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】弧长的有关计算、圆台的展开图 【分析】先根据弧长公式求出圆台的上下底面半径，再结合圆台的母线长，利用勾股定理求出圆台的高. 【详解】设小扇形的半径为，则大扇形的半径为， 设圆台的上下底面半径分别为，，则，， 所以，所以， 所以圆台的高为. 故选：D 8．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示 【分析】法一：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接，设，则，，即可求解. 【详解】方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 方法二：如图2，连接．易知， 设，则． 由已知可得，所以， 所以 ． 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知复数满足，则（   ） A．的实部是 B．的虚部是 C． D．在复平面内所对应的点位于第二象限 【答案】AD 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数除法运算可化简得到，由共轭复数、复数的实部和虚部定义、复数模长运算与几何意义依次判断各个选项即可. 【详解】； 对于A，由实部定义知：的实部为，A正确； 对于B，，的虚部是，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，对应的点为，位于第二象限，D正确. 故选：AD. 10．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（ ） A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为 C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为 【答案】ABD 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】首先求圆锥的高，再代入圆锥的侧面积，体积公式，即可判断ABD，利用圆锥与外接球的几何关系，构造关于的方程，即可求解外接球的表面积，判断D. 【详解】对A，母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，A选项正确； 对B，圆锥SO的侧面积，B选项正确； 对C,圆锥的体积,C选项错误， 对D，设圆锥SO的外接球半径为，则，解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，D选项正确. 故选：ABD 11．（24-25高一下·安徽淮南·期中）已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】BCD 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】A利用正弦定理化简即可；B在和中利用正弦定理即可；C在中利用余弦定理求得长度即可；D利用即可. 【详解】对于A，由及正弦定理可得，， 则， 所以，又，所以，所以， 解得，又因为，所以，故A错误； 对于B，由选项A可知，，在边上，且平分， 所以，又，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式左右两边分别相除可得，化简得，故B正确； 对于C，由选项B可知，设，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 则，故C正确； 对于D，由，得，解得，所以，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·辽宁铁岭·月考）已知向量，若，则_________． 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【详解】因为，所以， 又，所以，解得． 13.（25-26高一下·广西柳州·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【详解】由余弦定理可得，， 因为，所以， 故的面积为. 14．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在直三棱柱中，E是的三等分点（靠近点A），D是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是______.    【答案】 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据，求得，再根据三棱锥的换底性可得，由此可得答案. 【详解】， E是的三等分点（靠近点A），是的中点， ，，， 又∵， ， . 三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（2025高一上·湖北·专题练习）已知复数是关于的方程的两个根，且. (1)求和的值； (2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 【答案】(1)，；(2) 【知识点】复数的坐标表示、复数范围内方程的根、复数的向量表示 【分析】（1）由题意可知也是方程的一个根，利用韦达定理计算即得答案； （2）由，得到，即得，代入计算即得. 【详解】（1）由复数是实系数方程的一个根， 可知也是方程的一个根， 由韦达定理，可得， ， 所以，. （2）因为，所以，则， 则得，由（1）可得，， 所以. 16．（24-25高一下·山东·期中）如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为. (1)求四棱锥的体积； (2)判断的形状，并说明理由；求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积. 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由见解析， 【知识点】求组合多面体的表面积、柱体体积的有关计算 【分析】（1）分别求得三棱柱的体积和三棱锥的体积，即可得出四棱锥的体积； （2）利用勾股定理求得边长，分别计算出所求几何体的各个表面的面积可得结果. 【详解】（1）三棱柱的体积， 三棱锥的体积为 所以四棱锥的体积. （2）为直角三角形， 理由：由题意得，，， 从而，即，可得为直角三角形， 所以， 所以 ， 因此几何体的表面积为. 