学易金卷：高二数学下学期期中模拟卷02（人教A版，范围：选二导数+选三计数原理、随机变量及其分布列）

2025-2026学年高二数学期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B C A A D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AD AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 【详解】（1）首先，从6位同学中选5人，有种选法，---------------------------------------1分 接下来将5人分配到4种模型，且每类模型至少1人负责， 则5人分为：2人，1人，1人，1人四组，有种方法，-------------------------------------3分 再将这四组对应4种模型进行全排列， ---------------------------------------------------------------4分 不同的调研安排方案有种. -------------------------------------------6分 （2）首先将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种模型,每类模型至少有一人，---------------------------------8分 即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法，-------------------------------------------10分 所以，若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型， 共有种不同的安排方案.-----------------------------------------------------------13分 16．(15分) 【详解】（1）由题知： -----------------------------------------------------------------1分 若，，在上单调递增    --------------------------------------3分 若，令解得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，-----------------------------------------------------5分 综上， 当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； ----------------------------6分 （2） 依题意，时，恒成立， 即在上恒成立， ------------------------------------------------------------8分 令 ，则 = ， -----------------------------------------------------------------9分 令，由（1）知函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则有，即， ---------------------------------------------------11分 即当时，则，当时，则， 即在上单调递减，在上单调递增， ----------------------------------------13分 所以函数在处取最小值，于是得， 所以的取值范围为. ----------------------------------------------------------------------------15分 17．(15分) 【详解】（1）由题意得小明背诵首古诗的概率. --------------------------------4分 （2）已知小明背诵的古诗数为，则的可能取值为、、， --------------------------5分 ，，，---------------------8分 所以， ----------------------------------------------------------9分 . ----------------------------------------------10分 （3）设小华背诵的古诗数为，由题意可知，-----------------------------------12分 由二项分布的期望和方差公式可得，,--------------14分 显然，，所以选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适.-15分18．(17分) 【详解】（1）记无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，， 红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，. ， ----------------------------------------2分 . ----------------------------------------4分 （2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差X的可能取值为. ---------5分 ， ， . ----------------------------------------8分 X的概率分布为： 0 1 所以的数学期望. ---------------------------------------------------10分 （3）记3轮对抗后训练结束为事件C，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D. 记3轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差为Y， ， -------------------------------------------------------------------------12分 ， ------------------------------------------------------------------------13分 所以， ---------------------------------------------------------14分 所以. ---------------------------------------------------------------------16分 所以在3轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为.--17分 19．(17分) 【详解】（1），令， ----------------------------------------------2分 所以切线方程为． ------------------------------------------------------------------------4分 （2）因为恒成立，即恒成立， 令，，令，解得，- 当时，单调递增； 当时，单调递减；-----------------------------------------------6分 故的最大值为， ------------------------------------------7分 因为恒成立，所以， ----------------------------8分 所以，即实数的取值范围为． --------------------------------------------10分 （3）法一：由（2）得当时，恒成立， 即，令， -----------------------------------12分 所以，-------------------------------------------14分 令，则， 故在上单调递增， 所以，即成立，得证。