第六章 平行四边形-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第六章 平行四边形 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.如图，在口ABCD中，下列结论错误的 是( A.BC∥AD B.∠B=∠D C.∠C+∠D=180° D.AC=BD 2.关于四边形ABCD:①两组对边分别平行； ②两组对边分别相等：③有两组角相等：④ 对角线AC和BD相等。 以上四个条件中，可以判定四边形ABCD是 平行四边形的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于 E,AC=AD,∠CAE=56°，则∠D为() A.73° B.62° C.60° D.56° D B 第3题图 第4题图 4.如图，这是一块梯形(AB∥DC)铁片的残余 部分，量得∠A=105°，∠B=112°，则梯形的 另外两个角的度数分别是( A.65°和78° B.75°和68 C.75°和78 D.65°和68° 5.如图，过平行四边形ABCD的对角线BD上 一点M分别作平行四边形两边的平行线 EF与GH,那么图中的平行四边形AEMG的 面积S,与平行四边形HCFM的面积S2的 大小关系是( A.S>S2 B.S1<S2 C.S:=S2 D.2S1=S2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八 平行四边形 的性质与判定 测试分数：55分 G B B 第5题图 第6题图 6.学习情境·过程性学习如图，在口ABCD中， 以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别 交AB,BC于点F,G,再分别以点F,G为圆 心，大于2FG长为半径作孤，两弧交于点 H,作射线BH交AD于点E,连接CE。若 CE⊥DE,AE=10,DE=6,则□ABCD的面积 为() A.64 B.132 C.128 D.60 二、填空题（每小题3分，共9分） 7.平行四边形的周长等于56cm,两邻边长的 比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长 为 cm。 8.如图，a,b是两条平行线，则平行四边形甲、 乙的面积关系是 。(填“>”“<”或 “=”) 第8题图 第9题图 9.数学思想·分类讨论如图，在等边三角形 ABC中，BC=6cm,射线AG∥BC,点E从点 A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点 F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度 运动。如果点E、F同时出发，设运动时间 为t(s),当t= s时，以A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形。 年级下·ZBB·数学第22页 三、解答题（共28分） 10.(9分)如图，在口ABCD中，延长DA至点 E,延长BC至点F,使得AE=CF,连接EF, 与对角线BD交于点O,求证：OE=OF。 E 11.(9分)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是 斜边AB上的一点，作DE⊥BC,垂足为E, 延长DE到F,连接CF,使∠A=∠F。 (1)求证：四边形ADFC是平行四边形。 (2)连接CD,若DC平分∠ADE,CF=10, CD=12,求四边形ADFC的面积。 D 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八 12.（10分)在△ABC中，AB=AC,点D在边 BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直 线AB于点E,DF∥AB交直线AC于点F。 (1)当点D在边BC上时，如图1，求证：DE +DF=AC; (2)当点D在边BC的延长线上时，如图 2,当点D在边BC的反向延长线上时，如 图3，请分别写出图2、图3中DE、DF、AC 之间的等量关系式（不需要证明）； (3)若AC=10,DE=7,问：DF的长为 多少？ 图1 图2 图3 年级下·ZBB·数学第23页 专题平行四边形的性质与判定 测试时间：25分钟测试分数：35分 类型一利用平行四边形的性质和判定证明3.