17.（15分）（2025高一上·湖北·专题练习）如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边BC上一点，且，． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由条件先求角，进而在中应用正弦定理即可证明； （2）在中应用正弦定理可得，进而结合可得的值； （3）结合（2）的结果利用余弦定理可求与的关系，进而利用面积公式求解即可. 【详解】（1）证明：由，，得. 在中，有，得 ，即. （2）在中，，所以，即， 又. 于是，即. （3）因为，，， 所以， 得，即. 则. 18．（17分）（24-25高一下·广东佛山·月考）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． (1)求该几何体的表面积； (2)若分别为棱的中点，求四面体的体积； (3)若分别是线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)96 (3) 【知识点】求组合多面体的表面积、锥体体积的有关计算、组合体表面两点间的最短路径 【分析】（1）连接，则，求得，得到，且，结合棱锥的侧面积公式和正方形的面积公式，即可求解； （2）解法1：根据题意，得到三棱锥为底面边长为，侧棱长正三棱锥， 解法2：作于点，于点，结合割补法，利用棱柱和棱锥的体积公式，即可求解； 解法3：利用体积转换法，化简，结合锥体的体积公式，即可求解. （3）将长方形， 和 展开在一个平面，设，求得的值，得到当四点共线时，最短，结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）连接，则，因为，所以， 所以正方形中，可得， 又因为，在中，， 故四棱锥的侧面积为， 又由正方体5个面的面积为， 所以多面体的表面积为． （2）解法1：在直角中，可得，则， 又由，同理可得：， 所以三棱锥为底面边长为，侧棱长为正三棱锥， 如图所示，过点作底面的高，垂足为， 因为底面是正三角形，故是正三角形的重心，可得, 所以，即三棱锥的高为， 所以． 解法2：如图所示，作于点，于点． 则， 其中， 所以． 解法3：转换法，由 , 所以四面体的体积为. （3）如图所示，将长方形， 和 展开在一个平面， 可得， 设， ，所以， 所以，， ， 当四点共线时，最短， 所以， 所以的最小值为． 19．（17分）（25-26高一下·湖北武汉·月考）对于平面向量，定义“变换”：，（） (1)若向量，，求； (2)已知，，且与不平行，，，证明：； (3)若向量，求． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【知识点】特殊角的三角函数值、平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】（1）将，代入变换计算可得； （2）利用变换规则计算向量数量积可得，且，，再由向量夹角余弦公式即可得出结论； （3）利用变换规则以及三角恒等变换以及可得，即可解得. 【详解】（1）根据题意可得，，， 代入变换可得，即； （2）， 得，同理可得， ； 所以， 则，， 所以； （3）因为 ； 且 所以 ； 因此 由， 可得， 即，又，解得． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一数学期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 3 4 5 6 A D B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中， 有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.-4 13.7√5 14.2:9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)》 【详解】(1)由复数2，-5i+是实系数方程x+px+g=0的一个根， 2 it 可知三，：-5+！也是方程x2+x+g=0的一个根， -2分 --4分 9+1 6分 所以p=-1,q=1. -7分 (2)因为AC=0A+0B,所以0C-0A=0A+0B,则0C=20A+OB,---9分 则得z=2红+22， -11分 由)可得5+， -i+ -1+ 2 2 2 1/6 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以z=2z1+22=2× 31） 2+2 13分 16.(15分) 【详解④三棱挂的体积y-2-2万=4、6。 --2分 三棱锥C,-ABC的体积为y=x46=4 -4分 2 3 所以四棱锥C-4B8A的体积。4=P-=-86 -6分 3 3 3 (2)△AC,D为直角三角形， -7分 理由： 由题意得AD=2例-(-6，C,D=V22+(2=i0 AC=V22j+(22=4, 从而AD2+CD2=AC,即AD⊥DC,可得△ACD为直角三角形， -10分 所以S6而=i店， -12分 所以5+2)25+2+++6(2+丽 =6+4+8+2V5+√5+√5=18+3V5+√5， 因此几何体的表面积为3√5+√5+18， -15分 17.(15分) 【详解】(1)证明：由∠BAC=135°，AD1AB,得∠CAD=45 -2分 b CD 在△ADC中，有 sin∠ADCsin ZC4D'得 in45sin∠4DC=2sin∠ADC,即b=V2sin∠ADc. 1 b=- -4分 （2)在△48D中，4D148,所以n∠aD8=品-号即c=2sn∠408，-6分 又∠ADB+∠ADC=180°. 于是C。 2sin∠ADB b√2sin∠ADC 2snl80'-∠ADC_2sin∠ADC-2,即5=万.-9分 sin∠ADC sin∠ADC (3)因为a=BC=BD+CD=3,∠BAC=135°，=V2, h 所以d-分+0-2cos4c=+-2bj9]-5张. 2 -11分 2/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 得562=a2=9,即6= ---13分 5 则S,ascbesin∠BaC=.262-729P -15分 2 2510 18.