----------------------------------------17分 法二：令， 先证，即证， 令， 当单调递增；当单调递减， 所以，所以，即得证，------------------------------12分 因为，所以， 令， 则，令，所以， 所以在上单调递增，又因为， 所以使得，即，也即，------------------------------14分 所以时，单调递减；时，单调递增， 所以，代入得， ，------------------------16分 又在时单调递减，而， 所以， 所以， 即成立，所以，原不等式得证． -----------------------------------------------17分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $: 2025-2026学年高一数学期中模拟卷 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意丰项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 : : 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版(2019)选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册第六、七章。 : 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1. 随机变量X的分布列为： 1 3 a 2a 3a 则P(X≥2)=() A. D. 2.己知函数f(x)=f(1)x2-nx,则)=() : A.1 B.-1 C.2 : : 3.在(2-x2)°(2x+1)2的展开式中x6的系数为() .: A.300 B.280 C.320 D.360 : 4.已知随机变量X~N(2,o2),若P(X≤a)=0.2,且P(a≤X≤a+2)=0.6,则a=() A.-1 B.0 C.1 D.2 5.已知函数f(x)=x+-3在(0，+)上单调递增，则a的取值范围为() A.[-6,+0) B.(-0,-6] C.[-2,+0) D.(（-0,-2] : 6.算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、 百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表 试题第1页（共4页） .: .: @学科网·学易金卷做概装：就限爱是” 数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至 梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上， 其他位置珠子不拨动.设事件A=“表示的四位数为偶数”，事件B=“表示的四位数不小于5010”，则P(BA)= () 档 一上珠 梁 框 >下珠 5 A. B. 2 c 7.中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如 何能成为一名航天员？如何才能加入探索太空的队伍中？已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试， 主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项现对这五项测试排序，要求前庭功能 不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有() A.28种 B.36种 C.48种 D.64种 8.过原点O(0,0)作曲线y=-x2+2x-4的两条切线l,12,切点分别为M,N,则△OW的面积为() A.16 B.15 C.10 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.对于随机事件AB,若20-A到号P810=石则() A)5B.P4-} C.P(AB)= 5 D.P4u列=名 1 10.已知3x-)=4+4x+a,x++a,x，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（） A.n=11 B.展开式的二项式系数和为22 C.展开式的各项系数和为 8) D.+++-2"+1 332 3=3 ,则() 11.己知函数f(x)=X A.x=e是函数f(x)的极小值点 B.对k≥3，方程f(x)-k=0恒有两个不同的实数解 C.2>2hn元 D.存在k∈R,使得直线y=k(x-1)与曲线y=∫(x)相切 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做概卷：就限是普 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为5：4：1，经检查发现购进的苹果、香 蕉、猕猴桃的新鲜率分别为95%，90%，90%，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为 13.设a∈R,f(x)=x+ax+nx,若函数y=f(x)存在两个不同的极值点，则a的取值范围为 14.为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动.现有甲、 乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的，每题计1分；未抢到答题 权，或抢到答题权但作答错误，均不计分.终止规则：任一参赛学校得分比另一校多2分或五道比赛题目 全部答完。已知两校每道题抢到答题权的概率均为；，且每所学校答对每道题的概率均为？ 3 ,设活动结束 时，两校一共答了X道题，则X的数学期望E(X)为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型 展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型. (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 16.(15分)已知函数f(x)=e*-ar, (1)讨论f(x)的单调性： (2)当x>0时，f(x)≥x2-x+1恒成立，求a的取值范围. 试题第3页（共4页） 17.(15分)《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛， : ○ 小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从6首古诗中随机抽取3首，答对多者获胜，小明可背诵其中4首， 而小华能背诵每首古诗的概率均为号，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的， (1)求小明可以背诵2首古诗的概率： : (2)求小明背诵古诗数X的期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适？ : ... 18、(17分)已知无障得时红方、蓝方发射施弹攻击对方目标击中的概率均为行，红方、蓝方空中拦藏对 : 游 方炮弹成功的概率分别为，：，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方 游 .: 目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗经过数轮对抗后，当一方比另 一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事 S 件A,蓝方击中红方目标为事件B. : (1)求概率P(A)、P(B): : (2)设随机变量X表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求X的分布列和数学期望： : (3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率. 莎 : 19.(17分)已知函数f(x)=xe,g(x)=lnr. (1)求f(x)在点(1，e)处的切线方程： 。: (2当a>0,对任意的xe(0,+o),g)sx-恒成立，求实数a的取值范围， (3证明：f)>。+g()- : : 试题第4页（共4页） 2025-2026学年高二数学期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册第六、七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 2．（25-26高二下·北京·月考）已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值 【详解】因为，所以， 则，得 3．（25-26高三下·山东泰安·月考）在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】分别展开，，找到两部分相乘后指数和为的项. 【详解】在的展开式中，第项为，其中， 含的项为， 含的项为， 结合， 可得的展开式中含的项为， 在的展开式中的系数为. 故选B. 4．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）已知随机变量，若，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以，又，， 所以，解得. 故选：C. 5．（25-26高三下·海南·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围． 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以函数在上的最大值为，所以， 所以的取值范围为． 6．（24-25高二下·重庆渝中·月考）算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】先列出所有满足条件的四位数，再分别计算事件的概率，最后用条件概率公式求解. 【详解】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动， 基本事件为1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14种， 事件“表示的四位数为偶数”，包含基本事件1000，1010，1050，1100，1500，5000，5010，5050，5100，5500共10种， 则，事件“表示的四位数不小于5010”， 则事件=“表示的四位偶数不小于5010”，包含基本事件5010，5050，5100，5500共4种， 则， 所以， 故选：A． 7．（25-26高二上·安徽淮北·期末）中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如何能成为一名航天员?如何才能加入探索太空的队伍中?已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有（    ） A．28种 B．36种 C．48种 D．64种 【答案】D 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【详解】根据题意，分3种情况讨论： ①若前庭功能排在最后一项，超重耐力排在第三项，则失重飞行有3种排法，所以有3·=6种情况； 若前庭功能排在最后一项，超重耐力不排在第三项，则超重耐力有3种排法，此时失重飞行有2种排法， 所以有(3×2)·=12种情况.故共有18种情况. ②若前庭功能排在第三项，失重飞行有排在最后一项与不排在最后一项两种，情况同①.故共有18种情况. ③若前庭功能排在第2或第4位（2种情况），先排前庭功能，有2种排法，再排超重耐力， 若超重耐力排在第三项，则失重飞行有3种排法； 若超重耐力不排在第三项，则超重耐力有2种排法， 此时失重飞行有2种排法.故共有2×(3+2×2)·=28种情况. 综上，共有18+18+28=64种安排方案. 8．（25-26高二下·云南红河·月考）过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（    ） A．16 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【知识点】求过一点的切线方程、三角形面积公式及其应用 【分析】解法一：先设出切点坐标，再对求导找到切线的斜率，再根据切点在曲线上得出，由点斜式写出切线方程，又因为切线过点，求出，得到切点坐标，进而可求线段及到的距离最后计算出的面积； 解法二：先设出切线方程与曲线方程联立通过得出切线的斜率进而得到切点坐标，进而可求线段及到的距离最后计算出的面积. 【详解】解法一：因为，所以， 设切点，所以在处的切线斜率， 所以在处的切线方程为， 又点在曲线上，所以， 所以在处的切线方程为， 因为此切线过点，所以）， 解得，即，当时，，当时，， 所以不妨设，所以直线的方程为， 整理得，又到的距离， 则. 解法二：过原点且斜率不存在的直线为易知它与曲线相交， 故过原点且与曲线相切的直线斜率存在， 设切线方程为，切点为，，联立， 整理得0，令，得或， 由，得，所以， 当时，，当时，， 不妨设，所以， 所以直线的方程为，即0， 又到的距离，则. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·贵州·月考）对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】概率的基本性质、利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】根据条件概率公式，概率的基本性质及事件和的概率公式即可求解． 【详解】对于A，因为， 所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 10．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 【答案】AD 【知识点】二项式的系数和、由项的系数确定参数、二项展开式各项的系数和 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 11．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知函数，则（   ） A．是函数的极小值点 B．对，方程恒有两个不同的实数解 C． D．存在，使得直线与曲线相切 【答案】AB 【知识点】求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】对于A选项，利用导数即可求出极小值；对于B选项，将问题转化为与有两个交点即可；对于C，根据在上单调递增，可得，代入化简即可判断；对于D，设切点为，则切线方程为：，将点，代入化简得：，令，利用导数研究函数的取值范围即可判断D选项. 【详解】函数​的定义域为，且， 令，解得 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 则是函数的极小值点，故A 正确； 对于B，的极小值为， 当时，，，当时，， 结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故B正确； 对于C，由于当时，单调递增，所以，则， 即,所以，故C不正确； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为：， 因为切线过，代入得： 化简得：， 整理得：，即， 令，， 则，所以在和上单调递增， 所以当时，，当时，， 则当时，无解， 即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确； 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·辽宁·期末）已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________. 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】设出各个事件，根据条件，结合全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件为“选取苹果”，B为“选取香蕉”，C为 “选取猕猴桃”，D为“选取的一个水果新鲜”， 则， 根据全概率公式可知 . 故答案为： 13．（24-25高二下·江苏常州·月考）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【详解】解：易知函数的定义域为， ， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以在内有两个不等根， 设，， 则只需，即， 所以，则的取值范围为. 故答案为： 14．（25-26高二下·江西宜春·月考）为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动．现有甲、乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的，每题计1分；未抢到答题权，或抢到答题权但作答错误，均不计分．终止规则：任一参赛学校得分比另一校多2分或五道比赛题目全部答完．已知两校每道题抢到答题权的概率均为，且每所学校答对每道题的概率均为．设活动结束时，两校一共答了道题，则的数学期望为___________． 【答案】 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】将“两校一共答了道题”根据得分情况分类，分别求出随机变量的所有可能取值，每一取值分别对应转化为互斥事件的和事件求解概率即可，利用数学期望的公式求解即可． 【详解】甲校在每题中得1分的概率为， 记事件“答完两题后，甲校得2分”， 所以； 依题意，每道题的答题结果有以下3种： 甲校抢到且答对得1分，此时乙校得0分，概率为； 乙校抢到且答对得1分，此时甲校得0分，概率为； 不论哪校抢到都答错，即甲乙两校都得0分，概率为； 两校一共答的题目数的可能取值为， 表示某校前2道得2分，对方得0分； 表示某校前2道得1分，且对方得0分，第3道得1分； 表示前3道得1分，且对方得0分，第4道得1分， 或者前2道得1分，且对方得1分，第3道和第4道共得2分； ， ， ，； 故的分布列列表如下： 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 【答案】(1)1440 (2)240 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）从6位同学中选5人，分为：2人，1人，1人，1人四组，再进行全排列即可； （2）将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素），将5个元素分成“2，1，1，1”四组，再进行全排列即可. 【详解】（1）首先，从6位同学中选5人，有种选法， 接下来将5人分配到4种模型，且每类模型至少1人负责， 则5人分为：2人，1人，1人，1人四组，有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列， 不同的调研安排方案有种. （2）首先将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种模型,每类模型至少有一人， 即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法， 所以，若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型， 共有种不同的安排方案. 16．（2026·山东青岛·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求得函数的导函数，然后根据，两种情况，讨论的单调性; （2）由题可知，在时恒成立，则令，结合（1）判断函数的单调性求其最小值，求得的取值范围. 【详解】（1）由题知： 若，，在上单调递增     若，令解得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上， 当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； （2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立， 令 ，则 = ， 令，由（1）知函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则有，即， 即当时，则，当时，则， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，于是得， 所以的取值范围为. 17．（25-26高二上·安徽淮北·期末）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. (1)求小明可以背诵首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 【答案】(1) (2)， (3)选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、二项分布的方差、方差的实际应用 【分析】（1）根据组合计数原理结合古典概型的概率公式求解即可； （2）分析可知的可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，结合随机变量的期望和方差公式求解即可； （3）设小华背诵的古诗数为，由题意可知，利用二项分布的期望和方差公式求出、的值，比较与、与的大小关系，即可得出结论. 【详解】（1）由题意得小明背诵首古诗的概率. （2）已知小明背诵的古诗数为，则的可能取值为、、， ，，， 所以， . （3）设小华背诵的古诗数为，由题意可知， 由二项分布的期望和方差公式可得，, 显然，，所以选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适. 18．（17分）（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件，蓝方击中红方目标为事件. (1)求概率、； (2)设随机变量表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； (3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率. 【答案】(1)， (2)期望为，的概率分布为： 0 1 (3). 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据独立事件的概率公式和对立事件的概率关系可求、； （2）的可能取值为，根据独立事件和对立事件的概率关系可求取相应值时对应概率，从而可求分布列和期望. （3）记3轮对抗后训练结束为事件C，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D，根据独立事件的概率公式可求，再根据条件概率的概率公式可求题设中的条件概率. 【详解】（1）记无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件，，， 红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件，，，. ， . （2）经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差X的可能取值为. ， ， . X的概率分布为： 0 1 所以的数学期望. （3）记3轮对抗后训练结束为事件C，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D. 记3轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差为Y， ， ， 所以， 所以. 所以在3轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为. 19．（17分）（25-26高二下·浙江·开学考试）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）结合导数即可求得切线方程； （2）令，结合导数求出的最大值后，解不等式即可； （3）法一：结合（2）知，据此转化题目所证不等式，等价为证明，最后通过求导即可证明；法二：先证，据此转化题目所证不等式，等价为证明，最后通过求导即可证明． 【详解】（1），令，所以切线方程为． （2）因为恒成立，即恒成立， 令，，令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 故的最大值为， 因为恒成立，所以， 所以，即实数的取值范围为． （3）法一：由（2）得当时，恒成立， 即，令， 所以， 令，则， 故在上单调递增，所以，即成立，得证． 法二：令， 先证，即证， 令， 当单调递增；当单调递减， 所以，所以，即得证， 因为，所以， 令， 则，令，所以， 所以在上单调递增，又因为， 所以使得，即，也即， 所以时，单调递减；时，单调递增， 所以，代入得， ， 又在时单调递减，而， 所以， 所以， 即成立，所以，原不等式得证． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高二数学期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][CD] 5[A][B][C[D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C[D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 4[A[B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C]D] 10 [A][B][C][D] 前 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 的1 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册第六、七章。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量，若，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 7．中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如何能成为一名航天员?如何才能加入探索太空的队伍中?已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有（    ） A．28种 B．36种 C．48种 D．64种 8．过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（    ） A．16 B．15 C．10 D．5 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 10．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 11．已知函数，则（   ） A．是函数的极小值点 B．对，方程恒有两个不同的实数解 C． D．存在，使得直线与曲线相切 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________. 13．设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 14．为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动．现有甲、乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的，每题计1分；未抢到答题权，或抢到答题权但作答错误，均不计分．终止规则：任一参赛学校得分比另一校多2分或五道比赛题目全部答完．已知两校每道题抢到答题权的概率均为，且每所学校答对每道题的概率均为．设活动结束时，两校一共答了道题，则的数学期望为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 16．（15分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 17．（15分）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. (1)求小明可以背诵首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 18．（17分）已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件，蓝方击中红方目标为事件. (1)求概率、； (2)设随机变量表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； (3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率. 19．（17分）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册第六、七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量，若，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（25-26高三下·海南·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数不小于5010”，则（   ） A． B． C． D． 7．中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如何能成为一名航天员?如何才能加入探索太空的队伍中?已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有（    ） A．28种 B．36种 C．48种 D．64种 8．过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（    ） A．16 B．15 C．10 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 10．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 11．已知函数，则（   ） A．是函数的极小值点 B．对，方程恒有两个不同的实数解 C． D．存在，使得直线与曲线相切 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________. 13．设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 14．为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动．现有甲、乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的，每题计1分；未抢到答题权，或抢到答题权但作答错误，均不计分．终止规则：任一参赛学校得分比另一校多2分或五道比赛题目全部答完．已知两校每道题抢到答题权的概率均为，且每所学校答对每道题的概率均为．设活动结束时，两校一共答了道题，则的数学期望为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 16．（15分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 17．（15分）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. (1)求小明可以背诵首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 18．（17分））已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件，蓝方击中红方目标为事件. (1)求概率、； (2)设随机变量表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； (3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率. 19．（17分）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学期中模拟卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版(2019)选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册第六、七 章。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 2a 3a 则P(X≥2)=() A.号 B月 a.a D. 12 2.己知函数f(x)=f①)x2-nx,则f'I)=（) A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.在(2-x2)°(2x+1)2的展开式中x6的系数为() A.300 B.280 C.320 D.360 4.已知随机变量X~N(2,o2),若P(X≤a)=0.2,且P(a≤X≤a+2)=0.6,则a=() A.-1 B.0 C.1 D.2 5.(25-26高三下海南·月考)已知函数f(x)=x2+-3在(0，+)上单调递增，则a的取 值范围为() 1/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.[-6,+0) B.(-0,-6] C.[-2,+m) D.(-0,-2] 6.算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示 个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠） 代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至 梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠 子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动设事件A=“表 示的四位数为偶数”，事件B=“表示的四位数不小于5010”，则P(BA)=() 档 上珠 梁 框 下珠 B.5 12 D.g 7.中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就 有人提问：如何能成为一名航天员？如何才能加入探索太空的队伍中？已知航天员选拔时要接 受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击 五项现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重 飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有() A.28种 B.36种 C.48种 D.64种 8.过原点O(0,0)作曲线y=-x2+2x-4的两条切线l,2,切点分别为M,N,则△OMW的 面积为() A.16 B.15 C.10 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 ).对于随机事什4，若0风列-号P®利=言则（) A.B)-5B.P4B月 15 4 C.P(AB)=1 D.4u=号 1 10.已知3x- =4+4x+4,x2++4x,且第5项与第8项的二项式系数相等，则() 3 A.n=11 B.展开式的二项式系数和为22 2 C.展开式的各项系数和为 3 D.+++=-2"+l 332 3 311 2/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 山.已知函数)点则() A.x=e是函数f(x)的极小值点 B.对Vk≥3，方程f(x)-k=0恒有两个不同的实数解 C.n2>2n元 D.存在k∈R,使得直线y=k(x-1)与曲线y=f(x)相切 第二部分（非选择题共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为5：4：1，经检查发现购 进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为95%，90%90%，则从该超市随机选取一个水果恰 好是新鲜的概率为 13.设a∈Rf(x)=x2+ac+nx,若函数y=f(x)存在两个不同的极值点，则a的取值范围 为 14.为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活 动.现有甲、乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的， 每题计1分；未抢到答题权，或抢到答题权但作答错误，均不计分.终止规则：任一参赛学 校得分比另一校多2分或五道比赛题目全部答完.已知两校每道题抢到答题权的概率均为}， 且每所学校答对每道题的概率均为 .设活动结束时，两校一共答了X道题，则X的数学 期望E(X)为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人 工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型. (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安 排方案？ 3/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分)已知函数f(x)=e-m. (1)讨论f(x)的单调性： (2)当x>0时，f(x)≥x2-x+1恒成立，求a的取值范围. 17.(15分)《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织 古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从6首古诗中随机抽取3首，答对多 者获胜。小明可背通其中4首，而小华能背诵每首古诗的概率均为号，小明、小华两位同学 背诵古诗都是互不影响的， (1)求小明可以背诵2首古诗的概率： (2)求小明背诵古诗数X的期望与方差： (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适？ 4/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2 18.(17分)已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为 红方、 蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，子，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由 一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一 次为1轮对抗经过数轮对抗后，当一方比一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定各 轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A,蓝方击中红方目标为事件B. (1)求概率P(A)、P(B): (2)设随机变量X表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求X的分布列和 数学期望： (3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率. 19.(17分)己知函数f(x)=xe,8(x)=hx. (I)求f(x)在点(1，e)处的切线方程： (②当a>0,对任意的e0+)8()≤ax-号恒成立，求实数a的取值范国： O)证明：了)>e+g()片 5/5