(9分)如图，在平行四边形ABCD中，点E、 平行四边形 F分别在AB、CD上，AE=CF,连接AF,BF, 1.(8分)如图，在口ABCD中，点E是边AD的 DE,CE,分别交于H、G。求证： 中点，连接CE并延长交BA的延长线于点 (1)四边形AECF是平行四边形。 F,连接AC,DF,求证：四边形ACDF是平行 (2)EF与GH互相平分。 四边形。 类型三利用平行四边形的性质和判定求线 段的长 类型二利用平行四边形的性质和判定证明 4.(10分)在口ABCD中，E、F分别是AD,BC 线段的关系 边上的点，且∠ABE=∠CDF。 2.(8分)如图，平行四边形ABCD的对角线 (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； AC、BD交于点O,E、F在AC上，G、H在BD (2)连接CE,若CE平分∠DCB,CF=3,DF 上，且AF=CE,BH=DG。求证：GFHE。 =4,DE=5,求CE的长。 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·ZBB·数学第24页 三角形 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.如图，在△ABC中，AB=6,BC=8,D、E、F分 别为AC、BC和AB边上的中点，则四边形 BEDF的周长是() A.10 B.12 C.14 D.16 2.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AB, CD的中点，G,H分别是对角线BD,AC的中 点，若HF=5,则EG的长为( A.10 B.2.5 C.5 D.3.5 第2题图 第3题图 3.生活情境·篱笆东东家有一块等腰三角形 的空地ABC,如图，已知E,F分别是边AB, AC的中点，量得AB=AC=12米，BC=10 米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放 养小鸡，则需要篱笆的长是() A.22米B.24米C.27米D.32米 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC =4,点D是BC边上一点，点E为AB边上 的动点，点F,G分别为CD,DE的中点，则 FG的最小值为() A.1 B.1.2 C.1.5 D.1.8 C F D 第4题图 第5题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八 的中位线 测试分数：50分 5.学习情境·规律探究如图，△ABC的周长为 64,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A'、 B'、C'分别为EF、EG、GF的中点，如果 △ABC、△EFG、△A'B'C'分别为第1个、第2 个、第3个三角形，按照上述方法继续作三 角形，那么第n个三角形的周长是() A.64x() B.64x(分) C.32x()” D.32x(2) 二、填空题（每小题3分，共9分） 6.生活情境·跷跷板如图，跷跷板AB的支柱 OD经过它的中点O,且垂直于地面BC,垂 足为D,OD=60cm,当它的一端B着地时， 另一端A离地面的高度AC为 cm。 C Dh 、B 前77777177777777i77n 7.如图，在△ABC中，点D,E分别是AC,BC 的中点，以点A为圆心，AD的长为半径作圆 弧交AB于点F。若AD=7,DE=5,则BF的 长为 0 A 8.如图，△ABC中，BD平分∠ABC,CD⊥BD, 垂足为D,E为AC中点，若AB=30,BC= 18,则DE的长为 B 年级下·ZBB·数学第25页 三、解答题（共26分） 9.(8分)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,P 为对角线BD的中点，M为AB的中点，N为 DC的中点。求证：∠PMW=∠PWM。 10.(8分)如图，等边△ABC的边长是4，D,E 分别为AB,AC的中点，延长BC至点F,使 CF=2BC,连接CD和EF。 (1)求证：CD=EF。 (2)四边形DEFC的面积为 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·入 11.（10分)在证明定理“三角形的中位线平行 于第三边，且等于第三边的一半”时，小明 给出如下部分证明过程。 已知：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的 中点。 求证： 证明：如图，延长DE到点F,使EF=DE,连 接CF,… (1)补全求证； (2)请根据添加的辅助线，写出完整的证 明过程； (3)若CE=3,DF=8,求边AB的取值 范围。 D 年级下·ZBB·数学第26页13.解：的2N=-8M(-2)-N(x+2)。-8 x+2x-22-4心 (M-Nx-2M-2Y=x-8, x+2)(x-2)4则 x2-4 ·2心怒得 M=2.5 N=1.5 4解询知0-5即 58牛+(x8壁 1 x2 1=63,x+2+16 分式方程 1.B2.D 3》【解折】解分式方程得=。：方程有解子 0,x+1≠0，m-1≠0，∴.m≠0且m≠1。故选D。 【易错提醒】当分式方程有解时，解的分母里含有未知数 的话，不要忘记解的分母也不等于0。 4.B【解析】设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则 小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒，依题意得2+ 12-2,解得x=1,经检验，x=1是原方程的解，且符合 1.2x 题意，.小敏通过AB路段时的速度是1米/秒。故选B。 3C【解析1郎分式方程得，：2：分或方霍的解为 正整数解且a为整数，.a-2=1或2或4或8。又x≠ 4且x≠0，a≠4且a≠2，.a=3或6或10。关于y y+1y-1 的不等式组，23>1① 有解，解①得y>1,解②得y 1-y≥3-a② 2 ≤2a-5,∴.2a-5>1,解得a>3,综上，符合题意的整数a 的值有6,10，符合条件的所有整数a的和为16。故选 C。 铺 6.7 7.-3【解析】解分式方程得x=2+m。·分式方程有增 根，∴.x+1=0,即x=-1,把x=-1代入x=2+m中解得m 手 =-3。 案 8.896896 =120 x30-x 9.解：(1)方程的两边都乘x(x+2),得2(x+2)=3x,解这个 方程，得x=4。检验：当x=4时，x(x+2)≠0，.x=4是 原方程的根。 (2)方程的两边都乘(x+1)(x-1),得(x+1)2+4=(x+1) (x-1),解这个方程，得x=-3。检验：当x=-3时，（x+ 1)(x-1)≠0，∴.x=-3是原方程的根。 10.解：设苹果每千克的价格为x元，则砂糖橘每千克的价 2800250=250, 格为(1-30%)x元，依题意得1-309%)xx 解得x=6,经检验，x=6是原方程的根，且符合题意。 故苹果每千克的价格为6元。 11.解：(1)方程的两边都乘(x-3),得x=2(x-3)-（-2), 解这个方程，得x=4。经检验，x=4是原分式方程的 根。 (2)设原分式方程中“？”代表的数为m,则有，产2- 一3°方程的两边都乘(x-3),得x=2(x-3)-m。x= m 追梦之旅铺路卷·八年级 3是原分式方程的增根，把x=3代入上面的等式，得m =-3。.原分式方程中“？”代表的数是-3。 12.解：(1)一2x+2-(x-3)=6x分式的基本性质 (2)检验 (3)方程的两边都乘(2x+2),得2x+2-(x-3)=6x,解这 个方程，得x=1。检验：当x=1时，2x+2≠0。.x=1是 原方程的根。 第六章平行四边形 平行四边形的性质与判定 1.D2.B3.A4.B5.C 6.C【解析】由作法得BE平分∠ABC,.∠ABE=∠CBE。 ,'四边形ABCD为平行四边形，∴.ADBC,AD=AE+DE= 10+6=16,AB=CD,.∠CBE=∠AEB,∴.∠ABE=∠AEB, ∴.AB=AE=10,∴.CD=10。.CE⊥DE,.∠CED=90°， 在Rt△CDE中，DE=6,CD=10,∴.CE=√CD-DE2=8, .□ABCD的面积为AD·CE=16×8=128。故选C。 7.218.= 9.2或6【解析】①当，点F在C的左侧时，根据题意，得 AE=tcm,BF=2tcm,则CF=(6-2t)cm。AG∥BC,∴.当 AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，即t=6-2t,解 得t=2;②当，点F在C的右侧时，根据题意，得AE=tcm, BF=2tcm,则CF=(2t-6)cm。AG∥BC,.当AE=CF 时，四边形AEFC是平行四边形，即t=2t-6,解得t=6。 综上，当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶，点的四边形是平 行四边形。 10.证明：.·四边形ABCD是平行四边形，∴.DA∥BC,DA= BC。∴.∠E=∠F,∠EDO=∠FBO。.AE=CF,∴.DA+ AE=BC+CF,即DE=BF。在△EOD和△FOB中， I∠E=∠F DE=BF ,.△EOD≌△FOB(ASA),∴.OE= (∠EDO=∠FBO OF。 11.(1)证明：∠ACB=90°，.AC⊥BC。:DE⊥BC,∴.AC DF,.∠A=∠BDF。.·∠A=∠F,.∠BDF=∠F, CF∥AB。又：ACDF,∴.四边形ADFC是平行四边形； (2)解：.CD平分∠ADE,∴.∠ADC=∠FDC,在△ADC 和△FDC中，∠A=∠F,∠ADC=∠FDC,CD=CD, △ADC≌△FDC(AAS),∴.AD=DF,由(1)得四边形AD FC是平行四边形，∴.S边形ADFC=2 SACDF,AD=CF=DF= 10,设EF=x,则DE=10-x,CD2-DE2=CF2-EF2, 122-(10-x)2=102-2,解得x=14 ,CE=48 80边5Ac2Sor=2x)pP·CE=2X,X70x48 5 =96。 12.解：(1)DE∥AC,DF∥AB,∴.四边形AEDF是平行四边 形，∴.DE=AF,∠FDC=∠B。又：AB=AC,∴.∠B= ∠C,∴.∠FDC=∠C,∴.DF=FC,.DE+DF=AF+FC= AC; (2)当点D在边BC的延长线上时，在图2中，DE-DF= AC:当点D在边BC的反向延长线上时，在图3中，DF- DE=AC。 (3)当在图1的情况下，DF=AC-DE=10-7=3;当在图 3的情况下，DF=AC+DE=10+7=17。 专题平行四边形的性质与判定 1.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, ∠FAE=∠CDE。点E是AD的中点，∴.AE=DE。又 ∠FEA=∠CED,∴.△FAE≌△CDE(ASA),∴.CD=FA。 又CDAF,.四边形ACDF是平行四边形。 2.证明：.：四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB= OD,又：AF=CE,BH=DG,∴.AF-OA=CE-OC,BH-OB= DG-OD,.OF=OE,OH=OG,∴.四边形EGFH是平行四 边形，.GFHE。 下·ZBB·数学第21页 3.证明：(1).四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD。.: AE=CF,·.四边形AECF是平行四边形。 (2)由(1)得：四边形AECF是平行四边形，..AF∥CE AE=CF,AB∥CD,AB=CD,∴BE∥DF,BE=DF,.四边 形BFDE是平行四边形，.BF∥DE,.四边形EGFH是 平行四边形，.EF与GH互相平分。 4.（1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD =BC,∠A=∠DCF,AB=CD。.·∠ABE=∠CDF, △ABE≌△CDF(ASA),∴.AE=CF,∴.AD-AE=BC-CF 即DE=BF。DEBF,.四边形BFDE是平行四边形； (2)解：四边形BEDF是平行四边形，.BE=DF,BE∥ DF。四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC, ∠DEC=∠ECB。:CE平分∠DCB,∴.LDCE=LECB, ∴.∠DEC=∠DCE,.DE=DC,在△DFC中，CF=3,DF= 4,DC=DE=5,.DC2=CF2+DF2,.△DFC是直角三角 形，∴.∠DFC=90°，∴.∠EBC=90°，在Rt△EBC中，CE= √BC2+BE=√(5+3)2+4=45。 三角形的中位线 1.C2.C3.C 4.B【解析】连接CE,:点F,G分别为CD,DE的中点， FG=2CE,当CELAB时，CB的值最小，此时FG的值也 最小，∠C=90°，AC=3,BC=4,AB=√32+4=5， Sc=2x5xt0B=7×3x4=6.cB=,G=20E- 2 1.2。故选B。 5B【解折】由题意，得E=BC,BG=A4C,FG=AB, △EFG的月长为：64x子，同里可得：△4BC的周长 为：64×（分月，，第n个三角形的周长为：64× ()。故选B。 6.1207.3 8.6【解析】延长CD交AB于F。BD平分∠ABC,BD⊥ CD,∴.∠FBD=∠CBD,∠BDF=∠BDC,.·BD=BD, △BDF≌△BDC(ASA),.∴.BF=BC=18,CD=DF,∴.AF= AB-BF=12。CD=DF,E为AC中点，.DE=2AF=6。 9.证明：·P是对角线BD的中点，M,N分别是AB,CD的 中点，∴NP,PM分别是△CDB和△DAB的中位线，∴.PN BC,PM=AD.AD=BC.:PN=PM..LPMN ∠PNM。 10.(1)证明：.·D、E分别为AB、AC的中点，.DE∥BC,DE =2BC,CF=之BC,DE=CF。四边形DEFC是 平行四边形，.CD=EF。 (2)25【解析】过点D作DH⊥BC于H。:△ABC是 等边三角形，∴AC=BC,∠ACB=60°。：D为AB的中 点，CD1AB,∠DCB=7∠ACB=30。:BC=4, BD=2,∴.CD=√BC2-BD=√42-2=25。∠DHC =90,DM=2Dc=5。DB=CF=2BG=2, Sm边形DEFc=CF·DH=2X√3=25。 1.解：(1)DE/BC,.且DE=2BC (2)点E是AC的中点，AE=CE。又EF=ED, ∠AED=∠CEF,∴.△ADE≌△CFE(SAS)。∴.AD=CF ∠A=∠ECF。∴AD∥CF。∴.AB∥CF。:点D是AB的 追梦之旅铺路卷·八年级 中点，∴AD=BD。∴.BD=CF。∴四边形BDFC是平行 四边形。.DE/BC,DF=BC。DE=FE,DE=DF 1 2BC。 = (3),DF=8,.BC=8。,CE=3,.AC=6。.∴.BC-AC< AB<BC+AC,即2<AB<14。 期末未测试前题组训练 选填题组 1.D2.C3.B 4.C【解析】如果把5y中的x与y都扩大为原来的10倍 x+y 、得0Q0)0那么这个分式的位是原来的10倍，故 选C。 5.B 6.D【解析】由图可得，∠1=∠A+∠2，，'∠A=30°，∠1= 45°，∴.∠2=45°-30°=15°。则∠2的度数为15°。故选 D。 7.D8.A9.B 10.C【解析】由平移的性质得：A'B'=AB=9,∠A'B'C'= ∠B=60°，B'C=13-4=9,A'B=B'C,.△A'B'C是 等边三角形，.A'C=B'C=9,9+9+9=27,故选C。 11.C 12.B【解析】①真命题的逆命题不一定是真命题，例如： 对顶角相等是真命题，其逆命题是相等的角是对顶角， 是假命题；②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、 顶角平分线互相重合；③④正确。故选B。 1DH· 13.C【解析】过D点作DH⊥AB于H。S△4m= AB=60,∴.DH=6。.AD平分∠BAC,DC⊥AC,DH⊥ AB,∴.DH=DC=6。故选C。 14.C【解析】，AC⊥BC,.∠ACB=90°。BC=6,AC= 8,.AB=10。AD∥BC,∴.∠ADB=∠DBC。BD为 ∠ABC的平分线，∴.∠ABD=∠CBD,∴.∠ABD=∠ADB, ∴.AB=AD=10,连接BF并延长交AD于点G。AD∥ BC,.∠GAF=LBCF。F是AC的中点，∴AF=CF, I∠AFG=∠CFB 在△AFG和△CFB中，{AF=CF ,∴.△AFG≌ (∠GAF=∠BCF △CFB(ASA),∴.BF=FG,AG=BC=6,∴.DG=10-6=4。 路 yBF分别是BD,BG中点，EP=DG=2。故选C。 手 15.m+3≤516.2 2(答案不唯一） 案 17.同一三角形中最多有一个锐角 18.1260°19.m<-1且m≠-320.x<1 21. 【解析：LACB=90°，AC=6,BC=4,D是边AC的 2 中点，CD=2AC=3,BD=BC+CD=5,由折叠， 得CD=DF=3,CE=EF,∠EFD=90°，∴.BF=BD-DF= 2,∠BFE=90°，设CE=x,则EF=x,BE=4-x,在 Rt△BFE中，由勾股定理，得(4-x)2=x2+2,解得x= 3 2CB=20 22.2或3【解析】设点P运动了t秒，.CQ=2ucm,AP= 4tcm,BQ=(18-2t)cm,PD=(12-4t)cm,①当BQ=AP 时，且AD∥BC,则四边形APQB是平行四边形，即18-2 =4t,.t=3;②当CQ=PD时，且AD∥BC,则四边形 CQPD是平行四边形，即2t=12-4t,∴t=2,综上所述： 当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形 时，点P运动了2秒或3秒。 下·ZBB·数学第22页