专题 1.15 三角形中的几何模型（模型梳理 + 题型精析 +专项练习）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.15 三角形中的几何模型（模型梳理+题型精析+专项练习） 目录 一.模型梳理与题型精析 1 【模型一】“8”字模型 2 （1）基本模型 2 （2）拓展模型 2 【题型 1】应用“8”字模型证明与求值 2 【模型二】“A”字模型 3 【题型 2】应用“A”字模型证明与求值 3 【模型三】燕尾模型 4 （1）基本模型 4 （2）模型证明 5 【题型 3】应用燕尾模型证明与求值 5 【模型四】双内角平分线模型 6 （1）基本模型 7 （2）模型证明 7 【题型 4】应用“双内角”平分线模型证明与求值 7 【模型五】内外角平分线模型 8 （1）基本模型 8 （2）模型证明 9 【题型 5】应用“内外角”平分线模型证明与求值 9 【模型六】双外角平分线模型 10 （1）基本模型 10 （2）模型证明 10 【题型 6】应用“双外角”平分线模型证明与求值 11 【模型七】三角形高+角平分线模型 12 （1）基本模型 12 （2）拓展模型 12 【题型 7】应用“高线+角平分线”模型证明与求值 12 【模型八】角平分线+平分线模型 13 【题型 8】应用“角平分线+平行线”证明与求值 14 二.专项练习 15 （一）选择题（8题） 15 （二）填空题（8题） 17 （三）解答题（4题） 19 一.模型梳理与题型精析 【题型】前带表示基础题，带表示综合题，带表示培优题。 【模型一】“8”字模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 证明思路 （1） ； （2） 。 （1） 利用三角形内外角关系或对顶角相等 （2） 利用三角形三边关系 （2）拓展模型 条件 图示 结论 证明思路 通过两个8字模型关系即可 利用三个8字模型结论即可 【题型 1】应用“8”字模型证明与求值 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）“8”字的性质及应用： （1）如图①，相交于点O，得到1个“8”字．求证：． （2）如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来． （3）如图②，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明：． 【变式1】（24-25八年级上·北京怀柔·期末）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，线段，垂足为，线段分别交，于点，，连接，．则的度数为__________． 【变式3】（24-25八年级上·江西南昌·月考）【模型理解】（1）如图1，和交于点O，求证：． 【模型应用】（2）如图2，，分别平分，，求证：． 【模型二】“A”字模型 条件 图示 结论 证明思路 （1）利用三角形内角和定理即可； （2）利用三角形内角和与邻补角互补即可。 【题型 2】应用“A”字模型证明与求值 【例题2】（2025九年级·全国·专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【变式1】（2026·吉林长春·一模）如图，在中，点、分别在边、上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，，则写出的度数是______． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． （1）若，，求的度数； （2）若的面积为，，求线段的长度． 【模型三】燕尾模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 凹四边形 （2）模型证明 角的关系证明 方法1 方法2 方法3 利用三角形外角性质即可 利用三角形外角性质即可 利用三角形内角和定理即可 边的关系证明 图示 简要证明 证明：延长BD交AC于点E 在三角形ABE中，AB+AE>BE， 在三角形CDE中，DE+CE>CD， 又AC=AE+CE 所以AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD. 【题型 3】应用燕尾模型证明与求值 【例题3】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·湖南郴州·月考）如图，在3×3的小正方形网格中，A，B，C，D均为格点，设，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，点D是内一点，，，则的度数为______． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号．我们不妨把这样的图形叫做“箭头四角形”． 探究： （1）观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； 应用： （2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，则__________； ②如图3，的二等分线（即角平分线）相交于点，若，，求的度数． 【模型四】双内角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 方法1 方法2 方法3 利用两个三角形内角和与角平分线定义即可证明 利用三角形外角性质及三角形内角和即可证明 利用三角形外角性质及三角形内角和即可证明 【题型 4】应用“双内角”平分线模型证明与求值 【例题4】（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，的角平分线，相交于P点． （1）若，，求的度数； （2）若，试求的度数； （3）设请用α表示． 【变式1】（24-25八年级上·四川凉山·月考）如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，中，点是角平分线的交点，，则_____． 【变式3】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则___________；若，则________； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【模型五】内外角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 示图 证明 【题型 5】应用“内外角”平分线模型证明与求值 【例题5】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线，且、相交于点D． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若的角平分线交于点O，，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东临沂·月考）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为______． 【变式3】（24-25八年级·全国·假期作业）如图1，、的角平分线、相交于点， （1）如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空； （2）如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数； （3）如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案） 【模型六】双外角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 示图 简要证明 由“”模型可得： 【题型 6】应用“双外角”平分线模型证明与求值 【例题6】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线， （1）若，，那么___________． （2）若，求的度数用含α的式子表示）． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃陇南·期中）如图，在中，，它的两条外角平分线交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，的两个外角平分线交于点，若，则的度数为 _______°． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数； （3）直接写出与的数量关系为____________． 