(17分) 【详解】(1)连接AO,则P0,⊥A0,因为PA,=6,P01=2,所以AO=V62-22=4√2， 所以正方形4，B,C,D,中，可得AB=4V2×V2=8, -2分 又因为001=4P01=8,在△ABP中，A,P=6=B,P=6,A,B=8, 故四棱锥的侧面积为S=4×x8×√6-4=325， 4分 又由正方体5个面的面积为S,=5×82=320, 所以多面体的表面积为S=S+S,=320+32√5. 6分 D A 6 D (2)解法1：在直角△ABE中，可得B,E=√A,E2+AB=4V5，则B,E=B,F=B,G, 又由EF=VAF2+AE2=42+(45=4N6,同理可得：FG=EG=46=EF, 所以三棱锥B,-EFG为底面边长为4√6，侧棱长为4√5正三棱锥， -8分 如图所示，过点B作底面的高，垂足为H, 因为底面是正三角形EFG,故H是正三角形EFG的重心，可得EH=4√2， 所以B,H=√B,E2-EH2=V80-32=4V5,即三棱锥B-EFG的高为h=4√2， 所以4w8H5w号94645=6. -10分 3/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B D A E 解法2：如图所示，作FH⊥CD于点H,GK⊥B,C于点K. VE-F8G VABGH-48.KF -VG-B.KF-VF-4BE-VE-FHG-VE-AHGB-VE-B8G 英中：=业m加=写m4AM-24。 1 3 所以4-0=y6=320-64_128224_128_128-96. -10分 33333 D A B 解法3：转换流，由%4+化) LVF-ARG + 1 (VG-4BG+YD-4RG)= 4 4+4%6+ 1 (V-+VC-ARD) 1 1 1 111 4o+4Gs6+a4+gcn= 日Vg-4c+c-AA 248 8 2x8x8x81 71 8-4×8)=25664=96, 83 28 6 33 所以四面体B,-EFG的体积为96. -10分 (3)如图所示，将长方形ABB,A,△PA,B,和△PB,C展开在一个平面， 可得PA=PB,=PC1=6,AB,=B,C1=8, 42 设∠ABP=a,coS∠AB,P=cos∠PB,C=cos0a==。 63’ A8=4=88=85∠4BA-子，所以血a=5 -11分 4/6 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以sin2a=2 s=2x5x2-4v5 cos2a=1-2sin2a=1-2× 5 1 13分 339 3 9 π √2+410 coS∠AB,C1=cos S+2a=cos cos2a sinsin 2a=- 4 18 当A,Q,N,C,四点共线时，AQ+QN+NC,最短， -15分 所以AC,=VAB+BC-2 AB,B,Ccos LAB.C-8V29+8N5, 所以4Q+QN+NC,的最小值为29+85 -17分 A 9 B 19.(17分) 【详解】(1)根据题意可得=2，片=1,0-骨 6=xcos0-⅓simn0=1-5 代入变换可得 4分 =xsing+yicos0=+1 2 (2)=(xcos0-y,sine)2+(xsine+y.cos)2=, 得0=0A,同理可得0B=0B， -5分 O4.0B'=(xcos0-y,sin0)(xcos0-yzsine)+(xsine+y cos0)(x2sin+y2cos0) =xcos20+yysin0+xsin0+ycos=y2=0A.OB: 所以0A',0B'=OAOB, -7分 则cosO4,OB OA.OB OA.OB OAOB' OAOB -cos04.0B,(0.0B)0 所以0A,0B=0A,0B; -9分 5/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)因为xk+2=xk1cos0-yk+sin0 =(x:cos0-y sine)cos0-(x sine+y cos0)sin =x (cos20-sin20)-2y sin0cos0 =xcos20-y sin20: -11分 y+2=xsin0 +ycose =(x cos0-ygsine)sin+(x sine +y cose)cose =2x sin0cos0+y (cos20-sin20)=x sin20+y cos20 -13分 所以xk+3=xk+2cos0-yk+2sin0 =(x cos20-y sin20)cos0-(x sin20 +y cos20)sin0 =x (cos20 cos0-sin20sine)-y (sin20cose cos20sine) =x cos30-y sin30 --14分 因此yk+3=xk+2sin0+yk+2C0s0 =(x cos20-y sin20)sin+(x:sin20 y cos20)cos0 =x(sin20 cos0 cos20sine)+y (cos20cos0 sin20sine) xxsin30 ycos30 -15分 Ha,=Fo(a3)=F2o(az)=Fso(a)=a, x cos30-y sin30=x 可得 xsin30+y cos30=y 即 [cos30=1 sin30=0' 又0<0<元，解得0=2n --17分 6/6………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）必修第二册第六章+第七章+第八章前3节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 2．已知向量，若，则等于（   ） A． B．1 C．4 D． 3．在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 4.如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（    ） A．4杯 B．6杯 C．8杯 D．16杯 5．已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 6．已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（   ） A．直角非等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 7．中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A． B． C． D． 8．如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足，则（   ） A．的实部是 B．的虚部是 C． D．在复平面内所对应的点位于第二象限 10．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（ ） A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为 C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为 11．已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的面积为 D． 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，则_________． 13.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 14．如图，在直三棱柱中，E是的三等分点（靠近点A），D是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是______.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数是关于的方程的两个根，且. (1)求和的值； (2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 16．（15分）如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为. (1)求四棱锥的体积； (2)判断的形状，并说明理由；求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积. 17．（15分）如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边BC上一点，且，． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的面积． 18．（17分）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． (1)求该几何体的表面积； (2)若分别为棱的中点，求四面体的体积； (3)若分别是线段上的动点，求的最小值． 19．（17分）对于平面向量，定义“变换”：，（） (1)若向量，，求； (2)已知，，且与不平行，，，证明：； (3)若向量，求． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一数学期中模拟卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版（2019)必修第二册第六章+第七章+第八章前3节。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.复数2-3i的共轭复数的虚部是() A.2 B.-2 C.3 D.-3 2.已知向量a=1,2),b=(-2,x),若a1b,则x等于() A.-1 B.1 C.4 D.-4 3.在梯形ABCD中，AB∥CD,CD=3MB,点B在对角线4C上，且AB=BC,则D= () A服号知 4丽-40 B. c.28-D D.-40 4.如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为4cm、深9cm的圆柱形水杯（壁厚 均不计)，则球形容器装满时，约可以倒满水杯() A.4杯 B.6杯 C.8杯 D.16杯 1/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5.已知=2，且五在a上的投影向量的模为√5，则a与i的夹角为() A.45° B.60° C.120° D.45°或135° 6.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(a+b+c)(b+c-a=3bc,且 sinA=2 sinBcosC,那么△ABC是() A.直角非等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形 7.中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期现有一把折扇， 其结构如图，完全展开后扇环的圆心角为二π，上板长为9cm,若把该扇环围成一个圆台， 则圆台的高为() 扇环 ←上板 小骨犬骨 A.3cm B.9cm C.63 cm D.6√2cm 8.如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC(包括端点)上一点，则AP.AB的 取值范围是() D A. L4+V2 4 B./12+2 C. 11+V2 2 1,2 D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数=满足z(1+1)=1-3i,则() A.二的实部是-1 B.z的虚部是-2 c.E=5 D.z在复平面内所对应的点位于第二象限 10.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名 2/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 叫Tuli,于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Tuli的屋顶，得到圆锥SO(其 中S为顶点，O为底面圆心)，母线SA的长为10m,底面半径OA长为6m.下面说法正确的 是() A.圆锥SO的高为&nm B.圆锥SO的侧面积为60n2 C.圆锥S0的体积为288m D.圆锥SO外接球的表面积 625Lm 4 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c=2 bcosA-a,D在边AC上，且BD 平分∠ABC,若AD=4,CD=2,则下列结论正确的是() A.A6C-牙 AB B.8C-2 C.△ABC的面积为18 > D.BD= > 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,-1),i=(-1,2),c=(m,3),若(a+c/(⑦+c),则m=】 13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=7,b=4,c=√37，则△ABC 的面积为 14.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，E是AB的三等分点（靠近点A),D是AA的中点， 则三棱锥D-B,C,E的体积与三棱柱ABC-AB,C,的体积之比是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 5.(43分)F知复数3是关于x的方程x+匹+9=02,9R的两个根，自z3i+) 2 (1)求P和9的值： (2)记复数=1,2，二在复平面内对应的点分别为A,B,C,己知O为坐标原点，且AC=OA+OB, 求复数. 3/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，底面ABC是正三角形，AB=AA=2√2，BC边上 的中点为D (1)求四棱锥C-AB,BA的体积： (2)判断△ACD的形状，并说明理由：求三棱柱ABC-AB,C,截去三棱锥C1-ACD后所得几 何体的表面积 A1下 B 17.(15分)如图，△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠BAC=135°，D为边BC 上一点，且AD LAB,BD=2CD=2. B (1)证明：b=√2sin∠ADC: ②求分的值： (3)求△ABC的面积. 4/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(17分)现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥P-AB,C,D,下部是正 四棱柱ABCD-AB,C,D,（如图所示)，AP=6,PO1=2且正四棱柱的高OO是正四棱锥的高 P0的4倍. D B D B (1)求该几何体的表面积： (2)若E,F,G分别为棱AA,CD,BC的中点，求四面体B-EFG的体积： (3)若Q,N分别是线段AB,PB上的动点，求AQ+ON+NC的最小值. 19.(17分)对于平面向量4=(x,y)(k=1,2,),定义“F变换”： an=F(a)=(xcos0-y.sine,xsine+y:cose),( a若向量a-(2,0-子求a: (2)已知OA=(k,y),OB=(x,y,),且OA与OB不平行，OA=P(OA,OB=E(OB) 证明：{O1,0B〉=(OA,0B): (3)若向量4=a,求0. 5/5: 2025-2026学年高一数学期中模拟卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意丰项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 斯 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 : 在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版(2019)必修第二册第六章+第七章+第八章前3节。 O 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.复数2-3i的共轭复数的虚部是() A.2 B.-2 C.3 D.-3 2.已知向量ā=1,2)，b=(-2,x),若a1b,则x等于() A.-1 B.1 C.4 D.-4 O 3.在梯形ABCD中，AB∥CD,CD=3AB,点E在对角线AC上，且AE=】BC,则DE=(） A.AB-2AD 3 B.4B54c.2-D0.440 4.如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为4cm、深9cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球 : 形容器装满时，约可以倒满水杯() : : A.4杯 B.6杯 C.8杯 D.16杯 5.己知=2，且b在a上的投影向量的模为2，则ā与6的夹角为() A.459 B.609 C.120° D.45°或135° : 6.己知△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2 sinBcosC,那 么△ABC是() A.直角非等腰三角形 B.等边三角形 试题第1页（共4页） .: ©学科网·学易金卷做树装：就限是鲁 C.等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形 7.中国被称为制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期现有一把折扇，其结构如图. 2 完全展开后扇环的圆心角为二π，上板长为9cm,若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为() 3 扇环 上板 小骨大骨 A.3cm B.9cm C.63 cm D.6√2cm 8.如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC(包括端点)上一点，则AP.AB的取值范围是() 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数二满足z(1+i)=1-3i,则() A.=的实部是-1 B.z的虚部是-2 c.E=5 D.z在复平面内所对应的点位于第二象限 10.在意大利，有一座满是“斗笠"的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Ti,于 1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Tli的屋项，得到圆锥SO(其中s为顶点，O为底面圆心)， 母线SA的长为10m,底面半径OA长为6m.下面说法正确的是() A.圆锥SO的高为8m B.圆锥SO的侧面积为60m C.圆锥SO的体积为288πn2 D.圆锥SO外接球的表面积为m2 11.己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c=2 bcosA-a,D在边AC上，且BD平分∠ABC, 若AD=4,CD=2,则下列结论正确的是() A4aBc月 B. C.△ABC的面积为18 1 D.BD= 1 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做将卷：限是鲁幕 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,-1),b=(-1,2),c=(m,3),若(a+c/(6+c,则m= 13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a=7,b=4,c=√37，则△ABC的面积为 14.如图，在直三棱柱ABC-AB,C1中，E是AB的三等分点（靠近点A),D是AA的中点，则三棱锥D-B,C,E 的体积与三棱柱ABC-AB,C的体积之比是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分)己知复数5是关于x的方程+m+g=0(29eR)的两个根，且2-5；+号 +2 2 (1)求P和9的值： (2)记复数，2，二在复平面内对应的点分别为A,B,C,己知O为坐标原点，且AC=OA+OB,求复数二. 16.(15分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，底面ABC是正三角形，AB=AA=2√2，BC边上的中 点为D (1)求四棱锥C1-ABBA的体积： (2)判断△ACD的形状，并说明理由；求三棱柱ABC-AB,C,截去三棱锥C-ACD后所得几何体的表面积. A B 试题第3页（共4页） 17.(15分)如图，△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠BAC=135°，D为边BC上一点，且 : AD L AB,BD=2CD=2. : D A (1)证明：b=√2sin∠ADC: (2)求的值： (3)求△ABC的面积. 张 18.(17分)现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥P-ABCD,下部是正四棱柱 ABCD-AB,C,D,(如图所示)，AP=6,PO=2且正四棱柱的高O,O是正四棱锥的高PO的4倍. 样 游 A S D B (1)求该几何体的表面积： (2)若E,F,G分别为棱AA,CD,BC的中点，求四面体B,-EFG的体积： (3)若O,N分别是线段AB,PB上的动点，求AQ+QN+NC1的最小值. 世 19.（17分)对于平面向量4=(x,y)(k=1,2,),定义“F变换”： a=Fo(a.)=(xcos0-y.sine.xsing+y.cose),(< (4若向量a=(21),0=5,求a: (2)已知OA=(x,),OB=(x2,y2),且OA与OB不平行，OA=P(OA,OB=F(OB),证明： OA.OB=OAOB) (3)若向量4=4，求8. 试题第4页（共4页） : 2025-2026学年高一数学期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）必修第二册第六章+第七章+第八章前3节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 2．已知向量，若，则等于（   ） A． B．1 C．4 D． 3．在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 4.如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（    ） A．4杯 B．6杯 C．8杯 D．16杯 5．已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 6．已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（   ） A．直角非等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 7．中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（    ） A． B． C． D． 8．如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足，则（   ） A．的实部是 B．的虚部是 C． D．在复平面内所对应的点位于第二象限 10．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（ ） A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为 C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为 11．已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的面积为 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若，则_________． 13.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______. 14．如图，在直三棱柱中，E是的三等分点（靠近点A），D是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是______.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数是关于的方程的两个根，且. (1)求和的值； (2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 16．如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，边上的中点为. (1)求四棱锥的体积； (2)判断的形状，并说明理由；求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积. 17.（15分）如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边BC上一点，且，． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的面积． 18．（17分）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． (1)求该几何体的表面积； (2)若分别为棱的中点，求四面体的体积； (3)若分别是线段上的动点，求的最小值． 19．（17分）对于平面向量，定义“变换”：，（） (1)若向量，，求； (2)已知，，且与不平行，，，证明：； (3)若向量，求． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $