2.2.1 导数的概念教学设计-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第二册

教学设计 2.2.1 导数的概念 一、教学目标 1．了解导数的概念及其符号表达，会用极限式表示函数在某一点处的导数. 2．了解导数在实际问题中的意义，能解释导数在物理、生产、生活中的实际含义. 3．会利用导数的定义求简单函数在某一点处的导数. 二、教学重难点 教学重点：导数的概念、导数的符号表示、利用定义求导数. 教学难点：理解导数是平均变化率的极限，理解导数的实际意义. 三、本节内容和内容解析 本节在瞬时变化率的基础上，直接给出导数的定义，明确瞬时变化率就是导数.通过平均变化率取极限的过程引出导数概念，帮助学生理解导数的数学意义与现实意义，是导数整章学习的核心基础. 四、学情分析 学生已经学习了平均变化率、瞬时变化率，理解＂时平均变化率逼近瞬时变化率＂的极限思想，具备基本的代数运算能力.但对导数符号、极限式的规范写法、导数实际意义的表述仍不熟练，需要通过实例与步骤训练强化理解. 五、教学准备 教师准备：准备好课件，利用课件动态展示教学内容． 学生准备：提前预习教材57-58页内容. 六、教学过程设计 (一)知识拓展，情境引入: 教师活动：回顾上一节学习的平均变化率与瞬时变化率，提出问题：函数在某一点的瞬时变化率在数学上有一个专门的名称，是什么？引出本节课主题——导数的概念. 学生活动：回顾旧知，思考问题，明确本节课学习方向. (二)新课讲授 教师活动： 1．回顾函数平均变化率：设函数，自变量从变到 2．引导：当趋于0时，平均变化率趋于一个固定值，这个极限值就是瞬时变化率，也就是导数. 学生活动：跟随教师回顾公式，理解＂瞬时变化率即导数＂的对应关系. 教师活动： 1． 给出导数定义：函数在点处的瞬时变化率称为函数在该点的导数，记作. 3．进行知识剖析： （1）函数在及其附近有意义，导数才可能存在. （2）可正可负，但. （3）导数是一个常数，反映函数在处变化的快慢. （4）物理中，位移函数的导数表示瞬时速度. （5）极限存在则可导，极限不存在则不可导. 学生活动：认真记录定义、符号与剖析要点，理解导数的本质与限制条件. 例题讲评： 例1一条水管中流过的水量（单位：）与时间（单位：s）的函数关系为．求函数在处的导数，并解释它的实际意义． 解：当从2变到时，函数值从变到，函数值关于的平均变化率为 率总是3，所以导数表示当时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度．也就是说，如果水管中的水保持以时的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水量为． 例2一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量（单位：kg）与其工作时间（单位：h）的函数关系为．假设函数在和处的导数分别为和，试解释它们的实际意义． 解：表示该工人上班后工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为．也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品．表示该工人上班后工作3h的时候，其生产速度为．也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产3.5kg的食品． 例3服药后，人体血液中药物的质量浓度（单位：）是时间（单位：min）的函数．假设函数在和处的导数分别为和，试解释它们的实际意义． 解：表示服药后10min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为．也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将上升．表示服药后100min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为．也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将下降. (三)课堂练习 1.设函数在点处可导，且，a，b为常数，则( ) A. B. C. D. 2.已知函数，则( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.若，则( ) A.-4 B.4 C.-1 D.1 (四)课堂小结 1．导数的概念：函数在处的瞬时变化率就是导数. 2．导数的符号：，表达式为极限式. 3．导数的意义：数学上表示变化快慢，实际中表示瞬时速度、生产效率、变化速率等. 4．求导步骤：求增量→算比值→取极限. (五)布置作业 教材第58页，练习1-2. 学科网（北京）股份有限公司 $