【模型七】三角形高+角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 证明思路 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 平分 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 （2）拓展模型 条件 图示 结论 证明思路 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 过点A作BC垂线转化 【题型 7】应用“高线+角平分线”模型证明与求值 【例题7】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，，，是边上的高，是的角平分线． （1）求的度数； （2）是的角平分线，与交于点．求的度数． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，是高，是角平分线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，、分别是的高、角平分线，，求的度数是______度． 【变式3】（24-25八年级上·重庆綦江·月考）如图，在中，，，是的角平分线，是的角平分线，与相交于，是的高，求和的度数． 【模型八】角平分线+平分线模型 条件 图示 结论 证明思路 单角平分 线+平行线 平分 单角平分 线+平行线 【题型 8】应用“角平分线+平行线”证明与求值 【例题8】（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，． （1）求证：点E是中点； （2）若，，则的长为 ___． 【变式1】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若的周长为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作的平行线，交于点，若，，则的长为_______． 【变式3】（2025·江苏镇江·一模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，． （1）求证：点E是中点； （2）若，，则的长为　　． 二.专项练习 （一）选择题（8题） 1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线相交于点I．则的度数（　　） A．70° B．65° C．50° D．30° 2．（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）如图，是的高，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，是三角形的角平分线，过点作交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，的度数为（   ） A．180° B．240° C．300° D．360° 6．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，在中，，的平分线相交于点O， 、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·北京顺义·期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，点F，G都在边上，且，．若，，探究，，之间的数量关系．两位同学有两种不同的思路，图示如下： 则图中的①与②分别表示（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26八年级上·四川德阳·期末）如图，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（8题） 9．（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，分别为的高线及角平分线，且 ______． 10．（24-25八年级上·甘肃定西·月考）如图，在中，和的角平分线交于，得和的角平分线交于，得和的角平分线交于，则_________，_________． 11．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是___． 12．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知的外角和外角的平分线相交于点D，如果，那么_____． 13．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，点在上运动，点是上一定点．将沿所在直线折叠，点的对应点为点，当时，__________． 14．（25-26八年级上·河北保定·期末）某无人机机翼的框架结构示意图中的部分数据如图所示，小明说：“这四个数据中有一个标错了．”经测量所标数据正确，则图中所标数据应改为___________度． 15．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为______． 16．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，四边形，，，和分别是和的角平分线，那么______． （3） 解答题（3题） 17．（24-25八年级上·山东临沂·期中）研究三角形的角平分线： （1）尺规作图：如图1，作的平分线，不写作法，只保留作图痕迹； （2）如图2，与的平分线相交于点，若，则的度数是________； （3）如图3，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． 18．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）如图1，已知中，于平分； （1）若，则________度． （2）试用含的关系式表示，则________． （3）在图2中其它条件不变，若把“于D”改为“F是延长线上的任意一点，于D”，则与有何关系？试说明理由． 19．（22-23七年级下·河南南阳·月考）综合探究 （1）问题提出 如图1，是的一个外角，则，，之间的数量关系为_____． （2）尝试探究 如图2，线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，求之间的数量关系． （3）拓展提升 如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状的图形．试探究，之间的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.15 三角形中的几何模型（模型梳理+题型精析+专项练习） 目录 一.模型梳理与题型精析 1 【模型一】“8”字模型 2 （1）基本模型 2 （2）拓展模型 2 【题型 1】应用“8”字模型证明与求值 2 【模型二】“A”字模型 5 【题型 2】应用“A”字模型证明与求值 5 【模型三】燕尾模型 8 （1）基本模型 8 （2）模型证明 8 【题型 3】应用燕尾模型证明与求值 9 【模型四】双内角平分线模型 13 （1）基本模型 13 （2）模型证明 14 【题型 4】应用“双内角”平分线模型证明与求值 14 【模型五】内外角平分线模型 18 （1）基本模型 18 （2）模型证明 19 【题型 5】应用“内外角”平分线模型证明与求值 19 【模型六】双外角平分线模型 23 （1）基本模型 23 （2）模型证明 24 【题型 6】应用“双外角”平分线模型证明与求值 24 【模型七】三角形高+角平分线模型 29 （1）基本模型 29 （2）拓展模型 30 【题型 7】应用“高线+角平分线”模型证明与求值 30 【模型八】角平分线+平分线模型 33 【题型 8】应用“角平分线+平行线”证明与求值 33 二.专项练习 38 （一）选择题（8题） 38 （二）填空题（8题） 44 （三）解答题（4题） 51 一.模型梳理与题型精析 【题型】前带表示基础题，带表示综合题，带表示培优题。 【模型一】“8”字模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 证明思路 （1） ； （2） 。 （1） 利用三角形内外角关系或对顶角相等 （2） 利用三角形三边关系 （2）拓展模型 条件 图示 结论 证明思路 通过两个8字模型关系即可 利用三个8字模型结论即可 【题型 1】应用“8”字模型证明与求值 【例题1】（25-26八年级上·全国·课后作业）“8”字的性质及应用： （1）如图①，相交于点O，得到1个“8”字．求证：． （2）如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来． （3）如图②，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明：． 【答案】（1）见分析；（2）有3个，分别是；（3）见分析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质和对顶角相等的综合运用，解题的关键是掌握三角形的内角和定理,外角的性质. （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解决. （2）根据题中的“8”字的概念解答即可. （3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质解答即可. 解：（1）证明：， ，， ． （2）解：有3个，分别是． （3）平分，平分， ． 由（1），同理可证得， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·北京怀柔·期末）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点拨】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，线段，垂足为，线段分别交，于点，，连接，．则的度数为__________． 【答案】/270度 【分析】根据三角形的内角和定理和对顶角的性质可求出，，然后把整体代入计算即可． 解：，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为： 【变式3】（24-25八年级上·江西南昌·月考）【模型理解】（1）如图1，和交于点O，求证：． 【模型应用】（2）如图2，，分别平分，，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了角平分线的定义． （1）根据三角形的内角和即可得到结论； （2）利用（1）中模型可得，再根据角平分线得到，，解答即可． 解：证明：（1）在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）同（1）中模型可得，在相交线中，有， 在相交线中，有， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴． 【模型二】“A”字模型 条件 图示 结论 证明思路 （1）利用三角形内角和定理即可； （2）利用三角形内角和与邻补角互补即可。 【题型 2】应用“A”字模型证明与求值 【例题2】（2025九年级·全国·专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【答案】见分析 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可． 解：和是的外角， ． 又， ． 【点拨】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【变式1】（2026·吉林长春·一模）如图，在中，点、分别在边、上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中应用三角形内角和定理有，结合可得，同理有，完成计算即可解答． 解：在中，，， ， 同理，， ． 【变式2】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，，则写出的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查了平角为，三角形内角和定理，根据题意得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 解：如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． （1）若，，求的度数； （2）若的面积为，，求线段的长度． 【答案】（1）73°；（2）3 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解． 解：（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 【模型三】燕尾模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 凹四边形 （2）模型证明 角的关系证明 方法1 方法2 方法3 利用三角形外角性质即可 利用三角形外角性质即可 利用三角形内角和定理即可 边的关系证明 图示 简要证明 证明：延长BD交AC于点E 在三角形ABE中，AB+AE>BE， 在三角形CDE中，DE+CE>CD， 又AC=AE+CE 所以AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD. 【题型 3】应用燕尾模型证明与求值 【例题3】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 解：（1）证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． 【变式1】（25-26八年级上·湖南郴州·月考）如图，在3×3的小正方形网格中，A，B，C，D均为格点，设，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 解：如图，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，点D是内一点，，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理得到，再根据等量代换即可求出的度数． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号．我们不妨把这样的图形叫做“箭头四角形”． 探究： （1）观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； 应用： （2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，则__________； ②如图3，的二等分线（即角平分线）相交于点，若，，求的度数． 【答案】（1），理由见分析；（2）①；② 【分析】（1）如图中，连接并延长到，利用三角形的外角的性质证明即可； （2）①利用（1）中结论计算即可； ②如图中，设，，利用（1）中结论，求出即可解决问题． 解：（1）解：结论：．理由： 如图1中，连接并延长到， 因为，， 所以， 即； （2）解：①如图中， 由（1）知：， 因为，， 所以； ②如图中，设，， 由（1）可知，， ， ， ． 【模型四】双内角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 方法1 方法2 方法3 利用两个三角形内角和与角平分线定义即可证明 利用三角形外角性质及三角形内角和即可证明 利用三角形外角性质及三角形内角和即可证明 【题型 4】应用“双内角”平分线模型证明与求值 【例题4】（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，的角平分线，相交于P点． （1）若，，求的度数； （2）若，试求的度数； （3）设请用α表示． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，关键掌握三角形内角和是180度，三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系． （1）根据三角形内角和定理即可解答； （2）先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得，即可解答； （3）根据（2）的结论即可解答． 解：（1）解：∵，， ∴， 即的度数为； （2）解：∵，的平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （3）解：根据（2）的结论即可得到： ， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·四川凉山·月考）如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，解题的关键是找出规律： 先根据内角和定理求出，根据角平分线即可得到半角和，再结合内角和定理即可求出中间角的关系，即可得到答案． 解：由题意可得， ， ∵与的角平分线交于， ∴， 同理可得， ， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，中，点是角平分线的交点，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和，角平分线，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和，角平分线定义可得，，再根据三角形内角和即可求解． 解：∵， ∴， ∵点是角平分线的交点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则___________；若，则________； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】（1） ； ；（2），证明见分析；（3） 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 解：（1）解：若， ∵分别是和的平分线，，， ∴， ∴． 若， ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． 【模型五】内外角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 示图 证明 【题型 5】应用“内外角”平分线模型证明与求值 【例题5】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线，且、相交于点D． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若的角平分线交于点O，，求的度数． 【答案】（1），理由见分析；（2） 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、角平分线的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义得，，再根据外角的定义得，则，，进而可得结论； （2）根据外角的定义得，根据角平分线的定义得，，则，根据三角形内角和定理求出，再结合（1）的结论即可求解． 解：（1）解：，理由如下： ∵为的角平分线，为的角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵为的一个外角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， 由（1）得， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，在延长线上，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．先利用三角形的外角的性质求得，，利用角平分线的定义求得，，据此列式计算即可求解． 解：∵， ∴，， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，． ∴． ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山东临沂·月考）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、图形类规律探索，总结归纳出的度数规律是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质得到，，进而得到，进一步得出，即可求出． 解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 同理可得：， ， …… ∴， ∴当时， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级·全国·假期作业）如图1，、的角平分线、相交于点， （1）如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空； （2）如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数； （3）如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案） 【答案】（1）32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见分析；（2）16°；（3） 【分析】（1）根据角平分线的定义可知，，，根据三角形外角的性质可知，，可得； （2）根据（1）的方法求解即可； （3）由（1）（2）的规律可知，． 解：（1）解：结论：=32°；理由如下： ∵、的角平分线、相交于点， ∴，（角平分线的定义） ∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴． （2）解：∵、的角平分线、相交于点， ∴，（角平分线的意义） ∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴ （3） 解：由（1）（2）可知， ， ， ， …， ∴． 【点拨】本题主要考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和成为解答本题的关键． 【模型六】双外角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 （2）模型证明 示图 简要证明 由“”模型可得： 【题型 6】应用“双外角”平分线模型证明与求值 【例题6】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线， （1）若，，那么___________． （2）若，求的度数用含α的式子表示）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义． （1）利用平角的定义及角平分线的性质可得出，，再通过三角形内角和定理求得结果； （2）利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出的表达式． 解：（1）解：∵，， ∴，， 又∵，分别是，的外角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃陇南·期中）如图，在中，，它的两条外角平分线交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外角性质，角平分线和三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键.根据三角形的外角的性质结合角平分线的定义得到，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行计算即可. 解：由题意，得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴； 故选：C. 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，的两个外角平分线交于点，若，则的度数为 _______°． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形外角的性质及角平分线的定义，掌握其性质是解决此题的关键． 根据三角形的外角性质及三角形的内角和定理得到；再由角平分线的定义可得，在中，结合三角形的内角和定理及的度数即可求解． 解：如图所示： ，， ， 是的外角平分线，是的外角平分线， ，， ， ， ， 解得：， 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数； （3）直接写出与的数量关系为____________． 【答案】（1）的度数为；（2）的度数为；（3） 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理和三角形外角的应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． （1）根据三角形内角和可得，再根据角平分线的定义可得，最后运用三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形外角可得，，根据角平分线的定义可得，最后运用三角形内角定理即可求解； （3）设，综合运用三角形角平分线的定义、三角形内角和定理和三角形外角的应用并结合前两问即可求解． 解：（1）解：在中， ， ∵、分别平分、， ∴ ， 在中， ； （2）解：由图可得，，， ∵、分别平分和， ∴， ， ∴ ， ∴在中， ； （3）解：设， 在中，， ∵、分别平分、， ∴ ， 在中， ， ∵，， 又∵、分别平分这两个外角， ∴ ， 在中， ， ∴． 故答案为：． 【模型七】三角形高+角平分线模型 （1）基本模型 条件 图示 结论 证明思路 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 平分 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 （2）拓展模型 条件 图示 结论 证明思路 AD、AE分别为三角形ABC中角平分线和高线 过点A作BC垂线转化 【题型 7】应用“高线+角平分线”模型证明与求值 【例题7】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，，，是边上的高，是的角平分线． （1）求的度数； （2）是的角平分线，与交于点．求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，三角形高线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据角平分线定义求出，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解； （2）根据角平分线定义求出的度数，根据三角形内角和定理求出，的度数，最后求出结果即可． 解：（1）解：在中，，是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ． （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，是高，是角平分线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于180°是解题的关键． 根据三角形的内角和得出，再利用角平分线得出，利用三角形内角和解答即可． 解：∵是高，， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，、分别是的高、角平分线，，求的度数是______度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的高，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．由是的高，可得出，利用三角形内角和定理，可求出，利用角的和差求出，结合角平分线的定义，可求出，再利用角的和差求出，最后利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·重庆綦江·月考）如图，在中，，，是的角平分线，是的角平分线，与相交于，是的高，求和的度数． 【答案】， 【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余，求得，再根据角平分线的定义，求得，，最后根据三角形内角和定理，求得中的度数． 解：∵是的高，， ∴中，， ∵，， ∴中，， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴中，． 【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握三角形内角和等于． 【模型八】角平分线+平分线模型 条件 图示 结论 证明思路 单角平分 线+平行线 平分 单角平分 线+平行线 【题型 8】应用“角平分线+平行线”证明与求值 【例题8】（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，． （1）求证：点E是中点； （2）若，，则的长为 ___． 【答案】（1）见分析；（2）4 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据等腰三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，即可证明结论； （2）证明四边形为平行四边形，得出，求出，证明，，得出，，最后求出结果即可． 解：（1）证：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵、分别平分和， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点； （2）解：根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4．    【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【变式1】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若的周长为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等角对等边判定等腰三角形，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定是关键，根据角平分线的定义，角平分线的定义得到，结合题意得到的周长为，由的周长为，即可求解． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为16， 故选：D ． 【变式2】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作的平行线，交于点，若，，则的长为_______． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及平行的性质，先根据角平分线和平行得到，用勾股定理计算出，那么，代入即可． 解：是的角平分线， ， 平行于， ，， ， ， 在中，得 ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（2025·江苏镇江·一模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，． （1）求证：点E是中点； （2）若，，则的长为　　． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义可证，进而得到，利用等腰三角形的性质与判定可得，即可得证； （2）先求，然后证明，，最后利用线段的和差关系即可求解． 解：（1）证明：如图， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点E是中点； （2）解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 二.专项练习 （一）选择题（8题） 1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线相交于点I．则的度数（　　） A．70° B．65° C．50° D．30° 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，即可求出度数． 解：∵， ∴， ∵的角平分线与的角平分线相交于点I． ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和是180度是解题的关键． 2．（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）如图，是的高，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，涉及了三角形的高线和角平分线． 求出，进而得，结合，即可求解． 解：∵， ∴； ∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，是三角形的角平分线，过点作交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角性质，由，则，再由角平分线的定义可得，最后通过三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义和应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 连接，根据题意得到，，进而得出，得到，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 解：如图，连接， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 5．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，的度数为（   ） A．180° B．240° C．300° D．360° 【答案】D 【分析】本题考查多边形的内角和定理，三角形的内角和定理； 解：连接，可得， ∴， ∵，， ∴， ∵在四边形中，， ∴. 故选：D. 6．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，在中，，的平分线相交于点O， 、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线，三角形的高，三角形的内角和以及外角的性质等，根据三角形高的定义，三角形外角的性质求出，再根据三角形高的定义，三角形内角和定理求出，，根据三角形角平分线的定义可求出，最后根据三角形内角和定理求解即可． 解：∵，是高， ∴，即， 又是高， ∴， ∴， ∵，的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 7．（25-26八年级上·北京顺义·期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，点F，G都在边上，且，．若，，探究，，之间的数量关系．两位同学有两种不同的思路，图示如下： 则图中的①与②分别表示（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据平行线的性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角的性质，进行作答，判断即可． 解：对于①：∵， ∴； 对于②：∵是的外角， ∴； 故选：A． 8．（25-26八年级上·四川德阳·期末）如图，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，和交于点，和交于点，根据三角形外角得到，，结合已知条件和三角形内角和可得，解方程即可． 解：设和交于点，和交于点， ∴是的外角，是的外角， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． （2） 填空题（8题） 9．（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，分别为的高线及角平分线，且 ______． 【答案】/25度 【分析】本题考查了三角形的高线及角平分线，三角形的外角等知识点，由题意得；推出，计算即可； 解：∵为的角平分线， ∴； ∵ ∴； ∵为的高线， ∴， ∴； 故答案为： 10．（24-25八年级上·甘肃定西·月考）如图，在中，和的角平分线交于，得和的角平分线交于，得和的角平分线交于，则_________，_________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角性质与角平分线的定义，图形类的规律探索，根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 解：和的平分线交于点， ， ， 同理，， ， 以此类推，可知，， 故答案为：，． 11．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是___． 【答案】/40度 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用三角形内角和得到，再利用对顶角得到得到，所以①，同理可得②，接着把两式相加，然后利用角平分线的定义得到，从而可确定的度数． 解：∵， 而， ∴①， 同理可得②， 得， ∵和的平分线和相交于P点， ∴，， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知的外角和外角的平分线相交于点D，如果，那么_____． 【答案】/71度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，求出，再由角平分线的定义可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵的外角和外角的平分线相交于点D， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，点在上运动，点是上一定点．将沿所在直线折叠，点的对应点为点，当时，__________． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点在的下方；当点在的上方，分别画图解答即可． 解：当点在的下方，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的上方，如图，    ∵，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：或． 【点拨】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 14．（25-26八年级上·河北保定·期末）某无人机机翼的框架结构示意图中的部分数据如图所示，小明说：“这四个数据中有一个标错了．”经测量所标数据正确，则图中所标数据应改为___________度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，关键是辅助线的作法；延长交于点即可． 解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 15．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握求三角形外角的方法是解题的关键． 连接，根据“三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和”，计算即可求解． 解：如图，连接， 由图可知，，， ， ， ． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，四边形，，，和分别是和的角平分线，那么______． 【答案】 【分析】连接并延长，首先根据多边形内角和公式计算出的度数，再根据补角的定义计算出，再根据角平分线定义计算出，再根据三角形内角与外角的关系计算出的度数． 解：连接并延长，如下图， ∵在四边形中，， 又，， ∴， ∴， ∵和分别是和的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3） 解答题（3题） 17．（24-25八年级上·山东临沂·期中）研究三角形的角平分线： （1）尺规作图：如图1，作的平分线，不写作法，只保留作图痕迹； （2）如图2，与的平分线相交于点，若，则的度数是________； （3）如图3，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． 【答案】（1）见详解；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，与角平分线有关的三角形的角的计算和三角形的内角和定理，外角定理等知识．熟练掌握是解答本题的关键． （1）按照尺规作角平分线作即可； （2）先求出，进而求出，即可求出；； （3）先求出，进而求出，即可求出． 解：（1） （2）解：， ， 与的平分线相交于点， ，， ， ， 故答案为： （3）解：，理由如下： ，， ， ，的角平分线交于点 ，， ， ． 18．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）如图1，已知中，于平分； （1）若，则________度． （2）试用含的关系式表示，则________． （3）在图2中其它条件不变，若把“于D”改为“F是延长线上的任意一点，于D”，则与有何关系？试说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见分析 【分析】（1）依据三角形内角和定理可求得的度数，根据是角平分线，可得，再求得，故； （2）根据（1）中方法即可解答； （3）同理可求出，即可解答． 解：（1）解：在中，是的平分线，且， ； 在中，， ， ； （2）解：在中，是的平分线， ； 在中，， ； （3）解：，理由如下： 在中，是的平分线， ， ， ． 19．（22-23七年级下·河南南阳·月考）综合探究 （1）问题提出 如图1，是的一个外角，则，，之间的数量关系为_____． （2）尝试探究 如图2，线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，求之间的数量关系． （3）拓展提升 如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状的图形．试探究，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可求出答案； （2）根据三角形的内角和定理及对顶角相等即可得到结论； （3）结合（2），根据三角形外角性质求解即可． 解：（1）解：∵是的一个外角， ∴； （2）解：在图2中，有， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $